فيديو: أنظمة المعادلات الخطية والتربيعية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل أنظمة المعادلات الخطية والتربيعية.

١٧:٢٠

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل أنظمة المعادلات الخطية والتربيعية. ولنبدأ بمناقشة المقصود بنظام المعادلات الخطية والتربيعية تحديدًا. الأمر ليس معقدًا كما يبدو. فهو نظام مكون من معادلتين إحداهما معادلة خطية والأخرى معادلة تربيعية.

تذكر أن المعادلة الخطية هي معادلة، أعلى أس لكل متغير فيها يساوي واحدًا، ولا تحتوي على متغيرات مضروبة معًا. على سبيل المثال، المعادلة ‪𝑦‬‏ يساوي اثنين ‪𝑥‬‏ هي معادلة خطية. وإذا أردت رسم التمثيل البياني لهذه المعادلة، فستمثل فيه بخط مستقيم. أما المعادلة التربيعية، فهي معادلة تحتوي على حد مربع واحد على الأقل. على سبيل المثال، المعادلة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي خمسة هي معادلة تربيعية. وقد نرى أيضًا معادلات تتضمن حدودًا يكون فيها المتغيران مضروبين معًا، مثل المعادلة ‪𝑥‬‏ زائد اثنين ‪𝑦𝑥‬‏ يساوي ثلاثة.

إذا أردت رسم التمثيل البياني لمعادلة تربيعية، فستحصل على منحنى. في حالة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي خمسة، فإنها تمثل بدائرة. في التمثيلات البيانية، يكون حل نظام من المعادلات التربيعية والخطية مكافئًا لإيجاد إحداثيات أي نقاط تقاطع بين التمثيلين البيانيين.

في أغلب الأحيان، سنستخدم طريقة حل المعادلات الآنية بالتعويض. ومن ثم، يجب أن تتأكد من أنك على دراية جيدة بهذه الطريقة بالفعل. كما يجب أن تكون معتادًا على حل المعادلات التربيعية بمتغير واحد بالتحليل. سنتناول الآن بعض تطبيقات هذه الأساليب على المسائل الكلامية والمسائل التي تتضمن نقاط تقاطع الخطوط المستقيمة والمنحنيات. ولنلق نظرة الآن على المثال الأول.

حل المعادلتين الآنيتين ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين، و‪𝑥‬‏ ناقص اثنين تربيع زائد ‪𝑦‬‏ ناقص ثلاثة تربيع يساوي تسعة.

أول ما نلاحظه هو أن هذا نظام من المعادلات الخطية والتربيعية. فالمعادلة الأولى ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين هي معادلة خطية؛ لأن أعلى أس لـ ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ فيها هو واحد. والمعادلة الثانية ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين تربيع زائد ‪𝑦‬‏ ناقص ثلاثة تربيع يساوي تسعة هي معادلة تربيعية؛ لأنه بمجرد توزيع الأقواس، سيكون لدينا الحد ‪𝑥‬‏ تربيع والحد ‪𝑦‬‏ تربيع.

سنستخدم طريقة التعويض لحل هذه المسألة. والآن، المعادلة الأولى هي ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين. نلاحظ أن التعبير ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين يظهر في المعادلة الثانية أيضًا. إذن، يمكننا التعويض عن ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين بـ ‪𝑦‬‏ في المعادلة الثانية. وبذلك نحصل على ‪𝑦‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ ناقص ثلاثة تربيع يساوي تسعة. وعليه، يصبح لدينا معادلة بدلالة ‪𝑦‬‏ فقط. وهي معادلة تربيعية يمكننا حلها.

