نسخة الفيديو النصية
إذا كانت النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب خمسة لـ ﺃ مقسومًا على ﺱ ناقص واحد تساوي ستة، فما قيمة ﺃ؟
يعطينا السؤال النهاية، ويوضح لنا أن قيمة هذه النهاية تساوي ستة. مطلوب منا حساب قيمة ﺃ. ويمكننا فعل ذلك عن طريق محاولة إيجاد قيمة هذه النهاية، وتذكر أنها لا بد أن تساوي ستة. أول طريقة علينا استخدامها إذا أردنا إيجاد قيمة هذه النهاية هي التعويض المباشر. نلاحظ أن ﺃ مقسومًا على ﺱ ناقص واحد هي دالة كسرية. هذا لأنها خارج قسمة دالتين كثيرتي الحدود، وهما ﻡﺱ وﻥﺱ.
نحن نعلم أن الثابت ﺃ مقدار كثيرة حدود. كما نعلم أنه إذا كانت لدينا دالة كسرية ﺩﺱ، وكانت كثيرة الحدود في هذا المقام عند ﺏ لا تساوي صفرًا، فإنه يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر. وستكون النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺏ للدالة الكسرية ﺩﺱ تساوي قيمة ﺩ عند ﺏ. وفي الواقع، في بعض الحالات التي تكون فيها قيمة المقام تساوي صفرًا، يمكننا التحقق مما إذا كانت قيمة كثيرة الحدود في البسط تساوي صفرًا أيضًا.
يمكننا عندئذ استخدام نظرية العوامل لإخراج العامل ﺱ ناقص ﺏ من البسط والمقام، ثم حذف العامل المشترك ﺱ ناقص ﺏ. نحن نريد إيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب خمسة، لذلك نجعل ﺏ يساوي سالب خمسة. ونحسب نهاية ﺃ مقسومًا على ﺱ ناقص واحد. ونجعل كثيرة الحدود في البسط ﻡﺱ تساوي ﺃ، وكثيرة الحدود في المقام ﻥﺱ تساوي ﺱ ناقص واحد. إذن، في الدالة الكسرية لدينا، ﺩﺱ يساوي ﺃ مقسومًا على ﺱ ناقص واحد.
لمعرفة إذا ما كان بإمكاننا استخدام التعويض المباشر، علينا التأكد مما إذا كانت قيمة ﺱ ناقص واحد عند سالب خمسة تساوي صفرًا. ومن ثم، نحسب قيمة المقام ﻥﺱ عند ﺱ يساوي سالب خمسة. هذا يعطينا سالب خمسة ناقص واحد، وهو ما يساوي سالب ستة. وبذلك نكون قد أثبتنا أن قيمة المقام عند ﺱ يساوي سالب خمسة لا تساوي صفرًا. وعليه، يمكننا استخدام التعويض المباشر. وباستخدام التعويض المباشر، فإن النهاية الموضحة في السؤال، أي النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب خمسة لـ ﺃ مقسومًا على ﺱ ناقص واحد، تساوي ﺃ مقسومًا على سالب خمسة ناقص واحد. ويمكن تبسيط ذلك لنحصل على ﺃ مقسومًا على سالب ستة.
لكن يوضح لنا السؤال أن هذه النهاية تساوي ستة أيضًا. ومن ثم، النهاية لدينا تساوي ستة. وقد أوضحنا بالفعل أنه من خلال التعويض المباشر، فإن النهاية تساوي ﺃ مقسومًا على سالب ستة. إذن، لدينا ستة يساوي سالب ﺃ على ستة. ويمكننا حل هذا بضرب طرفي المعادلة في سالب ستة. وهذا يعطينا سالب ستة في ستة، أي سالب ٣٦، يساوي ﺃ. بذلك، نكون قد أوضحنا أنه إذا كانت قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب خمسة لـ ﺃ مقسومًا على ﺱ ناقص واحد تساوي ستة، فإن قيمة ﺃ يجب أن تساوي سالب ٣٦.
