فيديو الدرس: الجدول التكراري ذو المجموعات: تقدير الوسيط الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نقدر الوسيط لبيانات ممثلة في الجدول التكراري ذي المجموعات باستخدام التمثيلات البيانية التكرارية المتجمعة.

دعونا في البداية نسترجع المقصود بوسيط مجموعة من البيانات. سنتخيل أن لدينا مجموعة البيانات المرتبة هذه المكونة من الأعداد ثلاثة، ثلاثة، خمسة، سبعة، ١٠، ١٤، ١٤، ١٩. وسيط مجموعة البيانات هو القيمة التي تتوسط البيانات بعد ترتيبها تصاعديًّا أو تنازليًّا. يعني هذا أن نصف البيانات الأول يسبق الوسيط، ونصف البيانات الآخر يعقب الوسيط.

تحتوي مجموعة البيانات هذه على ثماني قيم. إذن، تقع القيمة التي تتوسطها بين القيمة الرابعة والقيمة الخامسة. في بعض الأحيان يكون هناك بعض قيم الوسيط التي يسهل حسابها عن غيرها، لكن تذكر أن القيمة التي تتوسط عددين هي نقطة المنتصف التي تقع بين قيمتي هذين العددين. لإيجاد وسيط هذه المجموعة، نجمع القيمة الرابعة، وهي سبعة، والقيمة الخامسة، وهي ١٠، ونقسم ناتج الجمع على اثنين. وهذا يعطينا ٨٫٥. إذن، وسيط مجموعة القيم هذه هو ٨٫٥.

عدد القيم في مجموعة القيم هذه زوجي، لكن إذا كان عدد القيم فرديًّا، فإننا ببساطة نستخدم القيمة الوسطى. لكن عند التعامل مع مجموعات البيانات المتجمعة، لا يمكننا إيجاد الوسيط بالطريقة نفسها. لنفترض، على سبيل المثال، أن لدينا هذا الجدول التكراري ذا المجموعات. تمثل الفئة الأولى، وهي صفر شرطة، القيم التي تساوي صفرًا أو أكبر لكنها أقل من خمسة؛ لأن خمسة هو الحد الأدنى للمجموعة التالية. نلاحظ هنا، على سبيل المثال، أن هناك ثلاث قيم في هذه المجموعة تساوي ١٠ أو أكبر، لكنها تقل عن ١٥.

لكن عندما يتعلق الأمر بالجداول المتجمعة، إذا كان لدينا الجدول فقط، فلن يكون بإمكاننا تحديد القيم الأصلية. قد تكون هذه مجموعة بيانات للقيم أعلاه. أو قد تكون لمجموعة مختلفة تمامًا من قيم البيانات. كلتا المجموعتين من البيانات ستنتج نفس الجداول التكرارية ذات المجموعات. ولا يمكننا معرفة القيم الفعلية من مجموعة البيانات المتجمعة فقط. ومن ثم، عندما نستخدم جدولًا تكراريًّا ذا مجموعات، فإننا نحتاج إلى إيجاد قيمة تقديرية للوسيط بدلًا من إيجاد القيمة الفعلية للوسيط. هذه القيمة التقديرية تعطينا مؤشرًا جيدًا للغاية للقيمة الفعلية للوسيط. في مجموعة البيانات الثانية المحتملة، على سبيل المثال، الوسيط هو ٩٫٥. والقيمتان ٨٫٥ و٩٫٥ هما نتيجتان متشابهتان إلى حد كبير.

دعونا الآن نلخص كيف يمكننا استخدام جدول تكراري ذي مجموعات لإيجاد التكرار المتجمع؛ لأن استخدام تمثيل بياني تكراري متجمع طريقة ممتازة لإيجاد قيمة تقديرية لوسيط مجموعة بيانات. حسنًا، يوجد نوعان من التكرار المتجمع؛ الصاعد والنازل. يطلق عادة على التكرار المتجمع الصاعد اسم «التكرار المتجمع»، ويشير التكرار المتجمع للقيمة ﺃ، على سبيل المثال، إلى تكرار القيم الأقل من ﺃ. ويشير التكرار المتجمع النازل للقيمة ﺏ إلى تكرار القيم الأكبر من ﺏ أو تساويها.

