نسخة الفيديو النصية
أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب أربعة لـ ﺱ تكعيب زائد ٦٤ الكل مقسوم على اثنين ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ ناقص ثمانية.
مطلوب منا في هذا السؤال إيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب أربعة لخارج قسمة كثيرتي حدود. تعرف هذه الدوال باسم «الدوال الكسرية». ونحن نعلم أنه يمكننا دائمًا محاولة حساب نهايات دوال كسرية باستخدام التعويض المباشر. لذا سنحاول حساب هذه النهاية بالتعويض المباشر. سنعوض بـ ﺱ يساوي سالب أربعة في الدالة الكسرية لدينا. هذا يعطينا سالب أربعة تكعيب زائد ٦٤ الكل مقسوم على اثنين في سالب أربعة تربيع زائد ستة في سالب أربعة ناقص ثمانية.
وإذا حسبنا كلا المقدارين في البسط والمقام، فسنحصل على صفر مقسومًا على صفر. وتعرف هذه بأنها صيغة غير معينة. ونظرًا لأن لدينا صيغة غير معينة، فعلينا تجربة طريقة أخرى لإيجاد قيمة هذه النهاية. وبما أننا نحاول إيجاد قيمة نهاية خارج قسمة كثيرتي حدود، فسنحاول تحليل كل من كثيرتي الحدود لدينا. دعونا نبدأ بكثيرة الحدود التكعيبية في البسط؛ ﺱ تكعيب زائد ٦٤. تذكر أنه عندما نعوض بـ ﺱ يساوي سالب أربعة في هذا المقدار، نجد أن هذا جذر لكثيرة الحدود. والناتج يساوي صفرًا.
وتذكر أنه باستخدام نظرية العوامل نجد أنه إذا كان سالب أربعة جذرًا لكثيرة الحدود، فإن ﺱ زائد أربعة هو أحد عوامل كثيرة الحدود. ونحن نعرف أنه للحصول على كثيرة حدود تكعيبية، علينا ضرب كثيرة حدود خطية في مقدار تربيعي. لذلك سنجعل العامل من الدرجة الثانية هو ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ. هناك طرق مختلفة يمكننا من خلالها إيجاد قيم ﺃ وﺏ وﺟ. على سبيل المثال، يمكننا قسمة ﺱ تكعيب زائد ٦٤ على ﺱ زائد أربعة باستخدام القسمة الجبرية. لكن ثمة طريقة أخرى يمكننا استخدامها؛ وهي توزيع الأقواس في الطرف الأيسر من المعادلة ثم مساواة المعاملات.
على سبيل المثال، عند توزيع الأقواس في الطرف الأيسر من المعادلة، نجد أن ﺃﺱ تكعيب هو الحد الوحيد الذي يحتوي على ﺱ تكعيب. وهذا من المفترض أن يساوي ﺱ تكعيب. ومن ثم، لا بد أن قيمة ﺃ تساوي واحدًا. إذن معامل ﺱ تربيع هو واحد. يمكننا إجراء خطوة مشابهة لإيجاد قيمة ﺟ. نلاحظ من ذلك أن الحد الثابت الوحيد سيكون أربعة ﺟ. بعد ذلك، إذا ساوينا الحدين الثابتين في كلا طرفي المعادلة، فسنحصل على ٦٤ يساوي أربعة ﺟ. وبقسمة الطرفين على أربعة، نحصل على ﺟ يساوي ١٦.
إذن الحد الثابت في المقدار التربيعي لدينا هو ١٦. علينا الآن إيجاد قيمة ﺏ. وهذا أصعب قليلًا. سنفعل ذلك عن طريق مساواة الحدود التي تحتوي على معاملات ﺱ تربيع. ونلاحظ أن هناك اثنين منها في الطرف الأيسر من المعادلة. بتوزيع الأقواس في الطرف الأيسر من المعادلة وكتابة الحدين اللذين يحتويان على ﺱ تربيع فقط، نحصل على ﺏﺱ تربيع زائد أربعة ﺱ تربيع. لكن في الطرف الأيمن من المعادلة، نلاحظ أنه ليس لدينا حد يحتوي على ﺱ تربيع. بعبارة أخرى، معامل ﺱ تربيع في الطرف الأيمن من المعادلة يساوي صفرًا.