نبدأ بتوزيع الأقواس في ‪𝑦‬‏ ناقص ثلاثة تربيع. ونتذكر أن ‪𝑦‬‏ ناقص ثلاثة الكل تربيع يعني ‪𝑦‬‏ ناقص ثلاثة مضروبًا في ‪𝑦‬‏ ناقص ثلاثة. إذن عند توزيع الأقواس، سيصبح لدينا أربعة حدود. وتبسط هذه الحدود الأربعة إلى ‪𝑦‬‏ تربيع ناقص ستة ‪𝑦‬‏ زائد تسعة. عند تجميع الحدود المتشابهة في الطرف الأيسر، نحصل على المعادلة التربيعية اثنين ‪𝑦‬‏ تربيع ناقص ستة ‪𝑦‬‏ زائد تسعة يساوي تسعة.

والآن، بما أن موجب تسعة موجود في كلا الطرفين، فسيلغى هذان الحدان معًا، وهو ما يكافئ طرح تسعة من كل طرف من طرفي المعادلة. وبذلك، تتبقى لدينا المعادلة المبسطة اثنان ‪𝑦‬‏ تربيع ناقص ستة ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا، ويمكننا حلها بطريقة التحليل. العامل المشترك الأكبر بين اثنين ‪𝑦‬‏ تربيع وسالب ستة ‪𝑦‬‏ هو اثنان ‪𝑦‬‏. وللحصول على اثنين ‪𝑦‬‏ تربيع، يجب أن نضرب اثنين ‪𝑦‬‏ في ‪𝑦‬‏. وللحصول على سالب ستة ‪𝑦‬‏، يجب أن نضرب اثنين ‪𝑦‬‏ في سالب ثلاثة. إذن، المعادلة التربيعية في صورتها التحليلية هي اثنان ‪𝑦‬‏ مضروبًا في ‪𝑦‬‏ ناقص ثلاثة يساوي صفرًا.

لحل هذه المعادلة، نأخذ كل عامل تباعًا، ونساويه بصفر، ثم نحل المعادلة الخطية الناتجة. المعادلة الأولى هي اثنان ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا، ويمكننا حلها بقسمة كل طرف فيها على اثنين، فنجد أن ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا. المعادلة الثانية هي ‪𝑦‬‏ ناقص ثلاثة يساوي صفرًا. نحل المعادلة بإضافة ثلاثة إلى كلا الطرفين، فنحصل على ‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة. وبذلك، نجد أن حل هاتين المعادلتين الآنيتين يتضمن قيمتين لـ ‪𝑦‬‏، وهما ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا، و‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة.

علينا الآن إيجاد قيم ‪𝑥‬‏ المناظرة. وللقيام بذلك، نعوض بكل من قيمتي ‪𝑦‬‏ في المعادلة الخطية. يجب أن نعوض في المعادلة الخطية لأنه من الممكن أن يوجد، على المنحنى التربيعي، أكثر من نقطة يكون عندها ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا أو ‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة. ولكن على التمثيل البياني الخطي، أي الخط المستقيم، لن يكون هناك سوى نقطة واحدة فقط يكون عندها ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا ونقطة واحدة يكون عندها ‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة. إذن، يتعين علينا التعويض في المعادلة الخطية.

عند ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا، يصبح لدينا صفر يساوي ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين. بإضافة اثنين إلى كلا الطرفين، نجد أن ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين. وعند ‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة، يكون لدينا ثلاثة يساوي ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين. وبإضافة اثنين إلى كلا الطرفين، نجد أن ‪𝑥‬‏ يساوي خمسة. إذن حل هذا الزوج من المعادلات الآنية هو زوجان من قيم ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏. وهما: ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين و‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا، و‪𝑥‬‏ يساوي خمسة و‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة.

من المهم أن نعرف أن هذه الحلول تأتي في صورة أزواج. ولا يمكننا الخلط بين قيم ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ التي تنتمي لأزواج مختلفة. فعلى سبيل المثال، ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين و‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة ليس حلًا صحيحًا لهذا الزوج من المعادلات الآنية، وهو ما يمكنك تأكيده بالتعويض بالقيمتين في المعادلة الخطية، أو في المعادلة التربيعية.

