فيديو السؤال: إيجاد مجموعة حل المعادلات الأسية التي تتضمن لوغاريتمات الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد جميع قيم ﺱ الممكنة التي عندها ﺱ أس لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين يساوي ٦٤ في ﺱ أس سالب واحد.

في هذا السؤال، مطلوب منا تحديد جميع قيم ﺱ الممكنة التي تحقق المعادلة المعطاة. ولكي نفعل ذلك، نلاحظ أن هذه المعادلة يصعب حلها. على سبيل المثال، الطرف الأيسر من هذه المعادلة هو دالة أسية في ﺱ. وإذا حاولنا تبسيط هذه المعادلة، فسنجد أنه أمر صعب إلى حد ما. لذا بدلًا من ذلك، يمكننا أن نحسب اللوغاريتم لكلا طرفي المعادلة. لكن قبل أن نفعل ذلك، علينا التأكد من أن كلا طرفي المعادلة لهما قيمتان موجبتان.

بما أن المعادلة تتضمن لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين، ونتذكر أنه يمكننا حساب لوغاريتم الأعداد الموجبة فقط، إذن يجب أن تكون قيمة ﺱ موجبة. وعليه، أي عدد موجب مرفوع لأي قوة سيظل موجبًا. لذا، الطرف الأيسر من هذه المعادلة قيمته موجبة. ويمكننا أيضًا أن نطبق الشيء نفسه على الطرف الأيمن من هذه المعادلة؛ أي ٦٤ في ﺱ أس سالب واحد. هذا يساوي ٦٤ مقسومًا على ﺱ؛ حيث ﺱ عدد موجب. ومن ثم، سنحسب اللوغاريتم لكلا طرفي المعادلة للأساس اثنين، وهو ما يعطينا لوغاريتم الأساس اثنين لـ ﺱ أس لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين يساوي لوغاريتم ٦٤ في ﺱ أس سالب واحد للأساس اثنين. والجدير بالملاحظة هنا أنه يمكننا اختيار أي عدد موجب لا يساوي واحدًا لأساس هذا اللوغاريتم. ومع ذلك، فإننا نختار اثنين؛ لأن لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين موجود بالفعل في المعادلة.

علينا الآن تبسيط هذه المعادلة باستخدام قوانين اللوغاريتمات. في البداية، في الطرف الأيمن من هذه المعادلة، سنحسب لوغاريتم مقدار مرفوع لقوة. لذا، سنبسط ذلك باستخدام قاعدة القوة للوغاريتمات. هذه القاعدة تنص على أنه لأي عدد حقيقي موجب ﺏ لا يساوي واحدًا، وأي عدد حقيقي موجب ﺱ، وأي عدد حقيقي ﺃ، فإن لوغاريتم ﺱ أس ﺃ للأساس ﺏ يساوي ﺃ في لوغاريتم ﺱ للأساس ﺏ. ونحن نعرف أن كل هذه الشروط تتحقق في الطرف الأيمن من المعادلة. قيمة ﺏ، وهي أساس اللوغاريتم، تساوي اثنين. وقد سبق أن أوضحنا أن قيمة ﺱ موجبة، وأن لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين معرف جيدًا، وهو عدد حقيقي بالتأكيد. ومن ثم، بتطبيق قاعدة القوة للوغاريتمات على الطرف الأيمن من المعادلة، نحصل على لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين مضروبًا في لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين.

بعد ذلك، في الطرف الأيسر من هذه المعادلة، نلاحظ أننا سنحسب لوغاريتم حاصل ضرب، لذا سنبسطه باستخدام قاعدة الضرب للوغاريتمات. هذه القاعدة تنص على أنه لأي عددين حقيقيين موجبين ﺱ واحد وﺱ اثنين، وأي عدد حقيقي موجب ﺏ لا يساوي واحدًا، فإن لوغاريتم ﺱ واحد في ﺱ اثنين للأساس ﺏ يساوي لوغاريتم ﺱ واحد للأساس ﺏ زائد لوغاريتم ﺱ اثنين للأساس ﺏ. ومرة أخرى، نحن نعرف أن كل هذه الشروط تنطبق على الطرف الأيسر. قيمة ﺏ؛ أي الأساس، تساوي اثنين، وقيمة ﺱ واحد تساوي ٦٤، وقيمة ﺱ اثنين تساوي ﺱ أس سالب واحد؛ حيث ﺱ قيمة موجبة كما نعرف. ومن ثم، من خلال تطبيق قاعدة الضرب للوغاريتمات على الطرف الأيسر من المعادلة، يمكننا تبسيطه إلى لوغاريتم ٦٤ للأساس اثنين زائد لوغاريتم ﺱ أس سالب واحد للأساس اثنين. ولكن، لا يمكننا حل هذه المعادلة أيضًا لإيجاد قيم ﺱ، لذا علينا تبسيطها أكثر من ذلك.

