فيديو الدرس: الزوايا في الوضع القياسي الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نتعرف على الزوايا في الوضع القياسي، وكيف نوجد القياسات الموجبة والقياسات السالبة للزوايا المكافئة.

١٥:٥٨

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نتعرف على الزوايا في الوضع القياسي، وكيف نوجد القياسات الموجبة والسالبة للزوايا المكافئة. سنتطرق في هذا الدرس إلى الأرباع الأربعة للمستوى الإحداثي، ولذا سنذكر أنفسنا بما نعنيه بذلك. نقسم المستوى الإحداثي إلى أربعة أرباع تسمى بالأرباع. ونرقمها في عكس اتجاه عقارب الساعة مستخدمين الأرقام الرومانية لإجراء ذلك؛ بحيث يكون هذا هو الربع الأول، وهذا هو الربع الثاني، وهذا هو الربع الثالث، وهذا هو الربع الرابع.

ربما اعتدنا أيضًا على قياس الزوايا بالدرجات، بحيث يساوي قياس الدورة الكاملة ٣٦٠ درجة. ورغم أنه ليس شرطًا أساسيًا لذكره بالفيديو، لكن تجدر الإشارة الآن إلى أنه يمكننا أيضًا قياس الزوايا بالراديان حيث يصبح قياس الدورة الكاملة، الذي يساوي ٣٦٠ درجة، اثنين 𝜋 راديان. إذن، يتناول هذا الدرس الزوايا في الوضع القياسي. لكن ما الذي يعنيه هذا تحديدًا؟ تكون الزاوية في وضع قياسي إذا كان رأسها يقع عند نقطة الأصل ويقع أحد الشعاعين على محور ﺱ الموجب. والشعاع الذي يقع على المحور ﺱ يسمى ضلع الابتداء، والشعاع الآخر يسمى ضلع الانتهاء.

نقول أيضًا إنه إذا كان ضلع انتهاء الزاوية يقع على أحد المحاور، أي عند ٩٠ درجة أو ١٨٠ درجة مثلًا، فإنها تسمى بالزاوية الربعية. تقاس الزاوية بعد ذلك بمقدار الدوران من ضلع الابتداء إلى ضلع الانتهاء. إذا كان قياس الزاوية في عكس اتجاه عقارب الساعة، فإننا نقول إن القياس موجب. لكن إذا كنا نقيس الزاوية في اتجاه عقارب الساعة، فإننا نقول إن القياس سالب.

يشير تعريفنا الأخير إلى أن أي زاويتين في الوضع القياسي ولهما ضلع الانتهاء نفسه، تسميان زاويتين متكافئتين؛ ومن ثم نلاحظ من الشكل هنا أن الزاويتين اللتين قياسهما ٦٠ درجة وسالب ٣٠٠ درجة هما زاويتان متكافئتان. إذن، دعونا نتدرب عمليًا على تحديد ما إذا كانت الزوايا في الوضع القياسي بالفعل أم لا.

هل الزاوية في الوضع القياسي؟

تكون الزاوية في وضع قياسي إذا كان رأسها يقع عند نقطة الأصل ويقع أحد الشعاعين، الذي نسميه بضلع الابتداء، على محور ﺱ الموجب. الآن، هذه الزاوية يحدها الشعاعان المحددان باللون الأصفر. نلاحظ بالفعل أن أحد الضلعين يقع على محور ﺱ الموجب، ويبدو أن الرأس عند نقطة الأصل. ونحن نعلم أيضًا أن ضلع الابتداء لهذه الزاوية هو الذي يقع بالفعل على محور ﺱ الموجب وليس ضلع الانتهاء. ويرجع ذلك لوجود سهم يخبرنا بالاتجاه.

إذا كان السهم يتحرك في الاتجاه المعاكس، فلا يمكننا القول إن الزاوية في الوضع القياسي؛ لأن ضلع الابتداء لن يقع حينها على محور ﺱ الموجب. ومن ثم، نلاحظ أن الزاوية الموضحة تحقق جميع المعايير لتكون في الوضع القياسي. إذن، الإجابة هي نعم.