تذكر أننا استخدمنا طريقة التعويض لحل هذه المسألة عن طريق التعويض عن ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين بـ ‪𝑦‬‏. كان من الممكن أيضًا التعويض عن ‪𝑦‬‏ في القوس الثاني بـ ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين للحصول على معادلة بدلالة ‪𝑥‬‏ فقط. في هذه الحالة، كنا سنحصل على قيمتين لـ ‪𝑥‬‏ أولًا، ثم نعوض بهما في المعادلة الخطية لإيجاد قيمتي ‪𝑦‬‏. إذن، الإجابة النهائية هي ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين و‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا، أو ‪𝑥‬‏ يساوي خمسة و‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة.

في المثال التالي، سنتعرف على كيفية تطبيق هذه الأساليب على مسألة كلامية.

عددان مجموعهما ‪11‬‏ ومجموع مربعيهما ‪65‬‏. ما العددان؟

جدير بالذكر هنا أننا يجب ألا نستخدم طريقة التجربة والخطأ للإجابة عن هذا السؤال. بل علينا استخدام إحدى الطرق المنهجية. ولذا، سنستخدم بعض الأساليب الجبرية لحل المسألة. سنمثل العددين بالحرفين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏. وسنعبر الآن عن معطيات السؤال في صورة معادلتين تشتملان على المتغيرين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏. أولًا، مجموع العددين يساوي ‪11‬‏. وهذا يعطينا المعادلة ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑦‬‏ يساوي ‪11‬‏.

ثانيًا، نعلم أن مجموع مربعيهما يساوي ‪65‬‏. وهذا يعطينا المعادلة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي ‪65‬‏. لدينا الآن نظام من المعادلات الخطية والتربيعية. المعادلة الأولى خطية، والثانية تربيعية. وسنستخدم طريقة التعويض لحل هاتين المعادلتين آنيًا. نبدأ بإعادة ترتيب المعادلة الخطية لكي نحصل على متغير بدلالة المتغير الآخر. في هذه المسألة، لا يهم أي المتغيرين سنختاره؛ لأن صعوبة المسألة أو سهولتها لن تتأثر في كلتا الحالتين. لقد اخترت إعادة كتابة المعادلة الأولى على صورة ‪𝑦‬‏ يساوي ‪11‬‏ ناقص ‪𝑥‬‏.

نأخذ الآن هذه المعادلة التي تعبر عن ‪𝑦‬‏ بدلالة ‪𝑥‬‏ ونعوض بها في المعادلة الثانية، أي في المعادلة التربيعية. وبهذا، نحصل على ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪11‬‏ ناقص ‪𝑥‬‏ الكل تربيع يساوي ‪65‬‏. والآن أصبح لدينا معادلة تربيعية بدلالة متغير واحد فقط، وهو ‪𝑥‬‏. يمكننا توزيع الأقواس بعناية، مع الأخذ في الاعتبار أن ‪11‬‏ ناقص ‪𝑥‬‏ الكل تربيع يعني ‪11‬‏ ناقص ‪𝑥‬‏ في ‪11‬‏ ناقص ‪𝑥‬‏، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ‪121‬‏ ناقص ‪𝑥22‬‏ زائد ‪𝑥‬‏ تربيع. يمكننا تجميع الحدود المتشابهة في الطرف الأيسر، أي ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑥‬‏ تربيع، وهو ما يعطينا اثنين ‪𝑥‬‏ تربيع. في الوقت نفسه، نطرح ‪65‬‏ من كلا الطرفين ومن ثم نحصل على المعادلة التربيعية اثنين ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص ‪𝑥22‬‏ زائد ‪56‬‏ يساوي صفرًا.

نلاحظ هنا أن كل المعاملات في المعادلة هي أعداد زوجية. إذن، يمكننا التبسيط بقسمة المعادلة كلها على اثنين. وبذلك، نحصل على المعادلة التربيعية المبسطة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص ‪11𝑥‬‏ زائد ‪28‬‏ يساوي صفرًا. الآن، نريد حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏. لنتحقق أولًا مما إذا كان يمكن تحليل هذه المعادلة. بما أن معامل ‪𝑥‬‏ تربيع في المعادلة هنا يساوي واحدًا، فإن الحد الأول في كل قوس سيكون ببساطة ‪𝑥‬‏؛ لأن ‪𝑥‬‏ مضروبًا في ‪𝑥‬‏ يعطينا ‪𝑥‬‏ تربيع. ولإكمال ما بين الأقواس، سنبحث عن عددين مجموعهما يساوي معامل ‪𝑥‬‏، أي سالب ‪11‬‏، وحاصل ضربهما يساوي الحد الثابت، أي ‪28‬‏.

