نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحول عددًا عشريًّا دوريًّا إلى كسر أو عدد كسري. في هذه المرحلة، من المؤكد أنك أصبحت متمكنًا من التحويل بين الأعداد العشرية والكسور المنتهية، مثل ٠٫٣، ٠٫٧١، وهكذا. إلا أن عملية تحويل الأعداد العشرية الدورية إلى كسور مختلفة بعض الشيء.
نحن نتذكر أن العدد العشري الدوري هو عدد عشري له نمط تكراري من الأرقام بعد العلامة العشرية. ونمثل هذا الجزء المتكرر بإحدى طريقتين. على سبيل المثال، ٠٫٣ مع وجود نقطة فوق الثلاثة يعني أن الثلاثة تتكرر. أي ٠٫٣٣٣٣٣ وهكذا مع توالي الأرقام. ٠٫٢٥ مع وجود نقطة فوق الاثنين والخمسة يعني أن كلا العددين يتكرر. أي ٠٫٢٥٢٥٢٥ وهكذا مع توالي الأرقام. لكن في كلتا الحالتين، من المهم أن ندرك أنه يمكننا أيضًا استخدام خط لتمثيل الجزء المتكرر كما هو موضح. ٠٫٣٠١ مع وجود نقطة فوق الثلاثة والواحد يعني أن الثلاثة والواحد وما بينهما يتكرر. أي ٠٫٣٠١٣٠١ وهكذا مع توالي الأرقام. وهنا أيضًا، يمكننا استخدام خط لتمثيل ذلك كما هو موضح.
على عكس المتوقع فإن العدد العشري الدوري هو مثال على الأعداد النسبية. وهذا يعني أن كل عدد عشري دوري يمكن كتابته على صورة كسر ﺃ على ﺏ؛ حيث ﺃ وﺏ عددان صحيحان. إنهما عددان كليان. يوضح المثال الأول عملية التحويل من أعداد عشرية دورية إلى كسور باستخدام عدد عشري دوري بسيط للغاية به رقم واحد متكرر.
أجب عن الأسئلة التالية عن العدد العشري الدوري ٠٫٤ دوري؛ أي ٠٫٤٤٤٤٤ وهكذا مع توالي الأرقام. افترض أن ﺱ يساوي ٠٫٤ دوري. أوجد قيمة ١٠ﺱ. اطرح ﺱ من ١٠ﺱ لإيجاد قيمة تسعة ﺱ. أوجد قيمة ﺱ.
بتقسيم السؤال إلى ثلاث خطوات منفصلة، تتضح لنا عملية تحويل عدد عشري دوري بسيط إلى كسر. لدينا هنا عدد عشري دوري بسيط. وهو ﺱ يساوي ٠٫٤ دوري. أي إن ﺱ يساوي ٠٫٤٤٤ وهكذا مع توالي الأرقام. قد يكون من الأسهل كتابة بضعة أرقام من الجزء الدوري حتى نكون فكرة عن النمط المتكرر. يطلب منا السؤال إيجاد قيمة ١٠ﺱ. حسنًا، لكي ننتقل من ﺱ إلى ١٠ﺱ، علينا أن نضرب في ١٠. وبما أن ﺱ يساوي ٠٫٤ دوري، فسنحصل على قيمة ١٠ﺱ عن طريق ضرب ٠٫٤ دوري في ١٠.
ﺱ مضروبًا في ١٠ يساوي ١٠ﺱ كما هو مطلوب. ولضرب عدد عشري في ١٠، نحرك الأرقام خانة واحدة إلى اليسار. بذلك نجد أن ١٠ﺱ يساوي ٤٫٤٤٤ وهكذا مع توالي الأرقام. إذن، قيمة ١٠ﺱ هي ٤٫٤ دوري. الجزء الثاني من السؤال يطلب منا طرح ﺱ من ١٠ﺱ. وعند القيام بذلك، سنطرح معادلة ﺱ بأكملها من معادلة ١٠ﺱ بأكملها. ١٠ﺱ ناقص ﺱ يساوي تسعة ﺱ، وهو المطلوب.
والآن، لنلق نظرة على العددين العشريين الدوريين. لاحظ أن الأرقام بعد العلامة العشرية متطابقة في كلا العددين. وهذا يعني أنه عند طرح كل أربعة، نحصل على صفر. بالتالي نجد أن ٤٫٤ دوري ناقص ٠٫٤ دوري يساوي ببساطة أربعة. إذن، قيمة تسعة ﺱ هي ببساطة أربعة. يطلب منا الجزء الثالث من السؤال إيجاد قيمة ﺱ. والمقصود هو حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ. حل المعادلة تسعة ﺱ يساوي أربعة.
