فيديو السؤال: إيجاد فترات تقعر الدالة الكثيرة الحدود لأعلى ولأسفل الرياضيات

أوجد الفترات التي تكون فيها الدالة ﺩ(ﺱ) = ﺱ^٣ − ١١ﺱ + ٢ مقعرة لأعلى ومقعرة لأسفل.

٠٦:٢٠

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد الفترات التي تكون فيها الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تكعيب ناقص ١١ﺱ زائد اثنين مقعرة لأعلى ومقعرة لأسفل.

حسنًا، قبل البدء في حل هذه المسألة، علينا أن نفهم معنى التقعر لأعلى والتقعر لأسفل. في هذا الرسم التوضيحي، رسمت جزءًا من الدالة. الأمر الملاحظ هو أن الميل في هذه الدالة يتزايد فعليًا في هذا الجزء من الدالة.‎ وهذا لأن لدينا تقعرًا لأعلى.

بينما في الرسم الثاني، نلاحظ أنه إذا كان التقعر لأسفل، أي إذا كان الجزء من الدالة الذي ننظر إليه مقعرًا لأسفل، فإن الميل يتناقص فعليًا. إذن، الميل هو مفتاح الحل هنا، لأننا عندما ننظر إلى الميل، فإننا نريد معرفة التزايد والتناقص. ولتمكيننا من فعل ذلك، يوجهنا الميل إلى الخطوة التالية في حلنا للمسألة، إذ نريد إيجاد دالة الميل أو ﺩﺹ على ﺩﺱ.

ولذلك، علينا إيجاد مشتقة الدالة ﺩﺱ، التي كتبتها في صورة ﺩ شرطة ﺱ. وبالفعل، يمكنك ملاحظة أنها هي نفسها ﺩﺹ على ﺩﺱ. لكنها طريقة أخرى لكتابة المشتقة. والآن باشتقاق الدالة، سنحصل على ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ١١.

وذلك لأننا إذا ضربنا معامل ﺱ تكعيب، وهو واحد، في الأس، وهو ثلاثة، نحصل على ثلاثة. ثم ننقص الأس بمقدار واحد. نحصل على اثنين لأن القيمة تنقص، من ثلاثة إلى اثنين. بذلك نحصل على ثلاثة ﺱ تربيع. ثم نشتق سالب ١١ﺱ فنحصل على سالب ١١.

مذهل! لدينا الآن دالة ميل بالفعل. لكن ما هي فائدتها؟ إنها تفيدنا في إيجاد ميل التمثيل البياني للدالة عند نقاط معينة. لكن في هذا السؤال، نحتاج إلى معرفة الفترات التي تتقعر فيها الدالة لأعلى أو لأسفل، أي متى تزيد ومتى تنقص من حيث ميلها.

وبما أننا نريد معرفة فترات تقعر الدالة لأعلى ولأسفل، فلقد رسمت ثلاثة رسوم توضيحية لمساعدتنا في فهم ما علينا فعله تاليًا. الرسم الأول عبارة عن دالة. لقد اخترت دالة تكعيبية لأن الدالة التي في السؤال تكعيبية.

وكما قلت، فإن التمثيل البياني الأول يوضح دالة تكعيبية. بينما يوضح التمثيل البياني الثاني مشتقة تلك الدالة. ومن ثم فهو يوضح دالة الميل. وبالنظر إلى الجزء الذي ميزته باللون الوردي، يمكننا ملاحظة أن الميل يتناقص حتى النقطة التي حددتها. وهذا ما يؤكده التمثيل البياني الثالث، الذي يوضح المشتقة الثانية، حيث نلاحظ أن المشتقة الثانية سالبة حتى هذه النقطة. ومن ثم فإن الميل يتناقص بالفعل.

