فيديو الدرس: مبرهنة القيمة الوسيطية الرياضيات

سنتعلم في هذا الفيديو كيف نفسر مبرهنة القيمة الوسيطية ونستخدمها لتقدير أصفار الدالة.

٢١:١٣

‏نسخة الفيديو النصية

سنتعرف في هذا الفيديو على مبرهنة القيمة الوسيطية، وهي مبرهنة بديهية لكن مهمة، تخص الدوال المتصلة. لكن قبل أن نتحدث عن هذه المبرهنة، لنتحدث أولًا عن دالة الجذر التربيعي.

ما الجذر التربيعي لأربعة؟ الإجابة سهلة. نعلم إنه اثنان. ويمكن التحقق من صحة ذلك بتربيع العدد اثنين؛ أي بضربه في نفسه. وبذلك نحصل بالتأكيد على أربعة. وسالب اثنين تربيع يساوي أربعة أيضًا. ويمكننا القول إن الجذر التربيعي لأربعة هو سالب اثنين أيضًا. لكن، بما أننا نريد دالة جذر تربيعي، فعلينا أن نختار إجابة محددة للجذر التربيعي لأربعة. وسنختار العدد الموجب. وهو العدد اثنان.

ماذا عن الجذر التربيعي للعدد ‪49‬‏ على ‪25‬‏؟ هذا أصعب قليلًا. لكن يمكننا إثبات أنه يساوي سبعة على خمسة، فبتربيع سبعة على خمسة نحصل على ‪49‬‏ على ‪25‬‏. ولإيجاد الجذر التربيعي للعدد ‪10.89‬‏، قد تحتاج إلى استخدام الآلة الحاسبة. لكن بمجرد الحصول على القيمة ‪3.3‬‏، يكون سهلًا علينا التحقق من صحتها. ويمكننا ذلك دون استخدام الآلة الحاسبة، إن لم تكن متأكدًا من دقة آلتك.

لكن ماذا عن الجذر التربيعي لاثنين؟ قد تخبرك الآلة الحاسبة أن ناتج ذلك ‪1.414213562‬‏، أو ما شابه. وإذا حسبنا تربيع هذا العدد باستخدام الآلة الحاسبة، فقد نحصل أيضًا على الإجابة اثنين، وهو أمر جيد، أليس كذلك؟ لكن، عند حساب تربيع هذا العدد باستخدام حاسوبي الخاص، وهو أكثر دقة من الآلة الحاسبة، أجد أن هذا العدد تربيع يساوي ‪1.99999999894‬‏، وهو قريب جدًا من العدد اثنين لكنه لا يساوي اثنين بالضبط. والسبب في ذلك أن هذه القيمة ‪1.414213562‬‏ غير دقيقة. بل يتوالى المفكوك العشري للعدد بالأرقام ‪3730395‬‏ وهكذا بلا نهاية.

قد تلاحظ أن الجذر التربيعي للعدد اثنين هو عدد غير نسبي. إذن، لا يمكن أن نكتبه في صورة كسر مثل سبعة على خمسة. ولذلك، لا يمكن أن نتحقق من صحة أن هذا العدد تربيع يساوي اثنين مثلما تحققنا من أن سبعة على خمسة تربيع يساوي ‪49‬‏ على ‪25‬‏. كما أن المفكوك العشري للجذر التربيعي للعدد اثنين لا ينتهي، حيث تتوالى الأرقام بلا نهاية. إذن، لا يمكن تربيعه باستخدام عملية الضرب كما فعلنا مع العدد ‪3.3‬‏. في الحقيقة، لا يمكننا كتابة قيمته الدقيقة، على الأقل ليس في صورة كسر أو عدد عشري. إذا طلب منا أن نكتب قيمته الدقيقة، فسنكتفي بكتابة الجذر التربيعي لاثنين، وقد يبدو هذا نوعًا من الغش. الجذر التربيعي لاثنين يساوي الجذر التربيعي لاثنين. ومع هذا، نعتبر الجذر التربيعي للعدد اثنين عددًا حقيقيًا. والأمر نفسه بالنسبة للجذر التربيعي للعدد ثلاثة، حيث نواجه المشكلة نفسها.