حسنًا، لحل المعادلة، سنجري سلسلة من العمليات العكسية. تسعة ﺱ يعني تسعة في ﺱ. إذن، سنقسم كلا طرفي المعادلة على تسعة. وبذلك، نجد أن ﺱ يساوي أربعة مقسومًا على تسعة أو أربعة على تسعة. إذن، ﺱ يساوي أربعة على تسعة. لاحظ أننا قلنا في البداية إن ﺱ يساوي ٠٫٤ دوري، لكننا كتبنا للتو أن ﺱ يساوي أربعة على تسعة. هذا بالتأكيد يعني أن ٠٫٤ دوري يساوي أربعة على تسعة.
لنلق نظرة الآن على مثال يوضح كيفية سير هذه العملية مع أعداد عشرية دورية أكثر تعقيدًا.
عبر عن ٠٫٧٥ دوري على صورة عدد نسبي في أبسط صورة.
لدينا هنا عدد عشري دوري؛ ٠٫٧٥ دوري. تذكر أن كلًّا من السبعة والخمسة يتكرر. إذن لدينا ٠٫٧٥٧٥٧٥ وهكذا مع توالي الأرقام. يطلب منا السؤال أن نعبر عن ذلك على صورة عدد نسبي. أي على صورة الكسر ﺃ على ﺏ، حيث ﺃ وﺏ كلاهما عدد كلي؛ أي عددان صحيحان. إذن، ما الخطوات التي علينا اتباعها للقيام بذلك؟ الخطوة الأولى هي افتراض أن ﺱ يساوي العدد العشري الدوري. من المنطقي عادة أن نكتب بضعة أرقام لنكون فكرة عن النمط المتكرر. إذن، ﺱ هنا يساوي ٠٫٧٥٧٥٧٥ وهكذا مع توالي الأرقام. هدفنا هنا هو إيجاد عدد عشري آخر به نفس نمط الأرقام بعد العلامة العشرية.
ولتحقيق ذلك، ستكون خطوتنا الثانية هي الضرب في قوة ما للعدد ١٠. أي ١٠ أو ١٠٠ أو ١٠٠٠، وهكذا. إننا نريد أن تتطابق الأرقام الموجودة بعد العلامة العشرية مع تلك الموجودة في العدد الأصلي. ومن ثم، فإن النمط ٧٥٧٥٧٥ وهكذا مع توالي الأرقام، يجب أن يطابق نظيره بعد العلامة العشرية. يمكننا ملاحظة أن هناك رقمين متكررين بعد العلامة العشرية. لذا سنحتاج إلى الضرب في إحدى قوى العدد ١٠ لكي نحرك الأرقام خانتين إلى اليسار. لتحقيق ذلك علينا الضرب في ١٠ تربيع أو ١٠٠. وعلينا فعل الشيء نفسه مع ﺱ. حسنًا، ﺱ في ١٠٠ يساوي ١٠٠ﺱ. إذن، نجد أن ١٠٠ﺱ يساوي ٧٥٫٧٥ دوري.
لاحظ الآن أن كل الأرقام بعد العلامة العشرية متطابقة في كلا المعادلتين. الخطوة الثالثة هي دائمًا طرح العددين اللذين يحتويان على الأرقام نفسها بعد العلامة العشرية. إذن، سنطرح هنا معادلة ﺱ من معادلة ١٠٠ﺱ. نجد أن ١٠٠ﺱ ناقص ﺱ يساوي ٩٩ﺱ. لكن ماذا يحدث للأعداد العشرية؟ لاحظ أنه عند الطرح، ستحذف الأجزاء المتكررة. ٠٫٧٥ دوري ناقص ٠٫٧٥ دوري يساوي صفرًا. وهكذا نحصل على ٧٥ ناقص صفر يساوي ٧٥. وهذا هو الغرض من إجراء هذه الخطوات. نحن نريد التخلص من الأرقام المتكررة بعد العلامة العشرية.
