فيديو: اشتقاق الدوال الكثيرة الحدود في الصورة التحليلية

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد المشتقة الأولى للدالة ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ثمانية في ثلاثة ‪𝑥‬‏ تكعيب ناقص ثمانية ‪𝑥‬‏ زائد ستة.

إيجاد المشتقة الأولى هو طريقة أخرى لأن نقول اشتق أو أوجد الدالة ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. إذا كان ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ في ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏، فإن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏، المشتقة، يساوي ‪𝑛‬‏ في ‪𝑎‬‏ في ‪𝑥‬‏ أس ‪𝑛‬‏ ناقص واحد.

في هذا السؤال، قيل لنا: إن ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ثمانية في ثلاثة ‪𝑥‬‏ تكعيب ناقص ثمانية ‪𝑥‬‏ زائد ستة. أسهل طريقة للتعامل مع هذه المسألة هي فك الأقواس أولًا. سنضرب كل شيء داخل الزوج الثاني من الأقواس في ‪𝑥‬‏ تربيع، ثم نضرب كل شيء داخل الزوج الثاني من الأقواس في ثمانية. ‏‏‪𝑥‬‏ تربيع في ثلاثة ‪𝑥‬‏ تكعيب يساوي ثلاثة ‪𝑥‬‏ أس خمسة. تذكر جمع الأسس أو القوى. اثنان زائد ثلاثة يساوي خمسة. ‏‏‪𝑥‬‏ تربيع في سالب ثمانية ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ثمانية ‪𝑥‬‏ تكعيب. وأخيرًا، ‪𝑥‬‏ تربيع في ستة يساوي ستة ‪𝑥‬‏ تربيع.

ثم علينا أن نضرب كلًا من الحدود الثلاثة في ثمانية. ثمانية في ثلاثة ‪𝑥‬‏ تكعيب يساوي ‪24𝑥‬‏ تكعيب. ثمانية في سالب ثمانية ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ‪64𝑥‬‏. وأخيرًا، ثمانية في ستة يساوي ‪48‬‏.

ثم علينا جمع الحدود المتشابهة. سالب ثمانية ‪𝑥‬‏ تكعيب زائد ‪24𝑥‬‏ تكعيب يساوي ‪16𝑥‬‏ تكعيب. هذا يعني أن ‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝑥‬‏ أس خمسة زائد ‪16𝑥‬‏ تكعيب زائد ستة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص ‪64𝑥‬‏ زائد ‪48‬‏.

سنشتق الآن كل حد على حدة لكي نوجد المشتقة الأولى. مشتقة ثلاثة ‪𝑥‬‏ أس خمسة هي ‪15𝑥‬‏ أس أربعة؛ لأن خمسة في ثلاثة يساوي ‪15‬‏، ونطرح واحدًا من الأس لنحصل على أربعة. وبنفس الطريقة، اشتقاق ‪16𝑥‬‏ تكعيب يعطينا ‪48𝑥‬‏ تربيع. مشتقة ستة ‪𝑥‬‏ تربيع تساوي ‪12𝑥‬‏؛ لأن اثنين في ستة يساوي ‪12‬‏. اشتقاق سالب ‪64𝑥‬‏ يعطينا سالب ‪64‬‏؛ لأن واحدًا في ‪64‬‏ يساوي ‪64‬‏. وبطرح واحد من الأس نحصل على ‪𝑥‬‏ أس صفر، ونعلم أن أي عدد أس صفر يساوي واحدًا. وأخيرًا، باشتقاق ‪48‬‏ نحصل على صفر؛ لأن مشتقة أي عدد تساوي صفرًا.

إذن، المشتقة الأولى للدالة ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ثمانية في ثلاثة ‪𝑥‬‏ تكعيب ناقص ثمانية ‪𝑥‬‏ زائد ستة هي ‪15𝑥‬‏ أس أربعة زائد ‪48𝑥‬‏ تربيع زائد ‪12𝑥‬‏ ناقص ‪64‬‏.