بالتفكير في عوامل العدد ‪28‬‏، نلاحظ أنه إذا اخترنا العددين سالب سبعة وسالب أربعة، فإن حاصل ضربهما سيساوي بالفعل ‪28‬‏؛ لأن ضرب سالب في سالب يساوي موجبًا. ومجموعها يساوي بالفعل سالب ‪11‬‏. إذن، هذان هما العددان اللذان نبحث عنهما لإكمال ما بين الأقواس. وبهذا يصبح لدينا المعادلة التربيعية في صورتها التحليلية. ‏‏‪𝑥‬‏ ناقص سبعة مضروبًا في ‪𝑥‬‏ ناقص أربعة يساوي صفرًا.

لحل هذه المعادلة، نأخذ كل عامل تباعًا، ونساويه بالصفر، ثم نحل المعادلة الناتجة. لدينا ‪𝑥‬‏ ناقص سبعة يساوي صفرًا، ويمكن حل هذه المعادلة بإضافة سبعة إلى كلا الطرفين فنحصل على ‪𝑥‬‏ يساوي سبعة، ثم ‪𝑥‬‏ ناقص أربعة يساوي صفرًا، ونحل هذه المعادلة بإضافة أربعة إلى كل طرف فنحصل على ‪𝑥‬‏ يساوي أربعة. وبهذا نكون حللنا المعادلة لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏. توجد قيمتان محتملتان. إما ‪𝑥‬‏ يساوي أربعة وإما ‪𝑥‬‏ يساوي سبعة.

علينا الآن إيجاد قيم ‪𝑦‬‏ المناظرة، وهو ما يمكننا فعله بالتعويض بكل من قيمتي ‪𝑥‬‏ في المعادلة الخطية، وهي ‪𝑦‬‏ يساوي ‪11‬‏ ناقص ‪𝑥‬‏. عند ‪𝑥‬‏ يساوي سبعة، نجد أن ‪𝑦‬‏ يساوي ‪11‬‏ ناقص سبعة وهو ما يساوي أربعة. وعند ‪𝑥‬‏ يساوي أربعة، نجد أن ‪𝑦‬‏ يساوي ‪11‬‏ ناقص أربعة، وهو ما يساوي سبعة. إذن قيمتا ‪𝑦‬‏ اللتان حصلنا عليهما هما نفس قيمتي ‪𝑥‬‏.

سبب ذلك هو أننا في بداية المسألة مثلنا العددين بالمتغيرين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏. ولم نحدد ما إذا كان ‪𝑥‬‏ هو العدد الأكبر أم ‪𝑦‬‏. وعليه، توصلنا إلى الحل نفسه مرتين. إذن، العددان هما سبعة وأربعة. ويمكن لأي منهما أن يكون ‪𝑥‬‏، والآخر ‪𝑦‬‏. يمكننا بالطبع التأكد من إجابتنا، بالتأكد أولًا من أن مجموع العددين يساوي ‪11‬‏، وهو كذلك بالفعل، ثم بالتأكد ثانيًا من أن مجموع مربعيهما، أي سبعة تربيع زائد أربعة تربيع، وهو ما يعني ‪49‬‏ زائد ‪16‬‏، يساوي بالفعل ‪65‬‏.

إذن، من خلال كتابة المعطيات الموجودة في السؤال على صورة نظام من المعادلات الخطية والتربيعية أولًا، ثم حل هذا الزوج من المعادلات الآنية باستخدام طريقة التعويض، وجدنا أن العددين اللذين نريد إيجادهما هما سبعة وأربعة.

