فيديو السؤال: إيجاد المعادلة العامة لمستوى وفقًا للشروط المعطاة الرياضيات

أوجد المعادلة العامة للمستوى الذي يمر بالنقطة (٨‎، −٩‎، −٩)، ويقطع أجزاء متساوية من محاور الإحداثيات الثلاثة.

٠٤:٤٩

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد المعادلة العامة للمستوى الذي يمر بالنقطة ثمانية، سالب تسعة، سالب تسعة، ويقطع أجزاء متساوية من محاور الإحداثيات الثلاثة.

دعونا نبدأ الحل بتمثيل إطار الإحداثيات ثم التفكير في المعلومة الثانية عن هذا المستوى؛ وهي أنه يقطع أجزاء متساوية من محاور الإحداثيات الثلاثة. هذا يخبرنا بأن المسافة بين نقطة الأصل والجزء المقطوع من المحور ﺱ بواسطة المستوى لدينا، أيًّا كان، تساوي المسافة بين نقطة الأصل والجزء المقطوع من المحور ﺹ بواسطة المستوى، والجزء المقطوع من المحور ﻉ بواسطة المستوى. هذا يعني أن جميع هذه القطع المستقيمة الثلاثة الموضحة باللون الوردي لها نفس الطول. إذن، سيبدو المستوى بهذا الشكل بالنسبة إلى إطار الإحداثيات هذا.

هدفنا هو إيجاد المعادلة العامة لهذا المستوى. ويمكننا فعل ذلك بالاستعانة بمعلومتين عنه. وهما، أولًا، إذا كانت لدينا نقطة تقع في المستوى، وثانيًا، متجه عمودي عليه، فسيكون بإمكاننا عندئذ إيجاد الصورة المتجهة لمعادلة المستوى وتحويلها إلى الصورة العامة. لاحظ أن لدينا نقطة تقع في المستوى. هذا يعني أن كل ما نحتاج إليه هو متجه عمودي. كيف يمكننا إيجاد مركبات هذا المتجه؟ يمكننا فعل ذلك من خلال التفكير قليلًا في ميل أو انحدار المستوى لدينا.

عندما نفكر فيه على أنه سطح ثنائي الأبعاد، فإننا نعرف أن هذا السطح يمتد بالتساوي في الاتجاهات ﺱ وﺹ وﻉ. ونحن نعرف ذلك لأن المستوى يقطع تلك المحاور عند مسافات متساوية من نقطة الأصل. هذا يعني أنه بما أن الأجزاء المقطوعة من المحاور ﺱ وﺹ وﻉ متساوية، يمكننا قول إن قيم هذه الأجزاء المقطوعة ستكون مركبات لمتجه عمودي على المستوى. بعبارة أخرى، إذا كانت إحدى مركبات المتجه العمودي، هي ﺃ مثلًا، فلا بد أن يكون للمركبتين الأخريين القيمة نفسها. وقد يكون ﺃ أي عدد لا يساوي صفرًا. على أي حال، هناك عدد لا حصر له من المتجهات العمودية على المستوى. وللتبسيط، يمكننا افتراض أن ﺃ يساوي موجب واحد. إذن، المتجه العمودي ﻥ له المركبات واحد، واحد، واحد.

والآن بعد أن أصبح لدينا متجه عمودي على المستوى ونقطة تقع فيه، دعونا نسترجع ما يعرف بالصورة المتجهة لمعادلة المستوى. تخبرنا هذه المعادلة أنه إذا حسبنا حاصل الضرب القياسي لمتجه عمودي على المستوى ومتجه أي نقطة اختيارية في المستوى، فذلك يساوي حاصل الضرب القياسي للمتجه العمودي ومتجه نقطة معلومة في المستوى. في الحالة لدينا، النقطة المعلومة، ويمكن أن نسميها ﻡ صفر، هي ثمانية، سالب تسعة، سالب تسعة. وهذا يعني أنه إذا رسمنا متجهًا من نقطة الأصل إلى النقطة ﻡ صفر، فستساوي مركبات هذا المتجه — الذي نسميه ﺭ صفر — إحداثيات النقطة ﻡ صفر. بمعلومية مركبات كل من ﺭ صفر والمتجه العمودي، يمكننا الآن التعويض بها في الصورة المتجهة لمعادلة المستوى.

في الطرف الأيمن، لدينا حاصل الضرب القياسي للمتجه العمودي واحد، واحد، واحد، ومتجه نقطة عامة في المستوى. وسنكتب إحداثياتها على الصورة ﺱ، ﺹ، ﻉ. بينما في الطرف الأيسر، لدينا حاصل الضرب القياسي للمتجه العمودي ومتجه نقطة معلومة. والآن، يمكننا البدء في حساب حاصلي الضرب القياسي من خلال ضرب المركبات المتناظرة معًا. في الطرف الأيمن، نحصل على ﺱ زائد ﺹ زائد ﻉ، ونحصل في الطرف الأيسر على ثمانية ناقص تسعة ناقص تسعة. وهذا يساوي سالب ١٠. والخطوة الأخيرة، إذا أضفنا موجب ١٠ إلى طرفي المعادلة، فسنحصل على هذه النتيجة التي تمثل الصورة العامة لمعادلة المستوى. وبكتابتها على هذا النحو، تكون معادلة المستوى هي ﺱ زائد ﺹ زائد ﻉ زائد ١٠ يساوي صفرًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.