فيديو الدرس: حل أنظمة المتباينات الخطية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل نظام المتباينات الخطية بواسطة تمثيلها بيانيًّا، وتحديد المناطق التي تمثل الحلول. ينبغي أن نكون على دراية مسبقًا بكيفية استخدام ترميز المتباينات وتفسيره، ورسم التمثيلات البيانية بالخطوط المستقيمة بمعلومية معادلاتها، وتمثيل المتباينات الخطية غير المركبة بيانيًّا.

نظام المتباينات الخطية هو مجموعة تتكون من متباينتين خطيتين أو أكثر في عدة متغيرات. على سبيل المثال، «ﺹ أكبر من أو يساوي واحدًا، وﺱ أكبر من صفر، وﺱ زائد ﺹ أصغر من أو يساوي أربعة» يمثل نظامًا من المتباينات الخطية في المتغيرين ﺱ وﺹ. تستخدم مثل هذه الأنظمة في السياقات العملية عندما يكون مطلوبًا في المسألة إيجاد مجموعة من الحلول، ويوجد أكثر من قيد على هذه الحلول.

دعونا نبدأ بتذكر بعض الأساسيات عن كيفية تمثيل المتباينات الخطية بيانيًّا. دعونا نتناول المتباينتين ﺹ أصغر من خمسة وﺱ أكبر من أو يساوي ثلاثة. نتذكر أنه عند تمثيل المتباينات بيانيًّا، علينا أولًا تحديد معادلة المستقيم الحدي للمنطقة. ولفعل ذلك، نغير علامة المتباينة إلى علامة يساوي. وعليه، فإن المستقيم الحدي للمتباينة ﺹ أصغر من خمسة هو ﺹ يساوي خمسة. بعد ذلك، نرسم هذا المستقيم، مع تذكر أن الخطوط المستقيمة التي تكون على الصورة ﺹ يساوي ثابتًا ما هي مستقيمات أفقية. كما علينا أيضًا أن نتذكر أننا نستخدم خطًّا متصلًا إذا كانت لدينا متباينة ضعيفة، ونستخدم خطًّا متقطعًا إذا كانت لدينا متباينة تامة. المتباينة التي لدينا هنا هي متباينة تامة. إنها ﺹ أصغر تمامًا من خمسة؛ لذا سنرسم المستقيم ﺹ يساوي خمسة خطًّا متقطعًا.

لدينا الآن المستقيم الحدي الذي يعبر عن الحل البياني لهذه المتباينة. وعلينا أن نحدد أي جانب من الخط المستقيم سنظلله. إذا أردنا أن يكون ﺹ أصغر من خمسة، فعلينا تضمين جميع النقاط في المستوى الإحداثي التي يكون الإحداثي ﺹ لها أصغر من خمسة. إنها كل النقاط الموجودة أسفل المستقيم الحدي، إذن سنظلل هذا الجانب من الخط المستقيم.

لقد مثلنا الآن حل المتباينة الأولى بيانيًّا. والآن دعونا نتناول المتباينة الثانية، وهي ﺱ أكبر من أو يساوي ثلاثة. مرة أخرى، نغير علامة المتباينة إلى علامة يساوي لإيجاد معادلة المستقيم الحدي. إذن، معادلة المستقيم الحدي هي ﺱ يساوي ثلاثة، ونتذكر أنها تمثل بخط رأسي يمر بالقيمة ثلاثة على المحور ﺱ.

وبما أن لدينا متباينة ضعيفة، وهي ﺱ أكبر من أو يساوي ثلاثة، فسنمثل هذا الحد بخط متصل. بعد ذلك، علينا أن نحدد أي جانب من الخط المستقيم سنظلله. بما أننا نريد أن يكون ﺱ أكبر من أو يساوي ثلاثة، فعلينا تظليل المنطقة الواقعة إلى يمين الحد. تذكر أن الخط المتصل يشير إلى أن النقاط الواقعة على المستقيم الحدي نفسه متضمنة في حل هذه المتباينة. وبذلك، نكون قد مثلنا الحل لكل متباينة بيانيًّا.

إذا أردنا التعامل مع هاتين المتباينتين باعتبارهما نظامًا من المتباينات الخطية، فهذا يعني أن علينا إيجاد المنطقة التي تحقق كلتا المتباينتين آنيًّا، وهي تقاطع المنطقتين المظللتين. وعليه، فإن المنطقة التي تقع أسفل المستقيم البرتقالي وإلى يمين المستقيم الوردي تمثل حل نظام المتباينات هذا. إنها تحتوي على جميع النقاط في المستوى الإحداثي التي عندها ﺹ أصغر من خمسة وﺱ أكبر من أو يساوي ثلاثة. هيا نستعرض بعض الأمثلة.