أولًا، في الطرف الأيسر من هذه المعادلة، نلاحظ أن لدينا لوغاريتم ٦٤ للأساس اثنين. يمكننا إيجاد قيمة ذلك بملاحظة أن اثنين أس ستة يساوي ٦٤، إذن لوغاريتم ٦٤ للأساس اثنين يساوي ستة. بعد ذلك، يمكننا تبسيط الحد الثاني الموجود في الطرف الأيسر من هذه المعادلة باستخدام قاعدة القوة للوغاريتمات مرة أخرى؛ حيث قيمة ﺏ تساوي اثنين، وﺱ يساوي ﺱ، والأس ﺃ يساوي سالب واحد. ومن ثم، يبسط هذا الحد ليصبح لدينا سالب لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين. وبذلك، نكون قد بسطنا هذه المعادلة لتصبح لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين في لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين يساوي ستة ناقص لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين.

والآن، يمكننا أن نلاحظ أمرًا مثيرًا للاهتمام. المعادلة مكتوبة بالكامل بدلالة لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين. ومن ثم، يمكننا تبسيط هذه المعادلة بالتعويض. سنفترض أن ﺹ يساوي لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين. الطرف الأيمن من هذه المعادلة يساوي لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين مضروبًا في لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين. هذا يساوي ﺹ مضروبًا في ﺹ؛ أي ﺹ تربيع. وبالمثل، يمكننا تبسيط الطرف الأيسر من هذه المعادلة ليصبح لدينا ستة ناقص ﺹ. ومن ثم، علينا إيجاد قيم ﺹ التي تحقق المعادلة ﺹ تربيع يساوي ستة ناقص ﺹ. يمكننا حل هذه المعادلة؛ حيث إنها معادلة تربيعية. في البداية، نضيف ﺹ إلى كلا طرفي المعادلة ثم نطرح ستة من كلا طرفي المعادلة، مما يعطينا ﺹ تربيع زائد ﺹ ناقص ستة يساوي صفرًا.

بعد ذلك، ليس علينا سوى حل هذه المعادلة التربيعية. إحدى طرق فعل ذلك هي التحليل. نلاحظ أن ثلاثة في سالب اثنين يساوي سالب ستة، وثلاثة زائد سالب اثنين يساوي واحدًا. ومن ثم، يمكننا تحليل هذه المعادلة التربيعية إلى ﺹ زائد ثلاثة مضروبًا في ﺹ ناقص اثنين، وهو ما يجب أن يساوي صفرًا. وأخيرًا، لكي يكون حاصل ضرب عاملين يساوي صفرًا، يجب أن يكون أحد هذين العاملين يساوي صفرًا. ومن ثم، إما ﺹ يساوي سالب ثلاثة، وإما ﺹ يساوي اثنين. لكن تذكر أنه مطلوب منا إيجاد قيم ﺱ التي تحقق المعادلة الأصلية، وليس قيمة ﺹ. إذن، علينا استخدام التعويض. بالتعويض عن ﺹ بـ لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين في هذين الحلين، نحصل على قيمتين. لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين يساوي سالب ثلاثة، أو لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين يساوي اثنين.

يمكننا الآن حل هاتين المعادلتين لإيجاد قيم ﺱ. إذا كان لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين يساوي سالب ثلاثة، فإننا نعرف أن ﺱ سيساوي اثنين أس سالب ثلاثة. وبالمثل، إذا كان لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين يساوي اثنين، فإن ﺱ يساوي اثنين تربيع. اثنان أس سالب ثلاثة يساوي ثمنًا، واثنان تربيع يساوي أربعة. وبذلك، إما أن ﺱ يساوي أربعة وإما أنه يساوي ثمنًا. ويمكننا التحقق من هذين الحلين عن طريق التعويض بهما في المعادلة الأصلية.

ومن ثم، لقد تمكنا من إيجاد كل قيم ﺱ الممكنة التي تحقق المعادلة ﺱ أس لوغاريتم ﺱ للأساس اثنين يساوي ٦٤ في ﺱ أس سالب واحد. إذن، إما ﺱ يساوي أربعة، وإما ﺱ يساوي ثمنًا.