إن أحد التطبيقات المفيدة حقًا لهذه الطرق هو إيجاد نقاط تقاطع خط مستقيم ومنحنى، كما ذكرنا في بداية الفيديو. ولنتناول الآن مثالًا من هذا النوع.

أوجد مجموعة نقاط تقاطع التمثيل البياني لكل من ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا وستة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي ‪45‬‏.

مطلوب منا إيجاد نقاط تقاطع ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا، وهو خط مستقيم، وستة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي ‪45‬‏، وهو منحنى. وهذا يكافئ حل نظام من المعادلات الخطية والتربيعية ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا، وستة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي ‪45‬‏. وسنفعل ذلك باستخدام طريقة التعويض. نبدأ بإعادة ترتيب المعادلة الخطية بحيث نحصل على أحد المتغيرين بدلالة الآخر. نجد أن ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑦‬‏.

سنعوض بالمعادلة التي تعبر عن قيمة ‪𝑥‬‏ في المعادلة الثانية. وبذلك نحصل على ستة ‪𝑦‬‏ تربيع ناقص ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي ‪45‬‏. كان بإمكاننا أيضًا التعويض بـ ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ في المعادلة الثانية، وهو ما كان سيعطينا ستة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي ‪45‬‏. كلتا الطريقتين تؤديان إلى الحل نفسه. يمكننا الآن حل هذه المعادلة التربيعية لإيجاد قيمة ‪𝑦‬‏.

عند تبسيط الطرف الأيسر، وهو ستة ‪𝑦‬‏ تربيع ناقص ‪𝑦‬‏ تربيع، فإننا نحصل على خمسة ‪𝑦‬‏ تربيع. ثم نقسم الطرفين على خمسة، وهو ما يعطينا ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي تسعة، ثم نحلها بإيجاد الجذر التربيعي. تذكر أنه لا بد أن نأخذ موجب أو سالب الجذر التربيعي. إذن لدينا ‪𝑦‬‏ يساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لتسعة، وهو ما يساوي موجب أو سالب ثلاثة.

بعد أن وجدنا قيمتي ‪𝑦‬‏، علينا الآن إيجاد قيمتي ‪𝑥‬‏ المناظرتين، من خلال التعويض في المعادلة الخطية. وهي عملية مباشرة جدًا. بما أنه يمكن التعبير عن المعادلة الخطية بالصورة ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑦‬‏، إذن، كل قيمة من قيمتي ‪𝑥‬‏ تساوي قيمة ‪𝑦‬‏ المناظرة لها. وبهذا نجد أنه يوجد نقطتا تقاطع بين التمثيلين البيانيين، وهما: النقطة ثلاثة، ثلاثة، والنقطة سالب ثلاثة، سالب ثلاثة، ويمكن التعبير عنهما على صورة مجموعة تتضمن هذين الزوجين من الإحداثيات.

قد لا تدرك من الوهلة الأولى شكل التمثيل البياني للمعادلة ستة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي ‪45‬‏. لكن إذا كنت تستخدم آلة حاسبة رسومية أو برنامجًا للتمثيل البياني، فستتمكن من رسم هذين التمثيلين البيانيين. التمثيل البياني لـ ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا هو خط مستقيم والتمثيل البياني لستة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي ‪45‬‏ هو ما يعرف باسم القطع الزائد. وبالنظر إلى هذين التمثيلين البيانيين، يتأكد لك أن نقطتي التقاطع هما بالفعل النقطتان اللتان حصلنا عليهما هنا.

في المثال الأخير، سنتناول مسألة تتضمن متغيرين مضروبين معًا في إحدى المعادلتين.

إذا كان ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑥𝑦‬‏ يساوي ‪18‬‏ و‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑦‬‏ يساوي ستة، فأوجد قيمة ‪𝑥‬‏.

