فيديو السؤال: إيجاد الزمن الذي يستغرقه جسم يتحرك على مستوى أملس مائل للأعلى ويعود مرة أخرى بمعلومية سرعته الابتدائية الرياضيات

قذف جسم بسرعة ١٦ م‏/‏ث لأعلى مستوى أملس يميل على الأفقي بزاوية 𝛼؛ حيث جا 𝛼 = ٤٥‏/‏٤٩ احسب الزمن الذي يستغرقه الجسم ليعود إلى نقطة القذف. ﺩ = ٩٫٨ م‏/‏ث^٢.

٠٨:٣١

‏نسخة الفيديو النصية

قذف جسم بسرعة ١٦ مترًا لكل ثانية لأعلى مستوى أملس يميل على الأفقي بزاوية 𝛼؛ حيث جا 𝛼 يساوي ٤٥ على ٤٩. احسب الزمن الذي يستغرقه الجسم ليعود إلى نقطة القذف. ‏ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

للإجابة عن مثل هذه الأسئلة، نبدأ برسم شكل. لدينا مستوى أملس يميل على الأفقي بزاوية 𝛼. وحقيقة أن المستوى أملس تعني أنه لا توجد أي قوى احتكاك مؤثرة على الجسم. علمنا أيضًا أن جا 𝛼 يساوي ٤٥ على ٤٩. ولكننا لن نستخدم هذه المعادلة لإيجاد قيمة 𝛼 الآن. فبدلًا من ذلك، سنرسم مثلثًا قائم الزاوية زاويته المحصورة 𝛼. نحن نعلم أن جا 𝛼 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر، إذن طول الضلع المقابل في هذا المثلث يساوي ٤٥ وحدة، وطول الوتر يساوي ٤٩ وحدة.

يمكننا بعد ذلك استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الضلع المجهول. تنص هذه النظرية على أن مجموع مربعي طولي الضلعين الأقصر يساوي مربع طول الوتر. وعليه، إذا افترضنا أن الضلع الذي نريد إيجاد طوله يساوي ﺃ من الوحدات، فإن ﺃ تربيع زائد ٤٥ تربيع يساوي ٤٩ تربيع. وهو ما يعني أن ﺃ تربيع زائد ٢٠٢٥ يساوي ٢٤٠١. نطرح ٢٠٢٥ من الطرفين، فنجد أن ﺃ تربيع يساوي ٣٧٦، وهو ما يعني أن ﺃ يساوي الجذر التربيعي لهذه القيمة. وهذا يساوي اثنين في جذر ٩٤. هذه الخطوة مفيدة جدًّا؛ لأننا الآن أصبحنا نعرف طول الضلع المجاور. وسيمكننا هذا من حساب القيمة الدقيقة لكل من جتا 𝛼 وظا 𝛼، إذا احتجنا إلى ذلك.

دعونا الآن نعد إلى الشكل. قذف الجسم لأعلى مستوى أملس. وهذا يعني أن الجسم يؤثر على المستوى لأسفل بقوة ناتجة عن كتلته. وهذه القوة المتجهة لأسفل تساوي الكتلة في عجلة الجاذبية. وسنسمي ذلك ﻙﺩ، بما أننا لا نعلم كتلة الجسم. نعلم أن ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة. لكننا سنتركها على الصورة ﺩ في الوقت الحالي. ثمة قوة أخرى تهمنا. وهي قوة رد الفعل العمودي للمستوى على الجسم. تذكر أن هذه القوة تؤثر في اتجاه عمودي على المستوى. حسنًا، ماذا بعد؟ يخبرنا السؤال بالسرعة الابتدائية. ويمكننا أن نسميها ﻉ صفر. وهي تساوي ١٦ مترًا لكل ثانية.

مطلوب منا حساب الزمن الذي يستغرقه الجسم ليعود إلى نقطة القذف. سنبدأ بحساب الزمن الذي يستغرقه الجسم قبل أن يعود إلى حالة السكون، أو بعبارة أخرى عندما تكون سرعته النهائية ﻉ تساوي صفرًا. ولكي نفعل ذلك، علينا حساب العجلة. لذا، سنستخدم الصيغة ﻕ يساوي ﻙﺟ. بمعنى أن القوة تساوي الكتلة في العجلة. سنستخدم هذه الصيغة مع القوى المؤثرة في الاتجاه الموازي للمستوى. لذا، سنضيف إلى قوة الوزن مثلثًا قائم الزاوية. نحن نضيف هذا المثلث؛ لأن هذه القوة تؤثر رأسيًّا لأسفل، وليس في اتجاه مواز للمستوى أو عمودي عليه. مركبة الوزن التي تؤثر في اتجاه مواز للمستوى هي الضلع الذي أسميناه ﺱ. وبالطبع لدينا هذه الزاوية المحصورة. وهي الزاوية 𝛼.