هل الزاوية في الوضع القياسي؟

تذكر أننا نقول إن الزاوية تكون في الوضع القياسي إذا كان رأسها يقع عند نقطة الأصل ويقع أحد الشعاعين، الذي نسميه بضلع الابتداء، على محور ﺱ الموجب. الزاوية الموضحة هي زاوية تقاس في عكس اتجاه عقارب الساعة بين ضلعين محددين باللون الأصفر. كما يقع أحد هذين الشعاعين بالفعل على محور ﺱ الموجب. وفي الواقع، يمكننا ملاحظة أنه ضلع الابتداء؛ نظرًا لمعرفتنا باتجاه قياس الزاوية. نلاحظ أيضًا وقوع الرأس، وهو نقطة التقاء الضلع الابتدائي والضلع النهائي، عند نقطة الأصل. ومن ثم، تحقق هذه الزاوية جميع المعايير ذات الصلة المطلوبة لاعتبارها في الوضع القياسي. إذن، الإجابة هي نعم.

دعونا الآن نتناول مثالًا محددًا بزوج مرتب.

هل الزوج المرتب للشعاعين ﺟﺃ وﺟﺩ يعبر عن زاوية في الوضع القياسي؟

نحن نعلم أنه لكي تكون الزاوية في الوضع القياسي، يجب أن يكون رأسها عند نقطة الأصل ويجب أن يقع ضلع الابتداء على محور ﺱ الموجب. الآن، هذه الزاوية محددة بهذا الزوج المرتب. لدينا إذن الشعاع الواصل بين ﺟ وﺃ والشعاع الواصل بين ﺟ وﺩ. الشعاع الواصل بين ﺟ وﺃ هو ذلك الذي يقع بالفعل على محور ﺱ الموجب. ونعلم أنه ضلع الابتداء لهذه الزاوية؛ لأنه مذكور أولًا. والشعاع الواصل بين ﺟ وﺩ هو ذلك الموضح هنا، وهذا يعني أن الزاوية التي تعنينا هي هذه الزاوية. لكن هل يقع رأسها عند نقطة الأصل؟ حسنًا، لا، الرأس يقع هنا تقريبًا. إنه موجود عند نقطة ما على محور ﺱ الموجب. ومن ثم، فإن الزوج المرتب المحدد بالشعاع ﺟﺃ والشعاع ﺟﺩ لا يعبر عن زاوية في الوضع القياسي. إذن، الإجابة هي لا.

لكن هناك زاويتين في الوضع القياسي هنا. الأولى تعطى بالزوج المرتب المحدد بالشعاع الواصل بين ﻭ وﺟ، والشعاع الواصل بين ﻭ وﻫ. يقع الشعاع ﻭﺟ على محور ﺱ الموجب، ويرتكز الرأس عند نقطة الأصل. وبالمثل، يمكننا البدء بضلع الابتداء نفسه، وهو الشعاع الواصل بين ﻭ وﺟ، ثم القياس حتى الشعاع الواصل بين ﻭ وﻑ. ولا يزال رأس هذه الزاوية يقع عند نقطة الأصل؛ ومن ثم تكون الزاوية أيضًا في الوضع القياسي.

في المثال التالي، سنتناول كيف يمكننا إيجاد قيمة زاويتين متكافئتين.

اذكر الزاوية المنتسبة الموجبة للزاوية الموضحة.

تذكر أنه عند التفكير في الزوايا في الوضع القياسي، فإن الزاوية تقاس بمقدار الدوران من ضلع الابتداء إلى ضلع الانتهاء. إذا كنا نقيس الزاوية في عكس اتجاه عقارب الساعة، فإننا نعتبر قياسها موجبًا. وإذا كنا نقيس في اتجاه عقارب الساعة، فإننا نقول إن القياس سالب. نقول أيضًا إنه إذا كان هناك زاويتان في الوضع القياسي لهما الضلع النهائي نفسه، فإنهما تسميان زاويتين متكافئتين. لدينا هنا زاوية قياسها سالب ٣٤٠ درجة. وبالطبع، بما أن القياس سالب، فإن قياسها في اتجاه عقارب الساعة.