ومن ناحية أخرى، نقول إن الجذر التربيعي لسالب واحد ليس عددًا حقيقيًا. فلماذا هذا الاختلاف؟ يكمن السبب في مبرهنة القيمة الوسيطية. هذا هو التمثيل البياني لـ ‪𝑌‬‏ يساوي ‪𝑋‬‏ تربيع. ويمكننا تربيع الأعداد باستخدام هذا التمثيل البياني. على سبيل المثال، يمكننا إيجاد قيمة واحد تربيع عن طريق تحديد العدد واحد على المحور ‪𝑋‬‏، والانتقال لأعلى من واحد على المحور ‪𝑋‬‏ إلى نقطة التقاطع مع المنحنى، ثم نحو المحور ‪𝑌‬‏. ونقرأ من الرسم واحد تربيع، ما يساوي واحدًا.

ويمكن أيضًا أن نحصل على الجذر التربيعي بقراءة التمثيل البياني. مثلًا، لإيجاد الجذر التربيعي للعدد أربعة، نحدد أربعة على المحور ‪𝑌‬‏ وننتقل في الاتجاه الآخر نحو المنحنى، ثم لأسفل حتى نصل إلى المحور ‪𝑋‬‏ عند العدد اثنين. إذن، الجذر التربيعي للعدد أربعة هو اثنان. ولإيجاد الجذر التربيعي للعدد اثنين، يمكن أن نتحرك من اثنين على المحور ‪𝑌‬‏ حتى نصل إلى المنحنى. ثم ننتقل لأسفل نحو المحور ‪𝑋‬‏ لنوجد الجذر التربيعي لاثنين. إذا أطلقنا على هذا العدد ‪𝐶‬‏، فلا بد أن ‪𝐶‬‏ تربيع يساوي اثنين. إذن، ‪𝐶‬‏ هو الجذر التربيعي للعدد اثنين. وبالمثل، يمكننا إيجاد الجذر التربيعي لثلاثة.

فهل يساعدنا هذا في إيجاد الجذر التربيعي لأي عدد؟ ليس تمامًا، لأن الأعداد السالبة تكون بعيدة تمامًا عن المنحنى. فلا يمكننا إيجاد الجذر التربيعي لسالب واحد باستخدام هذه الطريقة. تمكنا من إيجاد الجذر التربيعي لاثنين وثلاثة لأن هاتين القيمتين تقعان بين قيمة ‪𝐹‬‏ لواحد، وهي واحد، وقيمة ‪𝐹‬‏ لاثنين، وهي أربعة. الدالة متصلة على الفترة من واحد إلى اثنين. وبذلك، فإن قيمة ‪𝑌‬‏ على المنحنى، وهي قيمة الدالة، تتغير تغيرًا طفيفًا من واحد إلى أربعة، مرورًا باثنين وثلاثة. وعلى ذلك، لا بد أن يتقاطع المنحنى عند ‪𝑌‬‏ يساوي اثنين و‪𝑌‬‏ يساوي ثلاثة. وتقع أيضًا قيم ‪𝑋‬‏ التي تحدث عندها هذه التقاطعات في الفترة من واحد إلى اثنين.