عادة ما تكون أشكال التمثيلات البيانية لنوعي التكرار المتجمع على النحو الموضح أمامنا. ويمكننا استخدام التمثيلين البيانيين لتقدير قيمة الوسيط في الجدول التكراري ذي المجموعات. للقيام بذلك باستخدام أي من التمثيلين البيانيين، نرسم خطًّا أفقيًّا من موضع الوسيط على المحور ﺹ حتى يلتقي الخط مع المنحنى. بعد ذلك، نرسم خطًّا رأسيًّا من هذه النقطة لأسفل حتى يصل إلى المحور ﺱ. وهذه القيمة على المحور ﺱ هي القيمة التقديرية للوسيط. ونظرًا لأن نصف البيانات يسبق الوسيط والنصف الآخر يعقبه، فلا يهم نوع التمثيل البياني التكراري المتجمع الذي نستخدمه لإيجاد قيمة تقديرية للوسيط.

إذا رسمنا كلا منحنيي التكرار المتجمع الصاعد والنازل لمجموعة بيانات على التمثيل البياني نفسه، فسيكون موضع الوسيط هو النقطة التي يتقاطع عندها المنحنيان. سنتناول الآن مثالًا لتقدير قيمة الوسيط باستخدام تمثيل بياني تكراري متجمع.

من التمثيل البياني التكراري المتجمع الآتي الذي يمثل كتل بعض الكرات ذات الألوان المختلفة، أوجد قيمة تقديرية للوسيط. الخيار أ: ١٫٧ كيلوجرام، الخيار ب: ٢٫١ كيلوجرام، الخيار ج: ٢٫٧ كيلوجرام، الخيار د: ٢٫٩ كيلوجرام، الخيار هـ: ٣٫١ كيلوجرامات.

سنبدأ الإجابة عن السؤال بملاحظة أن التكرار المتجمع هو إجمالي عدد التكرارات. والوسيط لمجموعة من القيم هو القيمة التي تتوسط هذه القيم. في هذه المسألة، سنتناول مجموعة من الكرات ذات كتل مختلفة. إذا كانت لدينا كتل جميع الكرات، يمكننا ترتيبها من الأخف وزنًا إلى الأثقل وزنًا أو من الأثقل وزنًا إلى الأخف وزنًا. إذن قيمة الوسيط هي كتلة الكرة التي تتوسط قيم الكتل الأخرى. لكن حتى إذا كانت لدينا القيمة الأصلية لكتلة كل كرة، فبدلًا من كتابة كتل جميع الكرات بالترتيب، يمكننا استخدام تمثيل بياني تكراري متجمع لمساعدتنا.

تشير القراءة الأولى على التمثيل البياني لدينا إلى أن قيمة ﺱ للكتلة تساوي كيلوجرامًا واحدًا، وقيمة ﺹ للتكرار المتجمع تساوي اثنين، وهذا يعني أن هناك كرتين كتلة كل منهما أقل من كيلوجرام واحد. القراءة التالية هي سبع كرات والكتلة كيلوجرامان، وهي لا تعني أن كل كرة من الكرات السبع كتلتها تساوي كيلوجرامين. ولكنها تعني أن كل كرة من الكرات السبع كتلتها أقل من كيلوجرامين، ويتضمن ذلك الكرتين اللتين كتلة كل منهما أقل من كيلوجرام واحد.

إذن، ما إجمالي عدد الكرات في المسألة؟ بالنظر إلى أعلى نقطة على التمثيل البياني التكراري المتجمع، نلاحظ أن هناك ١٥ كرة كتلة كل منها أقل من خمسة كيلوجرامات. إذن، لدينا ١٥ كرة إجمالًا. وبناء على ما سبق، إذا كانت لدينا ١٥ كرة مرتبة من الأخف وزنًا إلى الأثقل وزنًا، فعلينا إيجاد موضع الوسيط. وموضع الوسيط يساوي نصف إجمالي التكرار المتجمع. نصف العدد ١٥ يساوي ٧٫٥.

لإيجاد الوسيط باستخدام التمثيل البياني، نرسم خطًّا أفقيًّا يمتد من المحور ﺹ عند موضع الوسيط؛ أي عند القيمة ٧٫٥، مثل هذا، حتى يتقابل هذا الخط مع المنحنى. نرسم بعد ذلك خطًّا رأسيًّا من هذه النقطة لأسفل حتى المحور ﺱ. وهذه النقطة على المحور ﺱ هي التي تعطينا قيمة تقديرية للوسيط.