لإيجاد قياس الزاوية المكافئة، علينا تحديد مكان ضلع الانتهاء. ضلع الانتهاء هو هذا الضلع. إذن، لإيجاد الزاوية المنتسبة الموجبة، علينا إيجاد قياس هذه الزاوية الموجودة هنا، أي هذه الزاوية الحادة. دعونا إذن نستفد من إحدى الحقائق الأساسية للزوايا. نحن نعلم أن مجموع قياسات الزوايا المتجمعة حول نقطة يساوي ٣٦٠ درجة. وبذلك، نأخذ قياس الزاوية المنعكسة الذي يساوي ٣٤٠ درجة — وتذكر أن السالب يخبرنا فقط بالاتجاه — وسنطرح قيمته من ٣٦٠. ‏‏٣٦٠ ناقص ٣٤٠ يساوي ٢٠ درجة. وبما أن هذه الزاوية تقاس بالفعل في عكس اتجاه عقارب الساعة بدءًا من ضلع ابتدائها، فإننا نقول إن قياسها موجب. إذن، قياس الزاوية المنتسبة الموجبة للزاوية الموضحة هو ٢٠ درجة.

والآن بعد معرفتنا لكيفية إيجاد قيمة زاويتين متكافئتين، هيا بنا نتعلم كيفية إيجاد عدة زوايا متكافئة.

أوجد الزاوية الموجبة والسالبة المكافئة للزاوية التي قياسها ٣٤٠ درجة.

تذكر أنه عندما نفكر بالزوايا في الوضع القياسي، فإن الزاوية تقاس بمقدار الدوران من ضلع الابتداء إلى ضلع الانتهاء. إذا كنا نقيس الزاوية في عكس اتجاه عقارب الساعة، فإننا نعتبر قياسها موجبًا. وإذا كنا نقيسها في اتجاه عقارب الساعة، فإن القياس يكون سالبًا. كما نقول إنه إذا كان هناك زاويتان في الوضع القياسي ولهما ضلع الانتهاء نفسه، فإنهما تسميان زاويتين متكافئتين. إذن، لنرسم الزاوية التي قياسها ٣٤٠ درجة أولًا.

يجب أن يقع رأس هذه الزاوية عند نقطة الأصل، ويجب أن يقع ضلع الابتداء لها على محور ﺱ الموجب. إذن، فهو ذلك الضلع الأصفر الموضح. إنها زاوية قياسها موجب ٣٤٠ درجة، لذلك نقيس ٣٤٠ درجة في عكس اتجاه عقارب الساعة. والدورة الكاملة، بالطبع، تساوي ٣٦٠ درجة. إذن، فهي أقل قليلًا من دورة كاملة. ولذا، فإن هذه الزاوية في الوضع القياسي ستبدو على هذا النحو تقريبًا. علينا إيجاد زاوية مكافئة أخرى موجبة وزاوية مكافئة أخرى سالبة. سنبدأ بالزاوية المكافئة السالبة؛ لأن إيجادها أسهل قليلًا.

بما أننا نقيس بدءًا من ضلع الابتداء إلى ضلع الانتهاء ولكننا نريد أن يكون القياس سالبًا، فسنتحرك في اتجاه عقارب الساعة. أي ببساطة من هنا إلى هنا. ومن ثم، سنطرح قياس الزاوية المعطى، أي ٣٤٠ درجة، من مقدار الدرجات في دورة كاملة، الذي يساوي ٣٦٠ درجة. ‏‏٣٦٠ ناقص ٣٤٠ يساوي ٢٠ أو ٢٠ درجة. إذن، قياس الزاوية يساوي ٢٠ درجة. لكن لأننا نقيسها في اتجاه عقارب الساعة، نقول إنه يساوي سالب ٢٠ درجة.