أوجد نظام المتباينات الذي يمثل حله بالتمثيل البياني الموضح.

نلاحظ من الشكل الموضح أن المنطقة المظللة هي الربع الأول من المستوى الإحداثي، الذي يتضمن جميع النقاط بحيث يكون ﺱ وﺹ موجبين. المستقيمان الحديان لهذه المنطقة، وهما محورا ﺱ وﺹ الموجبان، مرسومان على صورة خطين متصلين. ومن ثم، فإن النقاط التي تقع على الحدين متضمنة أيضًا. وهذا يعني أن القيمة الصفرية لكل من ﺱ وﺹ متضمنة في المنطقة. يمكننا بالمنطق التعبير عن هذه المنطقة باستخدام المتباينتين ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا، وﺹ أكبر من أو يساوي صفرًا.

لنؤكد ذلك بتمثيل كل من هاتين المتباينتين بيانيًّا بأنفسنا. المتباينة ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا تمثل بالمحور ﺹ، حيث ﺱ يساوي صفرًا، وتكون جميع النقاط واقعة إلى يمين المحور ﺹ. المتباينة ﺹ أكبر من أو يساوي صفرًا تمثل بالمحور ﺱ، حيث ﺹ يساوي صفرًا، وتكون جميع النقاط واقعة أعلى المحور ﺱ. التقاطع بين هاتين المنطقتين هو الجزء المظلل باللونين البرتقالي والوردي معًا. هذا هو الربع الأول بالكامل، وفي ذلك محورا ﺱ وﺹ الموجبان، وهو ما يتطابق مع التمثيل البياني المعطى. وعليه، يمكننا استنتاج أن نظام المتباينات الممثل بالتمثيل البياني المعطى هو ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا، وﺹ أكبر من أو يساوي صفرًا.

دعونا الآن نتناول مثالًا أكثر تعقيدًا.

أوجد نظام المتباينات الذي يمثل حله بالتمثيل البياني الموضح.

يمكننا ملاحظة أن هذا النظام من المتباينات يحتوي على مستقيمات حدية أفقية ورأسية وقطرية، وعلينا إيجاد معادلاتها جميعًا. في البداية، نلاحظ أن المنطقة المظللة تقع في الربع الأول، الذي يحتوي على جميع القيم غير السالبة لـ ﺱ وﺹ. ويمكن تمثيل ذلك بالمتباينتين ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا، وﺹ أكبر من أو يساوي صفرًا.

بعد ذلك، دعونا نستعرض المستقيمات الرأسية. معادلتا هذين المستقيمين هما ﺱ يساوي ثلاثة وﺱ يساوي ستة. المنطقة الواقعة بين هذين المستقيمين مظللة، ومن ثم فهذا يعني أن ﺱ يقع بين ثلاثة وستة. ولكن يجب أن نحدد بوضوح علامة المتباينة المقرر استخدامها عند كل طرف من طرفي الفترة. بما أن الخط المستقيم المرسوم عند ﺱ يساوي ثلاثة هو خط متصل، فإنه يمثل متباينة ضعيفة. وعليه، يصبح لدينا ﺱ أكبر من أو يساوي ثلاثة. وبما أن الخط المستقيم المرسوم عند ﺱ يساوي ستة هو خط متقطع، فإنه يمثل متباينة تامة. ومن ثم، يصبح لدينا ﺱ أصغر من ستة. يمكن دمج هاتين المتباينتين في المتباينة المركبة ﺱ أكبر من أو يساوي ثلاثة وأصغر من ستة.

بعد ذلك، سنستعرض الخطوط المستقيمة الأفقية. جميع الخطوط المستقيمة الأفقية تكون معادلاتها على الصورة ﺹ يساوي ثابتًا ما. وعليه، فإن معادلتي هذين المستقيمين هما ﺹ يساوي اثنين وﺹ يساوي ستة. تقع المنطقة الزرقاء بين المستقيمين، إذن ﺹ يكون بين اثنين وستة. وبما أن هذين الخطين متصلان، فكلتا المتباينتين ضعيفتان. إذن، يمكن تمثيل هذه المنطقة على الصورة ﺹ أكبر من أو يساوي اثنين وأصغر من أو يساوي ستة.