بالنظر إلى المحور بدقة، نجد أنه يمكننا التوصل إلى الإجابة، وهي أن القيمة التقديرية لوسيط كتل الكرات هي ٢٫١ كيلوجرام؛ أي الإجابة الموضحة في الخيار ب.

علينا هنا أن نحذر من الوقوع في بعض الأخطاء الشائعة التي يرتكبها البعض عند استخدام التمثيل البياني التكراري المتجمع لإيجاد الوسيط. تنتج مثل هذه الأخطاء من تحديد نصف القيمة على المحور ﺱ بشكل غير صحيح. نصف إجمالي الكتل الممكنة، وهو خمسة كيلوجرامات، يساوي ٢٫٥ كيلوجرام، ولكن هذه ليست قيمة تقديرية للوسيط. إضافة إلى ما سبق، لا يجب أن نرسم خطًّا لأعلى من هذه النقطة إلى المنحنى، ثم نقرأ القيمة على المحور ﺹ. إذا قمنا بذلك، فإن هذا سيشير خطأ إلى أن هناك ٩٫٧ كرات تقريبًا كتلة كل منها أقل من ٢٫٥ كيلوجرام، ولكنه لن يعطينا أي قيمة للوسيط. ومن ثم علينا أن ننتبه؛ حيث نحسب نصف التكرار المتجمع النهائي لإيجاد موضع الوسيط، ثم نرسم خطًّا من هذه النقطة لإيجاد القيمة التقديرية الصحيحة للوسيط.

سنتناول الآن مثالًا نوجد فيه قيمة تقديرية للوسيط من تمثيل بياني تكراري متجمع نازل.

أجرى مدير دراسة مسحية على ٣٠ موظفًا ليحدد المسافة التي يقطعونها للذهاب إلى العمل بالكيلومتر. البيانات موضحة في التمثيل البياني التكراري المتجمع النازل. أوجد تقديرًا لوسيط المسافة المقطوعة.

في هذا السؤال، لدينا تمثيل بياني تكراري متجمع نازل. يختلف التمثيل البياني التكراري المتجمع النازل عن التمثيل البياني التكراري المتجمع الصاعد؛ لأننا نقول إن التكرار المتجمع النازل للقيمة ﺏ هو تكرار القيم الأكبر من ﺏ أو تساوي ﺏ. وفي التمثيل البياني التكراري المتجمع الصاعد، تكون القيم أقل من القيمة المحددة. حسنًا، على سبيل المثال، تشير النقطة ١٠، ٢٤ إلى أن المسافة التي يقطعها ٢٤ موظفًا أكبر من أو تساوي ١٠ كيلومترات.

بمعلومية أن لدينا تكرارًا متجمعًا نازلًا، مطلوب منا إيجاد قيمة تقديرية للوسيط. نحن نعلم أن الوسيط هو القيمة التي تتوسط البيانات بعد ترتيبها تصاعديًّا أو تنازليًّا. ومطلوب منا تقدير قيمة الوسيط؛ لأن لدينا مجموعة بيانات مجمعة. وهذا يعني أنه لا يمكننا إيجاد القيمة الفعلية للوسيط. فضلًا عن أن هذا لا يعني أيضًا أننا يجب أن نحاول تخمينها.

لإيجاد موضع الوسيط، نحسب إجمالي التكرار مقسومًا على اثنين. إجمالي التكرار في هذه المسألة هو إجمالي عدد الموظفين. حسنًا، علمنا أن الدراسة المسحية قد أجريت على ٣٠ موظفًا، لكن حتى إذا لم تكن لدينا هذه المعلومات، يمكننا تحديدها من التمثيل البياني. أعلى قيمة في التمثيل البياني التكراري المتجمع النازل هي القيمة الأولى؛ لأن هناك ٣٠ موظفًا يقطعون مسافة أكبر من أو تساوي صفرًا من الكيلومترات. إذن، موضع الوسيط يساوي ٣٠ على اثنين، وهو ما يساوي ١٥. إذا اصطف جميع الموظفين مرتبين بدءًا ممن يقطعون المسافة الأقل إلى من يقطعون المسافة الأكبر، فسنجد أن وسيط المسافة المقطوعة سيكون للموظف رقم ١٥.