نعود إلى أسماء أضلاع المثلث، ونلاحظ أننا نريد إيجاد طول الضلع المقابل. نعرف الوتر أو على الأقل لدينا تعبير للوتر بدلالة ﻙ. ‏جا 𝛼 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر؛ أي إن جا 𝛼 يساوي ﺱ على ﻙﺩ. بضرب طرفي هذه المعادلة في ﻙﺩ، نحصل على ﺱ يساوي ﻙﺩ في جا 𝛼. وجا 𝛼 يساوي ٤٥ على ٤٩، إذن ﺱ يساوي ٤٥ على ٤٩ في ﻙﺩ. يتحرك الجسم لأعلى المستوى؛ لذا دعونا نحدد الاتجاه الموجب على أنه الاتجاه لأعلى المستوى. تؤثر القوة في الاتجاه المضاد، إذن محصلة القوة المؤثرة في اتجاه مواز للمستوى تساوي سالب ٤٥ على ٤٩ ﻙﺩ. وهذا يساوي العجلة في الكتلة؛ أي ﻙﺟ.

نلاحظ بعد ذلك أنه يمكننا قسمة الطرفين على ﻙ. لكن تذكر أنه لا يمكننا القسمة على متغير إلا إذا كنا متأكدين من أنه لا يساوي صفرًا. هذا المتغير يمثل الكتلة، إذن لا يمكن أن يساوي صفرًا. وبذلك نكون قد أوجدنا عجلة الجسم. إنها تساوي سالب ٤٥ على ٤٩ ﺩ متر لكل ثانية مربعة. حسنًا، من المنطقي أن تكون العجلة سالبة. فلا توجد قوى تدفع الجسم للحركة لأعلى المستوى؛ لذا نفترض أنه يتباطأ. لم نكن بحاجة هنا إلى حساب قيمة جتا 𝛼. وبذلك، يمكننا استبعاد المثلث القائم الزاوية. من المنطقي تكوين هذا المثلث عندما تكون لدينا قيم جا 𝛼، أو جتا 𝛼، أو ظا 𝛼؛ لأنه يجعل إجراء العمليات الحسابية أكثر سهولة أثناء الحل.

ذكرنا أننا سنبدأ بحساب الزمن الذي يستغرقه الجسم لتكون سرعته صفرًا. إذن سرعته الابتدائية ﻉ صفر تساوي ١٦ مترًا لكل ثانية، وسرعته النهائية ﻉ تساوي صفرًا. وعجلته تساوي سالب ٤٥ على ٤٩ ﺩ. ونريد إيجاد قيمة ﻥ. لذا، سنستخدم إحدى معادلات العجلة الثابتة. المعادلة المطلوبة التي تربط بين ﻉ صفر وﻉ وﺟ وﻥ هي ﻉ يساوي ﻉ صفر زائد ﺟﻥ. نعوض بالقيم التي نعرفها في هذه المعادلة، ونحصل على المعادلة صفر يساوي ١٦ ناقص ٤٥ على ٤٩ في ﺩﻥ. نحل المعادلة أولًا بإضافة ٤٥ على ٤٩ في ﺩﻥ إلى الطرفين ثم قسمة الطرفين على ٤٥ على ٤٩ في ﺩ؛ أي ٤٥ على ٤٩ في ٩٫٨.

وبذلك، نجد أن الزمن الذي يستغرقه الجسم لتكون سرعته صفرًا يساوي ١٦ على تسع ثوان. حسنًا، كيف سيساعدنا هذا في حساب الزمن الكلي الذي يستغرقه الجسم ليعود إلى نقطة البداية؟ في السيناريوهات الرياضية المثالية، كما هو الحال هنا؛ حيث لا يوجد احتكاك أو مقاومة للهواء أو أي شيء من هذا القبيل، فإن الزمن الذي يستغرقه جسم للوصول إلى النقطة التي تكون قيمة ﻉ عندها تساوي صفرًا هو الزمن نفسه الذي يستغرقه الجسم للعودة إلى نقطة البداية. دعونا نشير إلى الزمن الكلي بالحرف ﻥ شرطة. نعلم أننا سنضرب ١٦ على تسعة في اثنين. ١٦ على تسعة في اثنين يساوي ٣٢ على تسعة؛ لذا يمكننا القول إن الزمن الكلي الذي يستغرقه الجسم ليعود إلى نقطة القذف هو ٣٢ على تسع ثوان.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.