فيديو السؤال: إيجاد النهايات من جهة واحدة لدالة متعددة التعريف الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد نهاية الدالة ﺩﺱ حين تقترب ﺱ من سالب تسعة من جهة اليسار، ونهاية الدالة ﺩﺱ حين تقترب ﺱ من سالب تسعة من جهة اليمين؛ حيث تعرف الدالة ﺩﺱ بأنها تساوي ٧٨ لكل ﺱ أقل من سالب تسعة، وتساوي سالب تسعة ﺱ ناقص سبعة لكل ﺱ أكبر من أو تساوي سالب تسعة.

إن ﺩ هي دالة متعددة التعريف. ونحن نريد معرفة النهايتين اليمنى واليسرى للدالة ﺩﺱ حين يقترب ﺱ من القيمة سالب تسعة التي تتغير معها قاعدة تعريف الدالة. لنبدأ بالنهاية اليسرى، وهي نهاية الدالة ﺩﺱ حين تقترب ﺱ من سالب تسعة من جهة اليسار.

إن علامة الناقص الفوقية هذه الموجودة على سالب تسعة تخبرنا بأننا نقترب من هذه القيمة من جهة اليسار. فهذا يعني أننا لا يعنينا إلا قيم ﺱ الأقل من سالب تسعة. ويمكننا أن نرى أن الدالة ﺩﺱ تساوي ٧٨ لأي قيمة تكون فيها ﺱ أقل من سالب تسعة.

ولأننا في هذه النهاية لا نهتم بما يحدث للدالة ﺩﺱ حين تكون ﺱ أكبر من أو تساوي سالب تسعة، فنحن نقترب منها من جهة اليسار. وهكذا تصبح ﺱ أقل من سالب تسعة في نهايتنا. وعليه يمكننا استبدال الدالة ﺩﺱ بـ ٧٨، والتي تكون عليها حين تكون ﺱ أقل من سالب تسعة.

ونهاية أية دالة ثابتة مثل تلك التي قيمتها ٧٨ تساوي هذا الثابت. وعليه، فإن النهاية تساوي ٧٨. هكذا نكون قد حسبنا النهاية من جهة اليسار. والآن ماذا عن النهاية اليمنى؟ إننا الآن نرى علامة الزائد الفوقية هذه، والتي توضح لنا أن ﺱ تقترب من سالب تسعة من جهة اليمين. وهكذا نرى أن ﺱ أكبر من سالب تسعة، لكنها تقترب أكثر وأكثر من سالب تسعة.

وهكذا، في هذه النهاية نحن لا نهتم بما يحدث لهذه الدالة إلا حين تكون ﺱ أكبر من سالب تسعة. وحين تكون ﺱ أكبر من سالب تسعة، تكون ﺱ بالتأكيد أكبر من أو تساوي سالب تسعة. والدالة ﺩﺱ تساوي سالب تسعة ﺱ ناقص سبعة في هذه المنطقة.

وهذه نهاية دالة كثيرة الحدود، أو في الواقع دالة خطية. وهكذا يمكننا التعويض مباشرة حتى نحصل على قيمة هذه النهاية. فنعوض بسالب تسعة ونحسب قيمة هذا المقدار، لنحصل في النهاية على ٧٤.

وعند وضع النهايتين معًا نرى أن قيمة النهاية اليسرى، نهاية الدالة ﺩﺱ حين تقترب ﺱ من سالب تسعة من جهة اليسار، تساوي ٧٨. ونرى أن قيمة النهاية اليمنى، نهاية الدالة ﺩﺱ حين تقترب ﺱ من سالب تسعة من جهة اليمين، تساوي ٧٤.

وعلى هامش هذا، يمكننا ملاحظة أن قيمة كل من النهاية اليسرى والنهاية اليمنى مختلفة عن الأخرى؛ فالنهاية اليسرى تساوي ٧٨، في حين تساوي النهاية اليمنى ٧٤. وهكذا، فإن نهاية الدالة ﺩﺱ حين تقترب ﺱ من سالب تسعة، من كلتا الجهتين، غير موجودة.