يمكن أن نعبر لفظيًا عن ذلك. افترض أن الدالة ‪𝐹‬‏ في المتغير ‪𝑋‬‏ تساوي ‪𝑋‬‏ تربيع، حيث إن اثنين يقع بين ‪𝐹‬‏ لواحد، التي تساوي واحدًا، و‪𝐹‬‏ لاثنين، التي تساوي أربعة. وبما أن ‪𝐹‬‏ دالة متصلة، فلا بد أن يكون هناك عدد ما ‪𝐶‬‏ يقع ضمن الفترة المفتوحة من واحد إلى اثنين، حيث ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐶‬‏ يساوي اثنين. بعبارة أخرى، ‪𝐶‬‏ تربيع يساوي اثنين، و‪𝐶‬‏ هو الجذر التربيعي لاثنين. بالطبع لا يقتصر ذلك فقط على الجذر التربيعي لاثنين. يمكننا إيجاد الجذر التربيعي لثلاثة بالطريقة نفسها. ماذا عن العدد خمسة؟ العدد خمسة لا يقع بين ‪𝐹‬‏ لواحد، أي واحد، و‪𝐹‬‏ لاثنين، أي أربعة. لكنه يقع بين ‪𝐹‬‏ لاثنين، أي أربعة، و‪𝐹‬‏ لثلاثة، أي تسعة. وبذلك، لا بد أن يكون هناك عدد ما ‪𝐶‬‏ ضمن الفترة المفتوحة من اثنين إلى ثلاثة، حيث ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐶‬‏ يساوي خمسة.

لأي عدد حقيقي موجب ‪𝑁‬‏، نجد عددين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ حيث ‪𝑁‬‏ يقع بين ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐴‬‏ و‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐵‬‏. وبذلك، لا بد أن جذره التربيعي ‪𝐶‬‏ يقع بين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏. نتحدث هنا عن الدالة ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑋‬‏ تساوي ‪𝑋‬‏ تربيع، وعن إيجاد الجذر التربيعي باستخدام ذلك. ويمكن أيضًا أن نطبق ذلك في الجذور التكعيبية، وكذلك الجذور الخماسية. في الحقيقة، الشيء الوحيد الذي نستخدمه عن الدالة ‪𝐹‬‏ هو أنها دالة متصلة. وبذلك، يمكننا أن نكتب نتيجة عامة. إذا كانت ‪𝐹‬‏ دالة متصلة على الفترة المغلقة من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏ ويقع العدد ‪𝑁‬‏ بين ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐴‬‏ و‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐵‬‏، فإن هناك عددًا ما ‪𝐶‬‏ يقع ضمن الفترة المفتوحة من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏، حيث ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐶‬‏ تساوي ‪𝑁‬‏. يمكنك ملاحظة أن هذه هي العبارة نفسها التي ذكرناها سابقًا، بخلاف أن ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑋‬‏ دالة متصلة.

لنرسم تمثيلًا بيانيًا عامًا لتوضيح ذلك. لدينا الدالة ‪𝐹‬‏، وهي متصلة على الفترة المغلقة من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏، ويقع ‪𝑁‬‏ بين ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐴‬‏ و‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐵‬‏. إذن، هناك عدد ما ‪𝐶‬‏ يقع ضمن الفترة المفتوحة من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏، حيث ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐶‬‏ تساوي ‪𝑁‬‏. يبدو هذا صحيحًا. لاحظ أنه بناء على قيمة ‪𝑁‬‏، قد لا يكون لـ ‪𝐶‬‏ قيمة وحيدة. قد يكون لـ ‪𝐶‬‏ عدة قيم ممكنة، لكننا متأكدون من وجود قيمة واحدة على الأقل. يجب أن يقع ‪𝑁‬‏ بين ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐴‬‏ و‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐵‬‏ لتظل هذه العبارة صحيحة. بعبارة أخرى، يجب أن يكون ‪𝑁‬‏ قيمة وسيطية بين ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐴‬‏ و‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐵‬‏. إذا لم يكن ‪𝑁‬‏ قيمة وسيطية بين ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐴‬‏ و‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐵‬‏، فقد نحصل على بعض قيم لـ ‪𝐶‬‏. لكن ذلك ليس أكيدًا.

ولهذا السبب، يسمى ذلك مبرهنة القيمة الوسيطية. ونطلق عليها مبرهنة، لأنه بالرغم من كونها بديهية، فإنها تحتاج إلى إثبات باستخدام تعريف الاتصال. لكن هذا إثبات نظري إلى حد ما، وذلك بسبب استخدام التعريف النظري للاتصال. ولن نتناول ذلك في هذا الفيديو. بل سنتناول التطبيقات العملية. دعونا ننظر في المثال الأول.