خطوتنا التالية هي إيجاد معامل ﺱ تربيع في الطرف الأيسر من المعادلة. سنخرج العامل المشترك ﺱ تربيع. وهذا يعطينا صفر ﺱ تربيع يساوي ﺏ زائد أربعة؛ أي المعامل الآخر. بعبارة أخرى: ﺏ زائد أربعة يساوي صفرًا. وهذا يعني أن قيمة الثابت ﺏ تساوي سالب أربعة. وبذلك نكون قد حللنا ﺱ تكعيب زائد ٦٤ لنحصل على ﺱ زائد أربعة في ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد ١٦. لكن هذا ليس كافيًا لإيجاد قيمة النهاية باستخدام التعويض المباشر. لذا سنحلل كثيرة الحدود الموجودة في المقام.
إننا نريد تحليل اثنين ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ ناقص ثمانية. أول ما علينا ملاحظته هو أن العامل المشترك بين جميع هذه الحدود هو اثنان. لذا سنعيد كتابة هذا المقدار التربيعي ليصبح على الصورة: اثنان في ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﺱ ناقص أربعة. والآن نريد تحليل هذا المقدار التربيعي. يمكننا فعل ذلك باستخدام القانون العام، أو برنامج لحل المعادلات التربيعية، أو يمكننا استخدام نظرية العوامل. يمكننا أيضًا ملاحظة أن أربعة في سالب واحد يساوي سالب أربعة وأربعة زائد سالب واحد يساوي ثلاثة. ومن ثم، نجد أنه يمكن تحليل ذلك إلى ﺱ زائد أربعة في ﺱ ناقص واحد.
نلاحظ هنا أن هناك عاملًا مشتركًا بين البسط والمقام؛ وهو ﺱ زائد أربعة. يمكننا استخدام ذلك لإيجاد قيمة النهاية. حسنًا، بتحليل البسط والمقام، تمكنا من إعادة كتابة النهاية على هذه الصورة؛ النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب أربعة لـ ﺱ زائد أربعة في ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد ١٦ الكل مقسوم على اثنين في ﺱ زائد أربعة في ﺱ ناقص واحد. وهذا مفيد؛ لأننا نحسب قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب أربعة. إننا نريد معرفة ما يحدث للدالة عندما يقترب ﺱ أكثر فأكثر من سالب أربعة.
لكن إذا كان يعنينا فقط ما يحدث عندما يقترب ﺱ من سالب أربعة، فإن ﺱ لا يساوي سالب أربعة. لذا يمكننا حذف العامل المشترك ﺱ زائد أربعة من البسط والمقام. ومن هذا نستنتج أن النهاية المعطاة في المسألة تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب أربعة لـ ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد ١٦ الكل مقسوم على اثنين في ﺱ ناقص واحد. وهذه النهاية لدالة كسرية؛ لذا يمكننا محاولة إيجاد قيمتها باستخدام التعويض المباشر.
إذن سنعوض بـ ﺱ يساوي سالب أربعة. وهذا يعطينا سالب أربعة تربيع ناقص أربعة في سالب أربعة زائد ١٦ الكل مقسوم على اثنين في سالب أربعة ناقص واحد. وإذا حسبنا هذا المقدار وبسطناه، نحصل على سالب ٢٤ على خمسة. وبذلك نكون قد أوضحنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من سالب أربعة لـ ﺱ تكعيب زائد ٦٤ الكل مقسوم على اثنين ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ ناقص ثمانية تساوي سالب ٢٤ على خمسة.