لدينا في هذا المثال نظام من المعادلات الخطية والتربيعية. فالمعادلة الأولى ‪𝑥‬‏ زائد ‪𝑦‬‏ يساوي ستة هي معادلة خطية. والمعادلة الثانية ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑥𝑦‬‏ يساوي ‪18‬‏ هي معادلة تربيعية؛ لأنها تتضمن الحد ‪𝑥‬‏ تربيع وكذلك الحد ‪𝑥𝑦‬‏، حيث المتغيران مضروبان معًا. لم يطلب منا هنا حل نظام المعادلات بالكامل بل إيجاد قيمة ‪𝑥‬‏ فقط. ولذا، سنفعل هذا باستخدام طريقة التعويض.

نبدأ بإعادة ترتيب المعادلة الأولى ونحصل على ‪𝑦‬‏ يساوي ستة ناقص ‪𝑥‬‏، وهو ما يعطينا قيمة ‪𝑦‬‏ بدلالة ‪𝑥‬‏، التي يمكننا التعويض بها في المعادلة الثانية للحصول على معادلة بدلالة ‪𝑥‬‏ فقط. عند القيام بذلك، نحصل على المعادلة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑥‬‏ مضروبًا في ستة ناقص ‪𝑥‬‏ يساوي ‪18‬‏. وبهذا أصبح لدينا معادلة تربيعية بدلالة ‪𝑥‬‏، يمكننا حلها.

نوزع الأقواس في الطرف الأيسر فنحصل على ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ستة ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي ‪18‬‏. ونلاحظ الآن أن الحدين ‪𝑥‬‏ تربيع وسالب ‪𝑥‬‏ تربيع يلغيان معًا. ومن ثم، تتحول المعادلة إلى معادلة خطية. فيصبح لدينا ستة ‪𝑥‬‏ يساوي ‪18‬‏. ويمكن حل هذه المعادلة بقسمة الطرفين على ستة للحصول على ‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة. إذن، بالتعويض بـ ‪𝑦‬‏ يساوي ستة ناقص ‪𝑥‬‏ في المعادلة الثانية، نكون قد وجدنا معادلة بدلالة المتغير ‪𝑥‬‏ فقط ويمكننا حلها لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏.

بالطبع، لم تطلب منا المسألة إيجاد قيمة ‪𝑦‬‏. لكن إذا طلب منا ذلك، فيمكننا التعويض بقيمة ‪𝑥‬‏ التي حصلنا عليها مرة أخرى في المعادلة الخطية، ‪𝑦‬‏ يساوي ستة ناقص ‪𝑥‬‏، وذلك لإيجاد قيمة ‪𝑦‬‏ المناظرة لها. إذن، حل هذه المسألة هو أن قيمة ‪𝑥‬‏ تساوي ثلاثة.

لنلخص الآن ما تناولناه في هذا الفيديو. أولًا، نظام المعادلات الخطية والتربيعية هو ببساطة نظام مكون من معادلتين إحداهما خطية والأخرى تربيعية. ويمكننا حل هذا النوع من أنظمة المعادلات باستخدام طريقة التعويض. نعيد ترتيب المعادلة الخطية للحصول على أحد المتغيرين بدلالة المتغير الآخر، ثم نعوض بقيمة هذا المتغير في المعادلة التربيعية. بعد ذلك، نحل المعادلة التربيعية الناتجة، وعادة ما يكون ذلك باستخدام التحليل. ثم نعوض مرة أخرى بقيمة أو بقيم المتغير الأول التي حصلنا عليها في المعادلة الخطية لإيجاد قيم المتغير الثاني المناظرة لها.

لا بد أن نتذكر أن الحلول التي نجدها تكون في صورة أزواج. وعليه، فلا بد أن نعطي الحل في صورة زوجين متناظرين لكلا المتغيرين. ولا يمكننا الخلط بين القيم المختلفة. ورأينا أيضًا في هذا الفيديو أنه يمكن تطبيق هذه الطريقة على عدد من المسائل. وأحد التطبيقات المفيدة جدًا لهذه الطريقة هو إيجاد إحداثيات أي نقاط تقاطع بين خط مستقيم ومنحنى.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.