يوضح الشكل التالي منحنى الدالة ‪𝐹‬‏ على الفترة المغلقة من صفر إلى ‪16‬‏، مع الخط المتقطع ‪𝑌‬‏ يساوي ‪30‬‏. ‏‏‪𝐹‬‏ لصفر أصغر من ‪30‬‏، و‪𝐹‬‏ لـ ‪16‬‏ أكبر من ‪30‬‏. ولكن ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑋‬‏ لا تساوي ‪30‬‏ لجميع القيم داخل الفترة المغلقة من صفر إلى ‪16‬‏. لماذا لا يخالف ذلك مبرهنة القيمة الوسيطية؟

دعونا نتحقق من صحة المعطيات. هل ‪𝐹‬‏ لصفر أصغر من ‪30‬‏؟ نعم، نرى هنا أن ‪𝐹‬‏ لصفر تساوي ‪12‬‏ تقريبًا. وبالمثل، ‪𝐹‬‏ لـ ‪16‬‏ أكبر من ‪30‬‏. نرى أنها ‪32‬‏ تقريبًا. لكن ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑋‬‏ لا تساوي ‪30‬‏ عند أي نقطة داخل الفترة. وهذا صحيح لأن الخط المتقطع ‪𝑌‬‏ يساوي ‪30‬‏ لا يتقاطع عند أي نقطة مع التمثيل البياني للدالة. السؤال هو: لماذا لا يخالف ذلك مبرهنة القيمة الوسيطية؟ ما هي مبرهنة القيمة الوسيطية؟ تنص المبرهنة على أنه إذا كانت الدالة ‪𝐹‬‏ متصلة على الفترة المغلقة من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏، وإذا كان العدد ‪𝑁‬‏ يقع بين ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐴‬‏ و‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐵‬‏، وهما قيمتا الدالة عند حدي الفترة. فإن هناك عددًا ما ‪𝐶‬‏ يقع ضمن الفترة المفتوحة من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏، حيث ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐶‬‏ يساوي ‪𝑁‬‏.

وقد يبدو أن ما لدينا هو مثال معاكس لمبرهنة القيمة الوسيطية. قمنا بتحديد أن ‪𝑁‬‏ يساوي ‪30‬‏، ونلاحظ أن ‪30‬‏ يقع بين ‪𝐹‬‏ لصفر و‪𝐹‬‏ لـ ‪16‬‏. لكن لا توجد أي قيمة لـ ‪𝐶‬‏ ضمن الفترة المفتوحة من صفر إلى ‪16‬‏، حيث ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐶‬‏ يساوي ‪30‬‏. لماذا لا يعد هذا مثالًا معاكسًا لمبرهنة القيمة الوسيطية؟ لا تنطبق مبرهنة القيمة الوسيطية إلا إذا كانت ‪𝐹‬‏ دالة متصلة. والدالة التي لدينا هنا لا تحقق الفرضية المطلوبة. إذ نرى أن ثمة عدم اتصال عند ‪𝑋‬‏ يساوي ثمانية.

إذن، لماذا لا يخالف ذلك مبرهنة القيمة الوسيطية؟ السبب أن الدالة غير متصلة عند ‪𝑋‬‏ يساوي ثمانية. وعلى ذلك، فهي غير متصلة على الفترة المغلقة من صفر إلى ‪16‬‏، وهو شرط لتطبيق مبرهنة القيمة الوسيطية.

والآن بعد أن رأينا أنه لا يمكن تطبيق مبرهنة القيمة الوسيطية على دوال غير متصلة، لنرى الآن لماذا تعد مبرهنة القيمة الوسيطية مفيدة في حالة الدوال المتصلة.

