نسخة الفيديو النصية
أوجد الحد الأول من المتتابعة الهندسية غير المنتهية التي أساسها ربع، ومجموعها ٩٨ وستة أسباع.
لدينا في رأس السؤال معلومتان عن هذه المتتابعة الهندسية غير المنتهية. أولهما أن أساسها يساوي ربعًا. وهذه هي القيمة التي نضرب كل حد فيها لنحصل على الحد الذي يليه. وثانيهما أن مجموع هذه المتتابعة الهندسية غير المنتهية يساوي ٩٨ وستة أسباع. الصيغة المستخدمة لإيجاد مجموع متتابعة هندسية غير منتهية، وهو الذي نرمز له بالحرف جـ متبوعًا بـ ﻥ ، هي ﺃ على واحد ناقص ﺭ؛ حيث ﺃ يمثل الحد الأول من المتتابعة، وﺭ النسبة المشتركة (أساس المتتابعة الهندسية).
.
لا يمكن تطبيق هذه الصيغة إلا إذا كانت القيمة المطلقة لأساس المتتابعة أصغر تمامًا من واحد، إذ يجب توفر هذا الشرط لكي تكون المتسلسلة متقاربة. قيمة ﺭ في هذا السؤال تساوي ربعًا. إذن، يمكن إيجاد المجموع إلى ما لا نهاية. ومن ثم، يمكن الإجابة عن هذا السؤال بالتعويض بقيمة المجموع اللانهائي، وهي ٩٨ وستة أسباع، وقيمة أساس المتتابعة الهندسية، وهي ربع، ثم حل المعادلة لإيجاد قيمة ﺃ، وهو الحد الأول من المتتابعة. بفعل ذلك، يصبح لدينا ٩٨ وستة أسباع يساوي ﺃ على واحد ناقص ربع. واحد ناقص ربع يساوي ثلاثة أرباع. وفي الوقت نفسه، قد نجد أنه من الأفضل كتابة العدد الكسري ٩٨ وستة أسباع على صورة الكسر غير الفعلي ٦٩٢ على سبعة.
لحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺃ، علينا ضرب طرفي المعادلة في ثلاثة أرباع. وبذلك يصبح لدينا ﺃ يساوي ٦٩٢ على سبعة مضروبًا في ثلاثة على أربعة. قبل أن نحسب، يمكننا إجراء الاختصار التبادلي بقسمة بسط الكسر الأول ومقام الكسر الثاني على العامل أربعة لنحصل على ١٧٣ على سبعة مضروبًا في ثلاثة على واحد. ١٧٣ مضروبًا في ثلاثة يساوي ٥١٩. إذن، نستنتج أن ﺃ يساوي ٥١٩ على سبعة.
إذن، بالرجوع إلى الصيغة المستخدمة لإيجاد مجموع متتابعة هندسية غير منتهية، وهي التي أمكن تطبيقها في هذه الحالة لأن القيمة المطلقة لأساس المتتابعة الهندسية أصغر تمامًا من واحد، تمكنا من تكوين معادلة وحلها لنجد أن الحد الأول من هذه المتتابعة يساوي ٥١٩ على سبعة.