كيف نعرف إذن المسافة التي يقطعها الموظفون؟ يمكننا استخدام التمثيل البياني لدينا. نرسم خطًّا أفقيًّا من موضع الوسيط، أي ١٥، على التمثيل البياني التكراري المتجمع النازل حتى نصل إلى المنحنى. بعد ذلك، نرسم خطًّا رأسيًّا لأسفل حتى نصل إلى المحور ﺱ، وهو ما يعطينا ١٩. ومن ثم، يمكننا قول إن الإجابة هي أن القيمة التقديرية لوسيط المسافة المقطوعة هي ١٩ كيلومترًا.

في المثال التالي، علينا إيجاد القيمة التقديرية للوسيط لمجموعة بيانات معطاة. وسنفعل ذلك بأن نرسم في البداية تمثيلًا بيانيًّا تكراريًّا متجمعًا.

يوضح الجدول الآتي تكلفة المشروبات الغازية بالدولار الأمريكي، في أماكن مختلفة. أوجد تقديرًا لوسيط تكلفة المشروبات الغازية مقربًا لأقرب جزء من مائة.

في هذه المسألة، لدينا تكلفة مشروبات غازية في صورة جدول تكراري ذي مجموعات. إذا نظرنا إلى عمود التكلفة الأول، فسنجد أنه يحتوي على صفر دولار أمريكي وشرطة. إذن، القيم في هذه المجموعة ستكون التكاليف الأكبر من أو تساوي صفرًا من الدولارات لكنها أقل من ٥٠ سنتًا؛ لأن هذا هو الحد الأدنى للفئة التالية. والتكرار واحد يعني أن مشروبًا غازيًّا واحدًا فقط يقع ضمن حدود التكلفة هذه.

ولأننا لا نعرف تكلفة كل مشروب غازي على حدة، يمكننا فقط حساب قيمة تقديرية للوسيط، وهي القيمة الوسطى عندما تكون التكلفة مرتبة من الأصغر إلى الأكبر أو من الأكبر إلى الأصغر.

إحدى الطرق التي يمكننا من خلالها إيجاد القيمة التقديرية للوسيط هي رسم المخطط التكراري المتجمع. نعلم أن التكرار المتجمع أو التكرار المتجمع الصاعد للقيمة ﺃ يشير إلى تكرار القيم الأقل من ﺃ. حسنًا، أفضل طريقة لتسجيل التكرارات المتجمعة هي إضافتها إلى الجدول أو ربما تكوين جدول جديد.

سنكون جدولًا جديدًا. وهذه المرة، بدلًا من كتابة التكرار في الصف الثاني، سنكتب التكرار المتجمع. المجموعة الأولى في الجدول الأصلي عبارة عن قيم تساوي صفرًا من الدولارات أو أكثر، لكنها أقل من ٥٠ سنتًا. ومع ذلك، فمن الشائع البدء بتكرار متجمع يساوي صفرًا. وفي ضوء ذلك، نعلم أنه لن تكون هناك مشروبات غازية مبيعة بأقل من صفر دولار. المجموعة الثانية في الجدول الجديد ستكون القيم الأقل من ٥٠ سنتًا. ويمكننا الاستمرار في إنشاء أسماء مجموعات جديدة للتكلفة بالطريقة نفسها إلى أن تصل التكلفة إلى دولارين.

لكن دعونا نفكر فيما تمثله هذه المجموعة. القيم في هذه المجموعة الأخيرة هي دولاران أو أكثر. هذه المجموعة ليس لها حد أعلى. وعليه، فنحن لا نعرف القيمة التي تقل هذه القيم عنها. لكننا في مثل هذه التوزيعات التكرارية ذات المجموعات، يمكننا افتراض أن الفرق بين جميع الفئات متساو؛ أي ٥٠ سنتًا في الحالة لدينا. ويمكننا قول إن القيم في هذه المجموعة ستكون دولارين أو أكثر، وأقل من دولارين و٥٠ سنتًا. إذن في الجدول الذي نقوم بتكوينه، التكرار المتجمع للمجموعة الأخيرة ستكون قيمته أقل من دولارين و٥٠ سنتًا.

دعونا الآن نحسب قيم التكرارات المتجمعة لكل فئة. التكرار المتجمع الأول غير الصفري يأتي من القيمة الأولى في الجدول الأصلي. هناك مشروب غازي واحد بتكلفة أقل من ٥٠ سنتًا. التكرار المتجمع التالي للتكلفة الأقل من دولار واحد. نعلم أن هناك ستة مشروبات غازية قيمتها تبدأ من ٥٠ سنتًا أو أكثر حتى دولار واحد. لكن تكلفة هذا المشروب الغازي الأقل من ٥٠ سنتًا أقل من دولار واحد أيضًا. ولذا، فالتكرار المتجمع هو مجموع هذه الأعداد؛ أي سبعة.