افترض أن الدالة ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑋‬‏ تساوي ثلاثة أس ‪𝑋‬‏ ناقص ‪𝑋‬‏ أس خمسة. وفقًا لمبرهنة القيمة الوسيطية، أي من الفترات الآتية ينبغي أن تحتوي على حل لـ ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑋‬‏ تساوي صفرًا؟ هل هي الفترة المغلقة من اثنين إلى ثلاثة، أم الفترة المغلقة من صفر إلى واحد، أم الفترة المغلقة من سالب ثلاثة إلى سالب اثنين، أم الفترة المغلقة من واحد إلى اثنين، أم الفترة المغلقة من سالب اثنين إلى سالب واحد؟

حسنًا، لدينا دالة. كيف يمكننا استخدام مبرهنة القيمة الوسيطية لتحديد أي الفترات تحتوي على جذر هذه الدالة؛ أي حل لـ ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑋‬‏ تساوي صفرًا؟ فلنذكر أنفسنا بمبرهنة القيمة الوسيطية. تنص المبرهنة على أنه إذا كانت الدالة ‪𝐹‬‏ متصلة على الفترة المغلقة من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏، و‪𝑁‬‏ عددًا ما بين قيمتي الدالة عند حدي الفترة. وهما ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐴‬‏ و‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐵‬‏. فإن هناك عددًا ما ‪𝐶‬‏ يقع ضمن الفترة المفتوحة من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏، حيث ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐶‬‏ يساوي ‪𝑁‬‏. أول شيء نلاحظه هو أن الدالة ‪𝐹‬‏ دالة متصلة في مجموعة الأعداد الحقيقية، وعلى ذلك ستكون متصلة على أي فترة من الفترات الموجودة في الخيارات. إذن هذه الفرضية متحققة.

تذكر الآن أن علينا إيجاد حل لـ ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑋‬‏ تساوي صفرًا. بمقارنة هذا مع ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐶‬‏ يساوي ‪𝑁‬‏، نجد أنه علينا أن نساوي ‪𝑁‬‏ بصفر. حسنًا، تخبرنا مبرهنة القيمة الوسيطية أنه في الدالة المتصلة ‪𝐹‬‏، إذا كان الصفر يقع بين ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐴‬‏ و‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐵‬‏، فإن هناك عددًا ما ‪𝐶‬‏ يقع ضمن الفترة المفتوحة من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏، حيث ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐶‬‏ يساوي صفرًا. بعبارة أخرى، إذا كانت إشارتا ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐴‬‏ و‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐵‬‏ مختلفتين، فإن هناك عددًا ما ‪𝐶‬‏ يقع بين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏، وهو جذر للدالة ‪𝐹‬‏.

إذن لحل هذه المسألة، نأخذ كل فترة في الخيارات واحدة تلو الأخرى، ونبدأ بالفترة من اثنين إلى ثلاثة. إذا كانت إشارتا ‪𝐹‬‏ لاثنين و‪𝐹‬‏ لثلاثة مختلفتين، أي إذا كانت إحداهما موجبة والأخرى سالبة، فيجب أن يكون هناك جذر، أي حل لـ ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑋‬‏ تساوي صفرًا، داخل هذه الفترة. إذن، لنحسب ‪𝐹‬‏ لاثنين و‪𝐹‬‏ لثلاثة. سنفعل ذلك باستخدام تعريف الدالة ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑋‬‏ الموجود في المسألة. ويمكننا حساب ذلك باستخدام الآلة الحاسبة أو من دونها، وسنحصل على ‪𝐹‬‏ لثلاثة يساوي سالب ‪216‬‏ و‪𝐹‬‏ لاثنين يساوي سالب ‪23‬‏. لا يوجد تغيير في إشارة الدالة هنا. فكلتا القيمتين سالبتان.

ووفقًا لمبرهنة القيمة الوسيطية، نعلم أن الدالة ‪𝐹‬‏ يجب أن تأخذ كل القيم التي تقع بين سالب ‪23‬‏ وسالب ‪216‬‏ عند تغير القيمة المدخلة من اثنين إلى ثلاثة. وعليه نحصل على حل لـ ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑋‬‏ تساوي سالب ‪100‬‏. وذلك على سبيل المثال في هذه الفترة. ولكن بما أن الصفر لا يقع بين سالب ‪23‬‏ وسالب ‪216‬‏، فلا يمكن أن نقول إنه لا بد من وجود حل لـ ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑋‬‏ تساوي صفرًا في هذه الفترة.

