فيديو السؤال: تحديد إذا ما كانت القطعتان المستقيمتان متعامدتين الرياضيات

إحداثيات النقاط ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ هي (٣‎، ٢)، (−١‎، ٧)، (٣‎، ١)، (٩‎، ٢) على الترتيب. هل القطعتان المستقيمتان ﺃﺏ، ﺟﺩ متعامدتان؟

٠٥:٥٠

‏نسخة الفيديو النصية

إحداثيات النقاط ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ هي: ثلاثة، اثنان، وسالب واحد، سبعة، وثلاثة، واحد، وتسعة، اثنان، على الترتيب. هل القطعتان المستقيمتان ﺃﺏ وﺟﺩ متعامدتان؟

حتى نتمكن من فهم مضمون هذا السؤال، سنرسم شكلًا توضيحيًّا صغيرًا. لقد رسمنا هنا محورين. والآن علينا أن نحدد النقاط الأربع. في الواقع، هذه الخطوة ضرورية للإجابة عن هذا السؤال لأنها تساعدنا على تصور ما يتضمنه السؤال.

أولًا، لدينا النقطة ﺃ التي تقع عند ثلاثة، اثنين؛ أي ثلاثة على المحور ﺱ، واثنين على المحور ﺹ. ثم لدينا النقطة ﺏ التي تقع عند سالب واحد، سبعة، والنقطة ﺟ التي تقع عند ثلاثة، واحد، وأخيرًا النقطة ﺩ التي تقع عند تسعة، اثنين. حسنًا، لقد حددنا الآن مواضع النقاط الأربع. لكن السؤال المطروح هو ما إذا كانت القطعتان المستقيمتان ﺃﺏ وﺟﺩ متعامدتين.

إذن، نرسم هنا القطعتين المستقيمتين. والآن، دعونا نر ما إذا كانتا متعامدتين. أولًا، ما المقصود بكلمة «متعامدين»؟ إذا كان خطان مستقيمان عموديين كل منهما على الآخر، فهذا يعني أنهما يلتقيان عند زاوية قائمة. وهذا ما تعنيه كلمة «متعامدين».

لكن كيف نعرف ما إذا كان الخطان المستقيمان متعامدين بالفعل؟ في الواقع، لدينا علاقة خاصة بين أي خطين مستقيمين متعامدين، وهي تتعلق بميلي الخطين المستقيمين، ويمكننا أن نشير للميل بـ ﻡ. إذا كان لدينا ميل خطين مستقيمين متعامدين، وسنسميهما ﻡ واحد وﻡ اثنين، فإن حاصل ضرب هذين الميلين يساوي سالب واحد.

لكن ثمة طريقة أخرى للتفكير في ذلك؛ وهي أن ميل أحد الخطين المستقيمين يساوي سالب مقلوب ميل الخط العمودي عليه. بمعنى أن لدينا سالب واحد على ميل الخط الآخر. بوضع ذلك في الذهن، دعونا الآن نوجد ميل ﺃﺏ أو ﺏﺃ وﺟﺩ.

ولنتمكن من إيجاد ميل قطعتين مستقيمتين أو خطين مستقيمين، فإننا نستخدم صيغة الميل. وهي تنص على أن الميل ﻡ يساوي ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد. وفي الواقع هذا يكافئ التغير في ﺹ مقسومًا على التغير في ﺱ، أي الفرق بين قيمتي الإحداثيين ﺹ مقسومًا على الفرق بين قيمتي الإحداثيين ﺱ.

حسنًا، لدينا الآن كل ما نحتاج إليه لحل هذه المسألة. بالنسبة إلى الخط المستقيم ﺃﺏ، لدينا النقطة ﺃ وهي ثلاثة، اثنان؛ أي أن إحداثييها هما ثلاثة، اثنان. وسنسميهما ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ ثم لدينا النقطة ﺏ وهي سالب واحد، سبعة. وسنسمي هذين الإحداثيين ﺱ اثنين، ﺹ اثنين.

من ثم، باستخدام صيغة الميل، يمكننا القول إن الميل أو ما نشير إليه في هذه الحالة بـ ﻡ واحد؛ لأنه الميل الأول الذي نحسب قيمته، يساوي سبعة ناقص اثنين، وهذا هو ﺹ اثنان ناقص ﺹ واحد، مقسومًا على سالب واحد ناقص ثلاثة، وهذا هو ﺱ اثنان ناقص ﺱ واحد. وبذلك، نحصل على الناتج سالب خمسة على أربعة؛ لأن سبعة ناقص اثنين يساوي خمسة، وسالب واحد ناقص ثلاثة يساوي سالب أربعة. وبذلك، أصبح الكسر بأكمله قيمته سالبة، وهذا يساوي سالب خمسة على أربعة أو سالب خمسة أرباع.

حسنًا، هذه هي قيمة ﻡ واحد. التي تمثل قيمة ميل الخط المستقيم ﺃﺏ. الآن، هيا نوجد ميل الخط المستقيم ﺟﺩ. بالنسبة إلى الخط المستقيم ﺟﺩ، نعلم أن إحداثيي النقطة ﺟ هما ثلاثة، واحد؛ وسنسميهما ﺱ واحد، ﺹ واحد. إحداثيا النقطة ﺩ هما تسعة، اثنان. وسنسميهما ﺱ اثنين، ﺹ اثنين. ومن ثم، نحصل على اثنين ناقص واحد، وهذا هو ﺹ اثنان ناقص ﺹ واحد، مقسومًا على تسعة ناقص ثلاثة، وهذا هو ﺱ اثنان ناقص ﺱ واحد. وبذلك، نحصل على الناتج واحد على ستة. ومن هنا، نستنتج أن ميل الخط المستقيم ﺟﺩ يساوي واحدًا على ستة أو سدسًا.

الآن، سنستخدم العلاقة الأولى التي أشرنا إليها، وهي ﻡ واحد مضروبًا في ﻡ اثنين. وإذا كان الخطان المستقيمان متعامدين بالفعل، فإن حاصل ضرب ميليهما سيساوي سالب واحد. لذا، سنستخدم هذه العلاقة لنرى ما إذا كان الخطان المستقيمان متعامدين أم لا، أي أننا سنضرب ﻡ واحد في ﻡ اثنين.

هكذا، يصبح لدينا سالب خمسة على أربعة، أي سالب خمسة أرباع، مضروبًا في سدس، وهذا يساوي سالب خمسة على ٢٤. وذلك لأننا سنضرب البسطين معًا والمقامين معًا.

حسنًا، سالب خمسة على ٢٤ لا يساوي سالب واحد. إذن، يمكننا القول إن القطعتين المستقيمتين ﺃﺏ وﺟﺩ ليستا متعامدتين بالتأكيد.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.