هذه هي الزاوية المكافئة السالبة. لكن كيف نوجد الزاوية الموجبة؟ في الواقع، ما سنفعله هو إكمال الدورة التي قياسها ٣٤٠ درجة، ثم إكمال دورة كاملة أخرى. وبذلك، نعود إلى ضلع الانتهاء نفسه. ومن ثم، لإيجاد قيمة هذه الزاوية المكافئة الموجبة، سنضيف دورة كاملة إلى الدورة الأولى. إذن، لدينا ٣٤٠ زائد تلك الدورة الكاملة، أي ٣٦٠ درجة. ‏‏٣٤٠ زائد ٣٦٠ يساوي ٧٠٠. وبالطبع، نقيسها في عكس اتجاه عقارب الساعة؛ أي إن قياسها موجب ٧٠٠ درجة. إذن، قياسا الزاويتين الموجبة والسالبة المكافئتين للزاوية التي قياسها ٣٤٠ درجة هما ٧٠٠ درجة وسالب ٢٠ درجة.

وبالطبع، هذا يعني أنه يمكننا الاستمرار في إكمال الدورات ولا نزال ننتهي عند ضلع الانتهاء ذلك. هذا يعني، في واقع الأمر، أن هناك عددًا لا نهائيًا من القيم المختلفة لكل من الزاويتين المكافئتين الموجبة والسالبة.

في المثال الأخير، سنلقي نظرة على كيفية تحديد الربع الذي تقع فيه زاوية في الوضع القياسي.

في أي ربع تقع الزاوية التي قياسها سالب ٢٤٢ درجة؟

تذكر أننا إذا حددنا المستوى الإحداثي، فيمكننا تقسيمه إلى أربعة أرباع تسمى بالأرباع. سنرقم هذه الأرباع في عكس اتجاه عقارب الساعة مستخدمين الأرقام الرومانية لإجراء ذلك. يمكننا القول إن هذا الربع هو الربع الأول. ثم لدينا الربع الثاني هنا. والربع الثالث يقع هنا. وهذا هو الربع الرابع. إذن، في أي ربع تقع الزاوية التي قياسها سالب ٢٤٢ درجة؟

حسنًا، لإيجاد ذلك، سنبدأ بإضافة ضلع الابتداء لهذه الزاوية إلى الشكل. ويجب أن يقع رأس هذه الزاوية عند نقطة الأصل وضلع ابتدائها على محور ﺱ الموجب كما هو موضح. وبما أن الزاوية سالبة، فعلينا التحرك في اتجاه عقارب الساعة. سنفعل ذلك بفترات قدرها ٩٠ درجة. ‏‏٩٠ درجة تنقلنا إلى هذا الخط هنا. ثم ٩٠ درجة أخرى تنقلنا نصف دورة. أي تنقلنا ١٨٠ درجة. وسيقع ضلع الانتهاء على محور ﺱ السالب. إذا استكملنا الانتقال بمقدار ٩٠ درجة أخرى، فسنصل إلى ٢٧٠ درجة.

وبالطبع، بما أننا نتحرك في اتجاه عقارب الساعة، فستكون جميع القياسات سالبة. لكننا نريد قياس ٢٤٢ درجة فقط. ومن ثم، لن نكمل تمامًا ذلك الربع الأخير من الدورة. إذن، يمكننا القول إن الزاوية التي قياسها سالب ٢٤٢ درجة تقع في الربع الثاني.

دعونا نلخص النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الدرس. تعتبر أي زاوية في الوضع القياسي إذا كان رأسها يقع عند نقطة الأصل ويقع أحد الشعاعين على محور ﺱ الموجب. والشعاع الذي يقع على المحور ﺱ يسمى ضلع الابتداء. في حين أن الشعاع الآخر الذي يكون الزاوية يسمى ضلع الانتهاء. وتعرف أيضًا الزاوية الربعية بأنها زاوية يقع فيها ضلع الانتهاء على أحد المحاور، أي على سبيل المثال عند ٢٧٠ درجة أو ٣٦٠ درجة. بعد ذلك، تقاس الزاوية بمقدار الدوران من ضلع الابتداء إلى ضلع الانتهاء. وإذا كنا نقيس في عكس اتجاه عقارب الساعة، فإن هذا القياس يكون موجبًا. أما إذا كنا نقيس في اتجاه عقارب الساعة، فإن القياس يكون سالبًا.

وأخيرًا، ذكرنا إنه إذا كان هناك زاويتان في الوضع القياسي لهما ضلع الانتهاء نفسه، فإننا نطلق عليهما زاويتين متكافئتين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.