ونلاحظ في الجزء الثاني من هذه الدالة، أن الميل يتزايد. وإذا نظرنا إلى المشتقة الأولى، أي دالة الميل الممثلة بالتمثيل البياني الثاني، وإلى التمثيل البياني الثالث الذي يمثل المشتقة الثانية، يمكننا ملاحظة أن هذا الجزء بأكمله موجب.

بما أننا نحاول إيجاد الفترات التي يتناقص فيها الميل أو يتزايد، أي يحدث تقعر لأعلى أو لأسفل، فها هي إحدى النقاط الرئيسية. وقد حددت هذه النقطة الرئيسية باللون البرتقالي. إذا نظرت إلى التمثيلات البيانية الأول والثاني والثالث، فستجد النقطة في التمثيل البياني الثالث. يمكننا ملاحظة أنها النقطة التي تكون عندها المشتقة الثانية مساوية للصفر، لأنها النقطة التي ينتقل الميل عندها من التناقص إلى التزايد.

إذن لمعرفة هذه القيمة، دعونا نساو المشتقة الثانية بالصفر. لكن لمساواة المشتقة الثانية بالصفر، علينا إيجادها أولًا. ونوجدها عن طريق اشتقاق المشتقة الأولى، وهي ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ١١. عند اشتقاق هذا المقدار، يتبقى لدينا ستة ﺱ.

إذن علينا الآن إيجاد قيمة ﺱ عندما تكون المشتقة الثانية مساوية للصفر، أي النقطة المحددة في الرسم. لدينا صفر يساوي ستة ﺱ. والآن، لحل ذلك، حسنًا، يمكننا بوضوح ملاحظة أن ﺱ يساوي صفرًا. وهذه هي النقطة الرئيسية لأنها النقطة المحددة في الرسم كما قلت. وستكون في الواقع نقطة الانقلاب للدالة.

إذن، ستكون النقطة التي سننتقل فيها من التقعر لأعلى إلى التقعر لأسفل. وإذا نظرنا الآن إلى ما حصلنا عليه، فسنجد أن لدينا نقطة الصفر. وبذلك تكون هي نقطة الانقلاب. ثم يمكننا القول إن أي شيء إلى اليسار حتى سالب ما لا نهاية سيكون مقعرًا لأسفل. وهذه هي فترة تناقص الميل بالفعل. وأي شيء إلى اليمين سيكون موجبًا، أي مقعرًا لأعلى، وهذه هي فترة تزايد الميل.

ولكن علينا التحقق من هذا. وللقيام بذلك، سنعوض بقيمتين واقعتين على جانبي الصفر لنتحقق من توافقهما مع التقعر لأعلى والتقعر لأسفل.

سأبدأ إذن بالتعويض بـ ﺱ يساوي واحدًا في المشتقة الثانية للدالة. نحصل على قيمة للمشتقة الثانية تساوي ستة في واحد، ما يعطينا ستة، وهو عدد موجب. رائع جدًا! هذا يؤكد صحة إجابتنا. إذن يبدو أن نقطة الانقلاب صفرًا صحيحة، لأن العدد الذي اختبرناه على يمينها يعطي قيمة موجبة. إذن سيكون التقعر لأعلى. والميل يتزايد.

والآن سنعوض بـ ﺱ يساوي سالب واحد، لأنه عدد أقل من قيمة الصفر التي لدينا. إذن قيمة المشتقة الثانية تساوي ستة في سالب واحد، ما يعطينا سالب ستة، وهي قيمة سالبة.

إذن التقعر لأسفل سيكون بالفعل في الفترة من سالب ما لا نهاية إلى صفر. وهكذا ترى أن أي شيء أقل من الصفر سيعطينا نقطة يتناقص عندها الميل. لذا سنحصل على تقعر لأسفل، وسيكون التقعر لأعلى في الفترة من صفر إلى ما لا نهاية، إذ نلاحظ أن كل شيء يقع على يمين النقطة صفر، أي نقطة الانقلاب، سيكون حيث يتزايد الميل، وبالتالي يكون التقعر لأعلى.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.