الخطوة الرابعة هي حل المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ. لدينا هنا ٩٩ﺱ يساوي ٧٥. بالتالي، سنقسم طرفي المعادلة على ٩٩. وبذلك، نجد أن ﺱ يساوي ٧٥ مقسومًا على ٩٩ أو ٧٥ على ٩٩. لكن هذه ليست أبسط صورة. علينا قسمة كل من بسط الكسر ومقامه على ثلاثة. وعندما نفعل ذلك، نجد أن ﺱ يساوي ٢٥ على ٣٣. تذكر أننا بدأنا بتعريف ﺱ بأنه يساوي ٠٫٧٥ دوري. لكننا أوضحنا للتو أن ﺱ يساوي ٢٥ على ٣٣. إذن، يمكننا القول إن ٠٫٧٥ دوري يجب أن يساوي ٢٥ على ٣٣. وقد كتبناه على صورة عدد نسبي في أبسط صورة.
سنتناول الآن مثالًا تتكرر فيه ثلاثة أرقام.
حول ٠٫٣٥٤ دوري إلى كسر.
لدينا هنا عدد عشري دوري. وتتكرر الأرقام ثلاثة وخمسة وأربعة. لذا يمكننا القول إنه يساوي ٠٫٣٥٤٣٥٤٣٥٤ وهكذا مع توالي الأرقام. دعونا نتذكر الخطوات اللازمة لتحويل عدد عشري دوري إلى كسر. في الخطوة الأولى، نفترض أن ﺱ يساوي العدد العشري الدوري. سنكتب بعض الأرقام لنكون فكرة عن النمط المتكرر. ﺱ يساوي ٠٫٣٥٤٣٥٤ وهكذا مع توالي الأرقام. الخطوة الثانية هي محاولة تكوين عدد عشري آخر تتطابق أرقامه بعد العلامة العشرية مع تلك الموجودة في العدد العشري الأصلي.
ولتحقيق ذلك، نضرب العدد العشري في قوة ما للعدد ١٠. أي ١٠، أو ١٠٠، أو ١٠٠٠، وهكذا بحيث تتطابق الأرقام بعد العلامة العشرية لهذا العدد مع الأرقام المقابلة لها في العدد الأصلي. يجب أن يطابق النمط نظيره بعد العلامة العشرية. لقد قلنا إن لدينا ثلاثة أرقام متكررة. إذن علينا معرفة قوة العدد ١٠ التي سنضرب فيها العدد حتى تتحرك الأرقام ثلاث خانات إلى اليسار. بالتالي، نحصل على ٣٥٤٫٣٥٤ وهكذا مع توالي الأرقام. لتحقيق ذلك، نضرب في ١٠ تكعيب أو ١٠٠٠. دعونا نفعل الأمر نفسه مع ﺱ. وبذلك نحصل على ١٠٠٠ﺱ يساوي ٣٥٤٫٣٥٤ وهكذا مع توالي الأرقام.
حسنًا، يتبقى الآن الخطوة الثالثة وهي الطرح. ونأمل في هذه الخطوة أن نتخلص من الأرقام بعد العلامة العشرية بالكامل أو من الأرقام المتكررة على أقل تقدير. إذن، سنطرح معادلة ﺱ بأكملها من معادلة ١٠٠٠ﺱ بأكملها. نلاحظ في هذه المرحلة أنه كان بإمكاننا فعل ذلك بطريقة أخرى. ولكن كنا سنحصل في النهاية على قيمتين سالبتين. ١٠٠٠ﺱ ناقص ﺱ يساوي ٩٩٩ﺱ. سنلاحظ هنا أن طرح ٠٫٣٥٤ دوري من ٠٫٣٥٤ دوري يساوي صفرًا. وبذلك يصبح لدينا ٣٥٤ ناقص صفر، ما يساوي ٣٥٤. تذكر أننا كنا نريد التخلص من الأرقام بعد العلامة العشرية. وقد فعلنا ذلك بالفعل.
خطوتنا الرابعة والأخيرة هي حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ. لدينا ٩٩٩ﺱ يساوي ٣٥٤. إذن لحل هذه المسألة، نقسم طرفي المعادلة على ٩٩٩. ﺱ يساوي ٣٥٤ على ٩٩٩، وهو ما يمكننا كتابته على صورة كسر. في واقع الأمر، هذه ليست أبسط صورة. يمكننا قسمة كل من بسط هذا الكسر ومقامه على ثلاثة. وعندما نفعل ذلك، نجد أن ﺱ يساوي ١١٨ على ٣٣٣. تذكر أننا قلنا في البداية أن ﺱ يساوي ٠٫٣٥٤ دوري. لكننا أوضحنا للتو أن ﺱ يساوي ١١٨ على ٣٣٣. وبالتالي، أثبتنا أن ٠٫٣٥٤ دوري على صورة كسر في أبسط صورة يساوي ١١٨ على ٣٣٣.