ننتقل إلى الخيار (ب). الفترة المغلقة من صفر إلى واحد. نحسب قيمتي الدالة عند حدي الفترة. نجد أن ‪𝐹‬‏ لواحد يساوي اثنين و‪𝐹‬‏ لصفر يساوي واحدًا. مرة أخرى، الإشارة لا تتغير، وبذلك لا شيء يؤكد أن الصفر يقع في هذه الفترة. ولكن، نلاحظ تغيرًا في الإشارة بين ‪𝐹‬‏ لواحد و‪𝐹‬‏ لاثنين. ‏‏‪𝐹‬‏ لواحد إشارتها موجب و‪𝐹‬‏ لاثنين إشارتها سالب. تنص مبرهنة القيمة الوسيطية على أنه بما أن ‪𝐹‬‏ دالة متصلة على الفترة المغلقة من واحد إلى اثنين، وبما أن الصفر يقع بين ‪𝐹‬‏ لواحد، التي تساوي اثنين، و‪𝐹‬‏ لاثنين، التي تساوي سالب ‪23‬‏. فإن هناك عددًا ما ‪𝐶‬‏ يقع ضمن الفترة المفتوحة من واحد إلى اثنين، حيث ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐶‬‏ تساوي صفرًا. وبما أن ‪𝐶‬‏ يقع في الفترة المفتوحة من واحد إلى اثنين، فيجب أن يقع أيضًا في الفترة المغلقة من واحد إلى اثنين. وبذلك لدينا حل لـ ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑋‬‏ تساوي صفرًا في الفترة المغلقة من واحد إلى اثنين. وهو الخيار (د).

ويمكننا أن نتحقق من قيم الدالة عند حدود الفترات الأخرى في الخيارات لنتأكد من أنه لا يوجد تغير في الإشارة في فترات كل من (ج) و(هـ). وبذلك، يكون (د) هو الخيار الصحيح الوحيد بالتأكيد. وبينما تضمن لنا مبرهنة القيمة الوسيطية وجود جذر أو حل لـ ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑋‬‏ تساوي صفرًا في الفترة من صفر إلى اثنين، لا يمكن أن نقول استنادًا إلى مبرهنة القيمة الوسيطية فقط إنه لا توجد جذور أخرى في الفترات الأخرى.

لنر لماذا.

إذا كانت الدالة ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑋‬‏ متصلة على الفترة المغلقة من صفر إلى ثلاثة، و‪𝐹‬‏ لصفر أكبر من صفر، و‪𝐹‬‏ لثلاثة أكبر من صفر، فهل يمكننا استخدام مبرهنة القيمة الوسيطية لاستنتاج أن الدالة ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑋‬‏ ليس لها أصفار في الفترة من صفر إلى ثلاثة؟

لنرسم هذه المعطيات على رسم بياني. نعلم أن إشارة ‪𝐹‬‏ لصفر موجبة. لنرسمها هنا؛ و‪𝐹‬‏ لثلاثة موجبة أيضًا. إذن، قد يمر تمثيلها البياني عبر هذه النقطة، و‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑋‬‏ دالة متصلة. هل يعني هذا أن ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑋‬‏ ليس لها أصفار في الفترة من صفر إلى ثلاثة؟ الإجابة لا. حيث يمكن أن نرسم تمثيلًا بيانيًا للدالة المتصلة ‪𝐹‬‏ حيث يكون كل من ‪𝐹‬‏ لصفر و‪𝐹‬‏ لثلاثة قيمتين موجبتين، لكنها لها أصفار في الفترة المغلقة من صفر إلى ثلاثة. لذلك لا يمكننا استخدام مبرهنة القيمة الوسيطية لاستنتاج أن ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑋‬‏ ليس لها أصفار، لأن ببساطة هذا غير صحيح.