وأخيرًا، نستعرض المنطقة البرتقالية أسفل المستقيم القطري. يمر هذا المستقيم بثمانية على المحور ﺱ وثمانية على المحور ﺹ. لن نتناول تفاصيل كيفية إيجاد معادلته هنا، ولكن يمكن كتابة معادلته على الصورة ﺹ يساوي ثمانية ناقص ﺱ. بما أن المنطقة المظللة تقع أسفل الخط المستقيم، والخط نفسه متصل، فهذا يعني أن المتباينة هي ﺹ أصغر من أو يساوي ثمانية ناقص ﺱ. يمكننا إبقاء هذه المتباينة على هذه الصورة، أو يمكننا إعادة ترتيبها بإضافة ﺱ إلى كلا الطرفين؛ ومن ثم نحصل على ﺱ زائد ﺹ أصغر من أو يساوي ثمانية.

بذلك، نكون قد أوجدنا نظام المتباينات الذي يمثل حله بالتمثيل البياني الموضح. وتتمثل مجموعة حل هذه المتباينات في تقاطع جميع المناطق المظللة، أي المنطقة المثلثية الخضراء. إذن، نظام المتباينات هو ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا. ﺹ أكبر من أو يساوي صفرًا. ﺱ أكبر من أو يساوي ثلاثة وأصغر من ستة. ﺹ أكبر من أو يساوي اثنين وأصغر من أو يساوي ستة. ﺱ زائد ﺹ أصغر من أو يساوي ثمانية.

دعونا الآن نتناول مثالًا آخر.

أي من النقاط الآتية ينتمي إلى مجموعة حل نظام المتباينات الخطية الممثلة بالشكل الآتي؟ (أ) واحد، ثلاثة (ب) ستة، ثمانية (ج) أربعة، ثلاثة (د) ثلاثة، ستة.

من المهم أن ندرك أن السؤال لا يطلب منا إيجاد نظام المتباينات الخطية الممثلة بالشكل الموضح، وإنما المطلوب تحديد أي من النقاط الأربع المعطاة تقع ضمن مجموعة حلها. من الشكل الموضح، يمكننا ملاحظة وجود ثلاثة أنواع أساسية من المتباينات الخطية الممثلة بيانيًّا. يوجد مستقيمان رأسيان، والمنطقة الواقعة بينهما مظللة باللون الأحمر. ويوجد مستقيمان أفقيان، والمنطقة الواقعة بينهما مظللة باللون الأزرق. وأخيرًا، يوجد مستقيم قطري، والمنطقة الواقعة أسفل هذا الخط المستقيم مظللة باللون البرتقالي. المنطقة التي تحقق هذه المتباينات آنيًّا هي تقاطع المناطق الثلاث المظللة، أي المثلث المظلل باللون الأخضر.

لتحديد أي من النقاط الأربع المعطاة تقع ضمن مجموعة حل نظام المتباينات، كل ما علينا فعله هو رسم كل نقطة من هذه النقاط على التمثيل البياني وتحديد أي النقاط هي التي تقع ضمن حدود هذه المنطقة المظللة أو على حدودها ذات الخطوط المتصلة. عند فعل ذلك، نجد أن النقطة الوحيدة التي تقع ضمن المنطقة المظللة، ومن ثم تنتمي إلى مجموعة حل نظام المتباينات الخطية، هي النقطة أربعة، ثلاثة.

إليكم مثالًا آخر.

أوجد مجموعة حل المتباينات الخطية الموضحة في الشكل التالي.

لدينا متباينتان خطيتان ممثلتان على المستوى الإحداثي نفسه. ومطلوب منا إيجاد مجموعة حل هذا الزوج من المتباينات الخطية. هذا يعني أنه علينا إيجاد المنطقة التي تحقق المتباينتين آنيًّا، وهي تقاطع المنطقتين المفردتين. لكن يتضح من خلال النظر إلى التمثيل البياني أن هاتين المنطقتين لا تتداخلان. الخطان المستقيمان القطريان متوازيان؛ لذلك لا يتقاطعان أبدًا. تقع المنطقة الحمراء أعلى المستقيم القطري العلوي، وتقع المنطقة الزرقاء أسفل المستقيم السفلي. ونتيجة لذلك، لا يحدث أي تقاطع بين هاتين المنطقتين. وعليه، فإن مجموعة حل هذا الزوج من المتباينات الخطية هي المجموعة الخالية، 𝜙.

دعونا نستعرض مثالًا أخيرًا.

