فيديو السؤال: تحديد عدد دورات جسم متدحرج الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

يتدحرج جذع شجرة مقطوع لأسفل منحدر في زمن قدره 7.2 ثوان. كان الجذع ساكنًا في البداية عند قمة المنحدر، ثم أصبحت سرعته الزاوية 12 راديان لكل ثانية عند قاعدة المنحدر. ما عدد الدورات التي يكملها الجذع أثناء تدحرجه لأسفل المنحدر؟

يمكننا البدء برسم شكل يوضح السؤال. هذا هو الجذع فوق المنحدر. نعلم أنه يبدأ من السكون عند قمة المنحدر. وبمجرد أن يتدحرج لأسفل ويصل إلى القاعدة، يدور بسرعة زاوية قيمتها 12 راديان لكل ثانية. سنسمي هذه السرعة الزاوية النهائية ‪𝜔f‬‏. ويمكننا أن نطلق على السرعة الزاوية الابتدائية ‪𝜔i‬‏، والتي نعرف أنها تساوي صفرًا راديان لكل ثانية؛ لأن جذع الشجرة كان ساكنًا في البداية. حسنًا، بما أن قوة الجاذبية الثابتة تسببت في تدحرج الجذع لأسفل المنحدر، فإن سرعته الزاوية قد زادت بمعدل ثابت، وهو ما يعني أن له عجلة زاوية ثابتة.

في ظل هذا الوضع، نعلم أن معادلات الحركة الزاوية تنطبق هنا. تكتب هذه المعادلات بدلالة الإزاحة الزاوية ‪𝜃‬‏، والسرعة الزاوية ‪𝜔‬‏، والعجلة الزاوية ‪𝛼‬‏، والزمن ‪𝑡‬‏. لكن لاحظ أنه في المعادلات، تكون السرعة الزاوية دائمًا ‪𝜔i‬‏ أو ‪𝜔f‬‏، وليس ‪𝜔‬‏ فقط. وعلى الرغم من أن كل هذه المعادلات تمثل هذا الموقف تمثيلًا صحيحًا، فإن مهمتنا هي اختيار المعادلة التي ستساعدنا على أفضل نحو في حل هذا السؤال تحديدًا.

حتى الآن، كتبنا قيمتي السرعتين الزاويتين الابتدائية والنهائية للجذع. وبما أننا نعلم من السؤال أن الجذع يتدحرج لأسفل المنحدر في زمن قدره 7.2 ثوان، فلدينا أيضًا قيمة الزمن ‪𝑡‬‏. يطلب منا هذا السؤال إيجاد عدد الدورات التي يكملها الجذع أثناء تدحرجه. ومن ثم، نريد أن نعرف إزاحته الزاوية ‪𝜃‬‏. لعلنا نلاحظ أيضًا أنه على الرغم من أننا نعرف أن العجلة الزاوية للجذع ثابتة، فإننا لا نعرف قيمتها، ولا نعرف إذا ما كنا سنحتاج قيمتها للإجابة عن هذا السؤال. يمكننا استخدام هذه المعادلة الموجودة في الأسفل لإيجاد الإزاحة الزاوية بدلالة القيم التي نعرفها فقط. لذا، دعونا نفرغ بعض المساحة على الشاشة ونبدأ الحل.

بالتعويض بقيم ‪𝜔f‬‏ و‪𝜔i‬‏ و‪𝑡‬‏، تخبرنا المعادلة أن ‪𝜃‬‏ تساوي نصفًا في 12 راديان لكل ثانية زائد صفر راديان لكل ثانية، الكل مضروب في 7.2 ثوان. لكن قبل أن نجري العملية الحسابية، من الجيد دائمًا التحقق من الوحدات. لدينا الثانية، وهي وحدة الزمن في النظام الدولي للوحدات، وهذا جيد. ولدينا أيضًا الراديان. تذكر أنه على الرغم من وجود عدة وحدات مختلفة يمكن أن نستخدمها لقياس الزاوية، مثل الدرجات أو الدورات، فمن الأفضل استخدام الراديان في مثل هذه العمليات الحسابية. وبذلك نكون جاهزين.

بإلغاء الحد الذي يحتوي على الصفر وضرب نصف في 12، نحصل على ستة راديان لكل ثانية في 7.2 ثوان. لاحظ أن وحدتي الثانية تلغيان من هذه المعادلة تمامًا، ما يجعل الناتج معبرًا عنه بالراديان فقط. والآن بضرب ستة في 7.2، نحصل على ‪𝜃‬‏ تساوي 43.2 راديان.

لكن تذكر أن المطلوب منا هو عدد الدورات التي يكملها الجذع. إذن علينا أن نحول من الراديان إلى الدورات. تذكر أن الدورة الواحدة تشير إلى دورة كاملة حول الدائرة، التي يبلغ قياسها اثنين ‪𝜋‬‏ راديان. إذن يمكننا كتابة معامل التحويل هذا، الذي يساوي واحدًا، لإلغاء الراديان، فيتبقى عدد الدورات فقط والمعامل واحد على اثنين ‪𝜋‬‏ لضبط المقدار وفقًا لذلك. والآن بحساب قيمة ذلك، نجد أن ‪𝜃‬‏ تساوي 6.88 دورات وهكذا مع توالي الأرقام.

لكن هذه ليست إجابتنا النهائية، فالمطلوب منا هو إيجاد عدد الدورات الكاملة التي يكملها الجذع. وهو لم يكمل سبع دورات بالتمام؛ لذا فالإجابة هي ستة. إذن عندما يتدحرج الجذع لأسفل المنحدر، فإنه يكمل ست دورات كاملة.