فيديو السؤال: إيجاد السعة الأساسية للأعداد المركبة الرياضيات

إذا كان ﻉ_١ = −٩ − ٩√(٣)ﺕ،ﻉ_٢ = ٤ + ٤√(٣)ﺕ، فاحسب السعة الأساسية للعدد ‪(ﻉ_٢ − ﻉ_١)‬‏.

٠٦:٢٦

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان العدد المركب ﻉ واحد يساوي سالب تسعة ناقص تسعة جذر ثلاثة ﺕ، والعدد المركب ﻉ اثنان يساوي أربعة زائد أربعة جذر ثلاثة ﺕ، فاحسب السعة الأساسية للعدد المركب ﻉ اثنين ناقص ﻉ واحد.

هيا نبدأ حل هذا السؤال بإيجاد تعبير يدل على العدد المركب ﻉ اثنين ناقص ﻉ واحد. بناء على معطيات السؤال، هذا يساوي أربعة زائد أربعة جذر ثلاثة ﺕ ناقص سالب تسعة ناقص تسعة جذر ثلاثة ﺕ. نتذكر هنا أنه لجمع الأعداد المركبة أو طرحها، يمكننا التعامل مع الأجزاء الحقيقية والأجزاء التخيلية كل على حدة.

الجزء الحقيقي لدينا يساوي أربعة ناقص سالب تسعة. هذا هو الجزء الحقيقي من ﻉ اثنين ناقص الجزء الحقيقي من ﻉ واحد، فيصبح مجموع الجزأين الحقيقيين ١٣. الجزء التخيلي من هذا العدد المركب يساوي موجب أربعة جذر ثلاثة ﺕ ناقص سالب تسعة جذر ثلاثة ﺕ. وهذا هو الجزء التخيلي من ﻉ اثنين ناقص الجزء التخيلي من ﻉ واحد. أربعة جذر ثلاثة ناقص سالب تسعة جذر ثلاثة يساوي ١٣ جذر ثلاثة. إذن، ﻉ اثنان ناقص ﻉ واحد يساوي ١٣ زائد ١٣ جذر ثلاثة ﺕ.

بذلك نكون قد عرفنا ما يساويه العدد المركب ﻉ اثنان ناقص ﻉ واحد. علينا بعد ذلك حساب السعة الأساسية لهذا العدد المركب. حسنًا، إذا مثلنا العدد المركب ﻉ اثنين ناقص ﻉ واحد على مخطط أرجاند ثم وصلنا هذه النقطة بنقطة الأصل، فإن سعته ستساوي قياس الزاوية التي تصنعها هذه القطعة المستقيمة مع الجزء الموجب من المحور الحقيقي عكس اتجاه عقارب الساعة. والسعة الأساسية لأي عدد مركب هي قياس ‪𝜃‬‏ الذي يجب أن يكون أكبر من سالب ‪𝜋‬‏ راديان أو سالب ١٨٠ درجة، وأقل من أو يساوي ‪𝜋‬‏ راديان أو ١٨٠ درجة.

يمكننا أن نتذكر هنا صيغة عامة لإيجاد سعة أي عدد مركب. إذا كان ﻉ هو العدد المركب العام ﺃ زائد ﺏﺕ؛ حيث ﺃ وﺏ عددان حقيقيان كلاهما أكبر من صفر، فإن سعة ﻉ تساوي الدالة العكسية لـ ظا ﺏ على ﺃ. دعونا نتذكر السبب وراء هذه الصيغة. ولكي نفعل ذلك، سنرسم مثلثًا قائم الزاوية أسفل القطعة المستقيمة التي تصل بين العدد المركب ﻉ ونقطة الأصل.

إذا كان العدد المركب ﻉ يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ؛ حيث ﺃ وﺏ عددان حقيقيان موجبان، فإن الطول الأفقي في هذا المثلث سيساوي الجزء الحقيقي من العدد المركب ﻉ. وهو ﺃ. والارتفاع الرأسي في هذا المثلث سيساوي الجزء التخيلي من العدد المركب ﻉ. وهو ﺏ. وبما أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية، يمكننا استخدام حساب المثلثات لإيجاد قياس الزاوية ‪𝜃‬‏. ‏ظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الضلع المجاور. وفي هذا المثلث القائم الزاوية، ذلك يساوي ﺏ على ﺃ. إذن، ظا 𝜃 يساوي ﺏ على ﺃ.

وباستخدام الدالة العكسية لـ ظا لكل طرف، نجد أن ‪𝜃‬‏ تساوي الدالة العكسية لـ ظا ﺏ على ﺃ. بذلك، أصبحنا نعرف كيف نوجد سعة أي عدد مركب إذا كان ممثلًا في الربع الأول. وذلك حيث تكون قيمة كل من ﺃ وﺏ موجبة. أما إذا لم يكن العدد المركب ممثلًا في الربع الأول، فربما علينا التفكير جيدًا. لا يزال بإمكاننا استخدام هذه الصيغة كنقطة بداية، لكن قد نحتاج إلى جمع أو طرح ‪𝜋‬‏ أو ١٨٠ درجة من الناتج الذي نحصل عليه من الآلة الحاسبة لإيجاد القياس الحقيقي لـ ‪𝜃‬‏.

لكن في هذا السؤال، نحن نتعامل مع الربع الأول، لذا يمكننا المتابعة واستخدام هذه الصيغة. سعة العدد المركب ﻉ اثنين ناقص ﻉ واحد، التي يمكننا أن نسميها ‪𝜃‬‏، تساوي الدالة العكسية لـ ظا للجزء التخيلي من ﻉ اثنين ناقص ﻉ واحد، أي ١٣ جذر ثلاثة، على الجزء الحقيقي من ﻉ اثنين ناقص ﻉ واحد، أي ١٣. ومن ثم، ‪𝜃‬‏ تساوي الدالة العكسية لـ ظا ١٣ جذر ثلاثة على ١٣. يوجد عامل مشترك بين بسط هذا الكسر ومقامه، وهو ١٣ الذي يمكننا حذفه، فنحصل على ‪𝜃‬‏ تساوي الدالة العكسية لـ ظا الجذر التربيعي لثلاثة.

والآن، لا بد أن نكون قادرين على إيجاد قيمة ذلك دون استخدام الآلة الحاسبة؛ لأن هذه هي إحدى الزوايا الخاصة التي علينا معرفة نسب الجيب وجيب التمام والظل لها عن ظهر قلب. فعلينا أن نعرف أن ظا ٦٠ درجة أو ظا 𝜋 على ثلاثة يساوي جذر ثلاثة. لذا إذا لم تتوفر لدينا آلة حاسبة، يجب أن نتذكر هذه المعلومة بأنفسنا. لكن إذا كانت لدينا آلة حاسبة، فيمكننا بالطبع استخدامها لمساعدتنا.

وأخيرًا، تحققنا من أن قياس ‪𝜃‬‏ يقع في الربع الصحيح. ذلك لأن ٦٠ درجة تقع بين سالب ١٨٠ درجة و١٨٠ درجة. إذن، أصبح لدينا بالفعل السعة الأساسية للعدد المركب ﻉ اثنين ناقص ﻉ واحد. نجد أن القياس ٦٠ درجة منطقي، لأن هذا العدد المركب يقع في الربع الأول. وهو ما يعني أننا نبحث عن سعة تتراوح بين صفر و٩٠ درجة. وعليه، نستنتج أنه بالنسبة للعددين المركبين لدينا، فإن السعة الأساسية للعدد المركب ﻉ اثنين ناقص ﻉ واحد تساوي ٦٠ درجة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.