فيما يلي، سنرى ما يحدث عندما يتكرر جزء من العدد العشري.
أجب عن الأسئلة التالية عن العدد العشري الدوري ٠٫٢٦٥ دوري؛ أي ٠٫٢٦٥٦٥٦٥ وهكذا مع توالي الأرقام. افترض أن ﺱ يساوي ٠٫٢٦٥٦٥٦٥. أوجد قيمة ١٠ﺱ. أوجد قيمة ١٠٠٠ﺱ. اطرح ١٠ﺱ من ١٠٠٠ﺱ لإيجاد قيمة ٩٩٠ﺱ. أوجد قيمة ﺱ.
يعرف السؤال العدد العشري الدوري بأنه يساوي ﺱ. ويطلب منا إيجاد قيمة ١٠ﺱ. قد يكون مفيدًا أن تكتب بضعة أرقام من العدد الدوري لتكوين فكرة عن النمط المتكرر. لكي ننتقل من ﺱ إلى ١٠ﺱ، علينا الضرب في ١٠. وعلينا فعل الأمر نفسه مع العدد الدوري. بذلك نحصل على ٢٫٦٥٦٥٦٥ وهكذا مع توالي الأرقام. تذكر أنه عند الضرب في ١٠، نحرك الأرقام إلى اليسار خانة واحدة. وبالتالي، فإن قيمة ١٠ﺱ هنا هي ٢٫٦٥ دوري.
بعد ذلك، علينا إيجاد قيمة ١٠٠٠ﺱ. هذه المرة، للانتقال من ﺱ إلى ١٠٠٠ﺱ، سنضرب في ١٠٠٠. وسنفعل الأمر نفسه مع العدد العشري الدوري. عندما نفعل ذلك هذه المرة، تتحرك الأرقام إلى اليسار بمقدار ثلاث خانات. إذن ١٠٠٠ﺱ يساوي ٢٦٥٫٦٥٦٥ وهكذا مع توالي الأرقام. ١٠٠٠ﺱ يساوي ٢٦٥٫٦٥ دوري. لاحظ أن لدينا الآن عددين تتطابق أرقامهما بعد العلامة العشرية. وبذلك نصبح جاهزين للجزء التالي من هذا السؤال. سنطرح ١٠ﺱ من ١٠٠٠ﺱ. وبالتالي، سنطرح العددين العشريين.
حسنًا، سنوجد الآن ناتج ٢٦٥٫٦٥ دوري ناقص ٢٫٦٥ دوري. عندما نطرح هذين العددين، سنلاحظ أن الجزء المتكرر يصبح صفرًا. ٠٫٦٥ دوري ناقص ٠٫٦٥ دوري يساوي صفرًا. و ٢٦٥ ناقص اثنين يساوي ٢٦٣. و ١٠٠٠ﺱ ناقص ١٠ﺱ يساوي ٩٩٠ﺱ. بهذا، نجد أن قيمة ٩٩٠ﺱ هي ٢٦٣. والجزء الأخير من المسألة يطلب منا إيجاد قيمة ﺱ. بعبارة أخرى، سنحل المعادلة ٩٩٠ﺱ يساوي ٢٦٣. ولتحقيق ذلك، علينا قسمة الطرفين على ٩٩٠. إذن، ﺱ يساوي ٢٦٣ على ٩٩٠، ويمكننا كتابة ذلك على صورة كسر كما هو موضح.
لقد ذكرنا في البداية أن ﺱ يساوي ٠٫٢٦٥ دوري. لكننا أوضحنا للتو أنه يساوي ٢٦٣ على ٩٩٠. وهذا يعني أن الكسر المكافئ للعدد العشري الدوري ٠٫٢٦٥ دوري هو ٢٦٣ على ٩٩٠.
سنجمع كل ما تعلمناه حتى الآن في المثال الأخير. في هذه المرحلة، قد يكون من الأفضل أن توقف الفيديو مؤقتًا وتحاول اتباع الخطوات التي قمنا بها حتى الآن.
حول ٠٫٣٤٧ دوري إلى كسر.
لدينا هنا عدد عشري دوري مع وجود نقطة فوق السبعة فقط. هذا يعني أن الرقم سبعة هو الرقم الوحيد المتكرر. أي سيكون لدينا العدد ٠٫٣٤٧ وهكذا مع توالي الأرقام. دعونا نتذكر الخطوات التي نتبعها لتحويل عدد عشري دوري إلى كسر. الخطوة الأولى هي تعريف ﺱ. سنفترض أن ﺱ يساوي العدد العشري الدوري. وفي هذه المرحلة، قد يكون مفيدًا أن نكتب بضعة أرقام من الجزء المتكرر لنكون فكرة عن نمط التكرار. الخطوة الثانية هي الضرب في قوة ما للعدد ١٠، بحيث تتطابق الأرقام بعد العلامة العشرية.