أي المناطق على التمثيل البياني تحتوي على حلول مجموعة المتباينات: ﺹ أكبر من اثنين، وﺹ أكبر من أو يساوي سالب ﺱ، وﺱ أصغر من واحد؟

هذه المتباينات ممثلة بيانيًّا بالفعل، ومهمتنا هي تحديد أي المناطق المشار إليها بالأحرف تمثل الحل لجميع المتباينات الثلاث آنيًّا. سنفعل ذلك عن طريق تحديد مجموعة حل كل متباينة على حدة. المستقيم الحدي للمتباينة ﺹ أكبر من اثنين هو ﺹ يساوي اثنين، ويمثل بمستقيم أفقي يمر بالقيمة اثنين على المحور ﺹ. إنه الخط المتقطع المرسوم باللون الأزرق. وهو ممثل بخط متقطع؛ لأن المتباينة ﺹ أكبر من اثنين تمامًا. وبما أن المتباينة ﺹ أكبر من اثنين، فمجموعة حل هذه المتباينة تتمثل في المنطقة الواقعة أعلى الخط المتقطع. ومن ثم، تقتصر الخيارات لدينا فورًا على المناطق ﺯ وﺩ وﻭ.

المستقيم الحدي للمتباينة ﺹ أكبر من أو يساوي سالب ﺱ هو المستقيم ﺹ يساوي سالب ﺱ، وهو مستقيم قطري يمر بنقطة الأصل وميله يساوي سالب واحد. إنه الخط المتصل المرسوم باللون الأخضر، وقد استخدم خط متصل هنا لأنها متباينة ضعيفة. وبما أن المتباينة هي ﺹ أكبر من أو يساوي سالب ﺱ، فإن مجموعة حل هذه المتباينة هي المنطقة الواقعة على الخط وأعلاه. ومن ثم، يمكننا استبعاد المنطقة ﺯ.

بالنسبة إلى المتباينة الأخيرة، فإن المستقيم الحدي هو ﺱ يساوي واحدًا، وهو عبارة عن مستقيم رأسي يمر بالقيمة واحد على المحور ﺱ. هذا بالطبع هو المستقيم الأخير المرسوم على شبكة الإحداثيات، وهو المستقيم الرأسي المتقطع المرسوم باللون الأحمر. وبما أن المتباينة هي ﺱ أصغر من واحد، فإن المنطقة التي تحقق هذه المتباينة تقع إلى يسار المستقيم الحدي. ولذلك نستبعد الخيار ﻭ. وعليه، يمكننا استنتاج أن المنطقة التي تضم حلول نظام جميع المتباينات الثلاث، والتي هي تقاطع المناطق الثلاث جميعًا، هي المنطقة ﺩ.

دعونا الآن نلخص النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. لأي مستقيم رأسي مواز للمحور ﺹ على الصورة ﺱ يساوي ثابتًا ما ﻙ، فإن المنطقة الواقعة إلى يمين الخط المستقيم تضم جميع النقاط التي يكون عندها ﺱ أكبر من ﻙ، وتضم المنطقة الواقعة إلى يسار المستقيم جميع النقاط التي يكون عندها ﺱ أصغر من ﻙ. لأي مستقيم أفقي على الصورة ﺹ يساوي ﻙ، فإن المنطقة الواقعة أعلى المستقيم تناظر ﺹ أكبر من ﻙ، والمنطقة الواقعة أسفل الخط المستقيم تناظر ﺹ أصغر من ﻙ. لأي مستقيم قطري على الصورة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ، فإن المنطقة الواقعة أعلى المستقيم تناظر ﺹ أكبر من ﻡﺱ زائد ﺟ، والمنطقة الواقعة أسفل الخط المستقيم تناظر ﺹ أصغر من ﻡﺱ زائد ﺟ.

نستخدم الخطوط المتقطعة لتمثيل المتباينات التامة، وهو ما يعني أن المستقيم الحدي نفسه غير متضمن في مجموعة الحل، ونستخدم الخطوط المتصلة لتمثيل المتباينات الضعيفة، وهو ما يعني أن المستقيم الحدي متضمن في مجموعة الحل. مجموعة حل أي نظام من المتباينات الخطية هي المنطقة التي تحقق كل المتباينات آنيًّا، وهي تقاطع المناطق المفردة. عرفنا أيضًا أنه في حالة عدم تداخل المناطق، لا يوجد أي حلول لنظام المتباينات الخطية، وفي هذه الحالة تكون مجموعة الحل هي المجموعة الخالية، 𝜙.