بالنسبة إلى التكلفة التالية التي تقل عن دولار واحد و٥٠ سنتًا، يمكننا فعل الشيء نفسه. لدينا ١٥ مشروبًا غازيًّا تكلفة الواحد منها دولار واحد أو أكثر، لكن أقل من دولار واحد و٥٠ سنتًا. إذن، بإضافة ١٥ إلى التكرار المتجمع السابق، أي سبعة، نعلم أن تكلفة ٢٢ مشروبًا غازيًّا تقل عن دولار واحد و٥٠ سنتًا. ويمكننا إيجاد قيمتي التكرارين المتجمعين المتبقيين بإضافة ٢١ إلى التكرار المتجمع الذي يسبقه، ثم إضافة سبعة إلى التكرار المتجمع الذي يسبقه أيضًا؛ لنحصل بذلك على القيمتين ٤٣ و٥٠.

تذكر أننا فعلنا ذلك حتى نتمكن من رسم مخطط تكراري متجمع. وعندما نرسم تمثيلًا بيانيًّا، تكون إحداثيات المحور ﺱ هي القيم الأقل من قيمة محددة، وتكون إحداثيات المحور ﺹ هي قيم التكرار المتجمع المناظرة. علينا الانتباه إلى أن تكون لدينا مساحة كافية عند رسم التمثيل البياني لتضمين جميع القيم عليه.

حسنًا، رسمنا هنا النقاط على التمثيل البياني ووصلناها ببعضها لتكوين منحنى أملس. ويمكننا بذلك إيجاد قيمة تقديرية للوسيط. بما أن أعلى قيمة في التكرار المتجمع هي ٥٠، فإننا بذلك نعلم أن هناك ٥٠ مشروبًا غازيًا. ويمكننا إيجاد موضع الوسيط بقسمة القيمة الإجمالية للتكرار، أي إجمالي عدد المشروبات الغازية، على اثنين. نصف العدد ٥٠ يساوي ٢٥، وهذا يعني أن قيمة الوسيط، أي متوسط تكلفة المشروب الغازي، هي تكلفة المشروب الغازي رقم ٢٥. ويمكننا استخدام التمثيل البياني لتحديد تكلفة تقديرية للمشروب الغازي رقم ٢٥.

حسنًا، نرسم خطًّا أفقيًّا من النقطة ٢٥ على المحور ﺹ حتى يلتقي الخط بالمنحنى، ثم نرسم خطًّا رأسيًّا لأسفل من هذه النقطة إلى المحور ﺱ. وبقراءة القيمة من التمثيل البياني، نجد أن قيمة التكلفة هي ١٫٦٠. إذن، متوسط تكلفة المشروب الغازي هي دولار واحد و٦٠ سنتًا.

سنلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو.

علمنا أن هناك نوعين مختلفين من التكرار المتجمع. يشير التكرار المتجمع الصاعد لقيمة ما، والذي عادة ما يطلق عليه التكرار المتجمع فقط، إلى القيم الأقل من هذه القيمة، في حين يشير التكرار المتجمع النازل لقيمة ما إلى القيم التي تساوي هذه القيمة أو الأكبر منها. يمثل وسيط مجموعة البيانات القيمة التي تتوسط البيانات عند كتابة القيم بالترتيب.

وكما أوضحنا في هذا الفيديو، لا يمكننا حساب قيمة الوسيط بصورة دقيقة من توزيع تكراري ذي مجموعات. بدلًا من ذلك، نوجد قيمة تقديرية للوسيط. يمكننا تحديد موضع الوسيط باستخدام إما مخطط تكراري متجمع صاعد أو نازل؛ لأن موضع الوسيط يساوي إجمالي التكرار المتجمع مقسومًا على اثنين.

وأخيرًا، باستخدام أي من نوعي المخططات التكرارية المتجمعة، نرسم خطًّا أفقيًّا من القيمة عند موضع الوسيط على المحور ﺹ حتى يصل الخط إلى المنحنى. بعد ذلك نرسم خطًّا رأسيًّا من هذه النقطة لأسفل إلى المحور ﺱ. هذه القيمة على المحور ﺱ هي القيمة التقديرية للوسيط.