لكننا نواجه مشكلة صغيرة هنا. الرقم الوحيد المتكرر هو سبعة. ومن ثم، سيكون علينا فعل ذلك على مرتين. فنحن نريد تكوين عددين تتطابق أرقامهما بعد العلامة العشرية. حسنًا، هنا سيتكرر الرقم سبعة. لنبدأ إذن بالضرب في قوة ما للعدد ١٠ بحيث تتحرك الأرقام خانتين إلى اليسار، بعبارة أخرى، حتى نحصل على ٣٤٫٧ دوري. والطريقة الوحيدة لتحقيق ذلك هي الضرب في ١٠٠. دعونا نضرب ﺱ في ١٠٠. ﺱ في ١٠٠ يساوي ١٠٠ﺱ، ومن ثم نحصل على ١٠٠ﺱ يساوي ٣٤٫٧ دوري.
لنفعل ذلك مرة أخرى. حسنًا، كان بإمكاننا أن نضرب العدد الأصلي في عدد ما. لكن إذا نظرنا جيدًا، فسنلاحظ أننا إذا ضربنا ٣٤٫٧ دوري في ١٠، فإن الأرقام ستتحرك خانة واحدة إلى اليسار. وسنحصل أيضًا على ٠٫٧ دوري. ٣٤٫٧ دوري في ١٠ يساوي ٣٤٧٫٧ دوري. و ١٠٠ﺱ في ١٠ يساوي ١٠٠٠ﺱ. لاحظ أن هذا يماثل ضرب القيمة الأصلية لـ ﺱ في ١٠٠٠. وهو سيحرك الأرقام ثلاث خانات إلى اليسار.
والآن، بعدما حصلنا على عددين تتطابق أرقامهما تمامًا بعد العلامة العشرية، سنطرح هذين العددين. بعبارة أخرى، سنطرح معادلة ١٠٠ﺱ بأكملها من معادلة ١٠٠٠ﺱ. بإجراء هذه الخطوة، نلاحظ أن الجزء المتكرر من العدد العشري يحذف. ٠٫٧ دوري ناقص ٠٫٧ دوري يساوي صفرًا. ومن ثم، سيكون علينا حساب ٣٤٧ ناقص ٣٤. ما يساوي ٣١٣. وبالمثل، ١٠٠٠ﺱ ناقص ١٠٠ﺱ يساوي ٩٠٠ﺱ. بذلك أصبحت لدينا معادلة لـ ﺱ. وهي ٩٠٠ﺱ يساوي ٣١٣.
الخطوة الرابعة والأخيرة هي حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ. وسنجري بعض العمليات العكسية لتحقيق ذلك. سنقسم طرفي هذه المعادلة على ٩٠٠. وبالتالي، ﺱ يساوي ٣١٣ مقسومًا على ٩٠٠، وهو ما يمكن كتابته على صورة كسر كما هو موضح. لاحظ أننا ذكرنا في البداية أن ﺱ يساوي ٠٫٣٤٧ دوري. لكننا أوضحنا الآن أن ﺱ يساوي ٣١٣ على ٩٠٠. ولا بد أن هذا يعني أن العدد العشري ٠٫٣٤٧ دوري على صورة كسر يساوي ٣١٣ على ٩٠٠.
في هذا الفيديو، رأينا أن جميع الأعداد العشرية الدورية هي أعداد نسبية. وهذا يعني أنه يمكن كتابتها على صورة الكسر ﺃ على ﺏ، حيث ﺃ وﺏ عددان صحيحان. إنهما عددان كليان. لكي نحقق ذلك فإن الخطوة الأولى هي أن نبدأ بتعريف قيمة ﺱ. نفترض أن ﺱ يساوي العدد العشري الدوري. بعد ذلك، نضرب في قوة ما للعدد ١٠ لكي نحصل على عددين تتطابق أرقامهما تمامًا بعد العلامة العشرية. قد يكون علينا في بعض الأحيان إجراء هذه الخطوة أكثر من مرة للوصول إلى ذلك. الخطوة الثالثة هي طرح هاتين القيمتين. وأخيرًا، نحل المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ.
