فيديو السؤال: إيجاد نهايات تتضمن دوال مثلثية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من 𝜋 على ستة لتسعة في 𝜋 ناقص ستة ﺱ الكل مقسوم على ظا ستة ﺱ.

حسنًا، مطلوب منا في هذا السؤال إيجاد النهاية لخارج قسمة دالة خطية ودالة مثلثية. وبما أنه يمكننا إيجاد قيمتي نهايتي البسط والمقام باستخدام التعويض المباشر، يمكننا محاولة إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر. بالتعويض عن ﺱ بـ 𝜋 على ستة في الدالة لدينا، نحصل على تسعة مضروبًا في 𝜋 ناقص ستة في 𝜋 على ستة الكل مقسوم على ظا ستة في 𝜋 على ستة. وستة في 𝜋 على ستة يساوي 𝜋، ومن ثم يمكننا تبسيط البسط حيث يصبح لدينا تسعة في 𝜋 ناقص 𝜋، وهذا يساوي صفرًا. يمكننا أيضًا تبسيط المقام حيث يصبح لدينا ظا 𝜋، وهذا يساوي صفرًا أيضًا. إذن، عند محاولة إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر، تصبح لدينا الصيغة غير المعينة صفر مقسومًا على صفر.

إذن، علينا إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام طريقة مختلفة. وبما أن هذه نهاية لخارج قسمة دالة خطية ودالة مثلثية، فإن إحدى طرق فعل ذلك هي استرجاع إحدى نتائج نهايات الدوال المثلثية. إننا نعلم أنه لأي ثابت حقيقي ﺃ، تكون النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ ظا ﺃ في ﺱ الكل مقسوم على ﺱ، تساوي ﺃ. لكن لا يمكننا تطبيق نتيجة النهاية هذه مباشرة لعدة أسباب. أولًا، لأن المطلوب منا ليس إيجاد النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر؛ بل عندما يقترب ﺱ من 𝜋 على ستة. ثانيًا، لأن لدينا ظا ستة ﺱ في المقام. بينما في نتيجة النهاية هذه، لدينا ظا ﺃﺱ في البسط.

مع ذلك، يمكننا حل هذا في بضع خطوات. في البداية، للحصول على ظا ستة ﺱ في مقام هذه النتيجة، علينا إيجاد مقلوب طرفي المعادلة. بإيجاد مقلوب طرفي نتيجة النهاية هذه وتطبيق قاعدة القوة للنهايات، تصبح لدينا النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لـ ﺱ مقسومًا على ظا ﺃﺱ تساوي واحدًا مقسومًا على ﺃ لأي ثابت حقيقي ﺃ لا يساوي صفرًا. لكن كما نلاحظ، ما زالت النهاية التي علينا إيجادها هنا هي النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر. والمطلوب منا هو إيجاد النهاية عندما يقترب ﺱ من 𝜋 على ستة. يمكننا حل ذلك باستخدام التعويض. سنجعل ﺹ يساوي ﺱ ناقص 𝜋 على ستة.

كلما اقتربت قيم ﺱ من 𝜋 على ستة، اقتربت قيم ﺱ ناقص 𝜋 على ستة من صفر. وعليه، ستقترب قيم ﺹ من صفر. إننا نريد الآن التعويض بهذا في نتيجة النهاية لدينا. لفعل ذلك، علينا إيجاد تعبير يدل على ﺱ بدلالة ﺹ. ويمكننا القيام بذلك بإضافة 𝜋 على ستة إلى كلا طرفي التعويض. وبذلك، يصبح لدينا ﺱ يساوي ﺹ زائد 𝜋 على ستة. بالتعويض بهذا في نتيجة النهاية لدينا، نحصل على النهاية عندما يقترب ﺹ من صفر لتسعة مضروبًا في 𝜋 ناقص ستة في ﺹ زائد 𝜋 على ستة الكل مقسوم على ظا ستة في ﺹ زائد 𝜋 على ستة.

يمكننا تبسيط ذلك. سنبدأ أولًا بتوزيع سالب ستة على ما بين القوسين في البسط، وتوزيع ستة على ما بين القوسين في المقام. هذا يعطينا النهاية عندما يقترب ﺹ من صفر لتسعة في 𝜋 ناقص ستة ﺹ ناقص 𝜋 مقسومًا على ظا ستة ﺹ زائد 𝜋. ويمكننا التبسيط أكثر من ذلك. في البسط، لدينا 𝜋 ناقص 𝜋، وهذا يساوي صفرًا. ويمكننا أيضًا تبسيط المقام باسترجاع أن طول دورة دالة الظل يساوي 𝜋. وعليه، نجد أن ظا ستة ﺹ زائد 𝜋 يساوي ظا ستة ﺹ.

وأخيرًا، لمطابقة ذلك مع نتيجة النهاية التي استخدمناها، لا بد من وجود عامل ثابت يساوي واحدًا في البسط، لذا علينا أخذ العامل تسعة خارج النهاية لدينا وكذلك العامل سالب ستة. ومن ثم، يصبح لدينا سالب ٥٤ مضروبًا في النهاية عندما يقترب ﺹ من صفر لـ ﺹ مقسومًا على ظا ستة ﺹ. ويمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية مباشرة باستخدام نتيجة النهاية التي توصلنا إليها. قيمة ﺃ تساوي ستة، وبحساب هذا، نجد أنه يساوي واحدًا على ستة. إذن، بالتعويض عن ذلك بواحد على ستة، نحصل على سالب ٥٤ على ستة، والذي بحسابه نجد أنه يساوي سالب تسعة، وهذه هي الإجابة النهائية. وبذلك، نكون قد تمكنا من توضيح أن النهاية عندما يقترب ﺱ من 𝜋 على ستة لتسعة في 𝜋 ناقص ستة ﺱ مقسومًا على ظا ستة ﺱ، تساوي سالب تسعة.