لماذا نعتقد أن مبرهنة القيمة الوسيطية تشمل هذه العبارة غير الصحيحة؟ تنص مبرهنة القيمة الوسيطية على أنه إذا كانت ‪𝐹‬‏ دالة متصلة على الفترة المغلقة من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏ و‪𝑁‬‏ هو عدد يقع بين ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐴‬‏ و‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐵‬‏، فإن هناك عددًا ما ‪𝐶‬‏ يقع ضمن الفترة المفتوحة من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏، حيث ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐶‬‏ يساوي ‪𝑁‬‏. وبمساواة ‪𝑁‬‏ بصفر، تنطبق الحالة الخاصة التي تقول إنه إذا كانت ‪𝐹‬‏ دالة متصلة، وكانت إشارتا ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐴‬‏ و‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐵‬‏ مختلفتين، فإن هناك عددًا ما ‪𝐶‬‏ يقع ضمن الفترة المفتوحة من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏، حيث ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐶‬‏ يساوي صفرًا. بعبارة أخرى، يوجد صفر للدالة ‪𝐹‬‏ في هذه الفترة.

تعرف هذه الحالة الخاصة أحيانًا باسم مبرهنة بولزانو. فلا بد أن ننتبه لشيء هنا. إن مبرهنة القيمة الوسيطية لا تعني أنه إذا لم يقع ‪𝑁‬‏ بين ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐴‬‏ و‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐵‬‏، فلن يكون هناك عدد ما ‪𝐶‬‏ ضمن الفترة المفتوحة من ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏، حيث ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐶‬‏ يساوي ‪𝑁‬‏. إذن، الحالة الخاصة لا تعني أنه إذا كانت إشارتا ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐴‬‏ و‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐵‬‏ متماثلتين. أي إذا كانت كلتا القيمتين موجبتين أو سالبتين، فلا يمكن أن يوجد عدد ما ‪𝐶‬‏ الذي يمثل جذرًا للدالة ‪𝐹‬‏. وهذه عبارة وردت في رأس المسألة ولا تستند إلى مبرهنة القيمة الوسيطية. وعلى ذلك تكون إجابتنا هي لا. لا يمكن أن نستنتج أن ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝑋‬‏ ليس لها أصفار في الفترة من صفر إلى ثلاثة.

دعونا نسترجع أهم ما جاء في هذا الفيديو. أولًا، نص مبرهنة القيمة الوسيطية. إذا كانت ‪𝐹‬‏ دالة متصلة على الفترة المغلقة ‪𝐴‬‏ إلى ‪𝐵‬‏، و‪𝑁‬‏ هو عدد ما بين ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐴‬‏ و‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐵‬‏، فإن هناك عددًا ما ‪𝐶‬‏ بين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏، حيث ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐶‬‏ يساوي ‪𝑁‬‏. قد يبدو لك ذلك بديهيًا، لكن ليس كل شيء بديهي صحيحًا. وهذه مبرهنة يمكن إثباتها.

من المهم أن تفهم نص المبرهنة فهمًا صحيحًا. هذه المبرهنة لا تعني أن ‪𝐶‬‏ يجب أن يكون قيمة وحيدة. قد يكون هناك أكثر من قيمة لـ ‪𝐶‬‏ داخل الفترة المفتوحة حيث ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐶‬‏ تساوي ‪𝑁‬‏. ولا تنص أيضًا على أنه إذا لم يقع ‪𝑀‬‏ بين ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐴‬‏ و‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐵‬‏، فلن يكون هناك ‪𝐷‬‏ في الفترة حيث ‪𝐹‬‏ لـ ‪𝐷‬‏ تساوي ‪𝑀‬‏. هاتان العبارتان غير صحيحتين كما نلاحظ من الشكل.

رأينا أيضًا أنه يمكن استخدام مبرهنة القيمة الوسيطية لتقدير أصفار الدوال. وقد تظن أن هذا أمر غير مفيد. لكنها أداة مهمة يمكن استخدامها لإثبات أمور غير بديهية على الإطلاق.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.