فيديو السؤال: إيجاد التكامل لدالة تتضمن أسسًا سالبة باستخدام قاعدة القوة للتكامل الرياضيات

أوجد تكامل (−٤ √(ﺱ) − ٥ + (٧‏/‏ﺱ^٢)) ﺩﺱ.

٠٤:٣٠

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد تكامل سالب أربعة جذر ﺱ ناقص خمسة زائد سبعة على ﺱ تربيع ﺩﺱ.

إذن أول ما علينا فعله هنا هو إعادة كتابة التعبير، إذا أردنا إيجاد تكامله. سأعيد كتابته باستخدام بعض قواعد الأسس. أول هذه القواعد هو أنه إذا كان لدينا الجذر التربيعي لـ ﺱ، فإن هذا يساوي ﺱ مرفوعًا للقوة نصف. ويمكننا استخدام ذلك مع الحد الأول. ولدينا أيضًا قاعدة أس أخرى سنستخدمها. تلك القاعدة هي أنه إذا كان لدينا واحد على ﺱ أس ﺃ، فإن هذا يساوي ﺱ أس سالب ﺃ. وسنستخدم ذلك مع الحد الثالث في التعبير.

حسنًا، دعونا الآن نستخدم هاتين القاعدتين، ونعد كتابة التعبير. إذن عندما نفعل ذلك، يمكننا ملاحظة أن التعبير الذي نحاول الآن إيجاد تكامله يساوي سالب أربعة ﺱ أس نصف ناقص خمسة زائد سبعة ﺱ أس سالب اثنين. ولكي نوجد تكامل التعبير الذي لدينا، علينا فقط أن نذكر أنفسنا بكيفية إيجاد تكامل الحدود المنفردة. حسنًا، إذا أردنا إيجاد تكامل ﺱ أس ﻥ ﺩﺱ، فإن هذا يساوي ﺱ أس ﻥ زائد واحد على ﻥ زائد واحد زائد ﺙ. لذا ما علينا فعله في الأساس هو أن نضيف واحدًا إلى الأس ونقسم على الأس الجديد. ثم نضيف ﺙ، وهو ثابت التكامل.

إذن هذا يعني أن الحد الأول سيكون سالب أربعة ﺱ أس ثلاثة على اثنين. وذلك لأنه إذا كان لدينا نصف وأضفنا واحدًا، فسنحصل على واحد ونصف أو ثلاثة على اثنين. وبعد ذلك، يقسم هذا على الأس الجديد؛ أي يقسم على ثلاثة على اثنين. فنحصل على سالب خمسة ﺱ. ونحصل على ذلك لأننا إذا فكرنا في أن خمسة يمثل خمسة ﺱ أس صفر، وأضفنا واحدًا إلى الأس، فسنحصل على خمسة ﺱ. وإذا قسمنا على الأس الجديد، فإننا نقسم على واحد، وهذا لا يغيره. وبذلك، نحصل على زائد سبعة ﺱ أس سالب واحد على سالب واحد. وأخيرًا، نضيف ﺙ؛ لأنه لا يمكننا أن ننسى ثابت التكامل.

لنرتب ذلك. سيكون الحد الأول سالب ثمانية على ثلاثة ﺱ أس ثلاثة على اثنين. إذا نظرنا إلى كيفية حصولنا على ذلك، كان لدينا سالب أربعة مقسومًا على ثلاثة على اثنين. إذا قسمنا على كسر، فإن هذا يماثل الضرب في مقلوب هذا الكسر. إذن هذا يساوي سالب أربعة مضروبًا في اثنين على ثلاثة. سالب أربعة مضروبًا في اثنين يساوي سالب ثمانية. إذن نحصل على سالب ثمانية على ثلاثة. ثم يظل الحد الثاني كما هو. إذن لدينا سالب خمسة ﺱ. وأخيرًا لدينا سالب سبعة ﺱ أس سالب واحد. وحصلنا على ذلك لأن إشارة الحد الأخير تغيرت؛ لأننا نقسم على سالب واحد. ثم لدينا زائد ﺙ في النهاية.

يمكننا أن نترك الإجابة على هذه الصورة. وهذا سيكون مقبولًا تمامًا. لكننا سنكتبها على نفس الصورة التي كان عليها التعبير الأصلي. حسنًا، فيما يتعلق بالحد الأول، ما سنفعله هو استخدام قاعدة الأس التي تناولناها أولًا. وسنحصل على سالب ثمانية جذر ﺱ تكعيب على ثلاثة. إذن يمكننا استخدام قاعدة الأس الأولى لنحصل على جذر ﺱ. لكن بما أن لدينا ﺱ أس ثلاثة على اثنين، فإننا نستخدم بسط هذا الكسر على صورة أس للحد ﺱ داخل الجذر. ثم يظل الحد الثاني كما هو. يصبح لدينا ناقص خمسة ﺱ. وأخيرًا، في الحد الأخير، نستخدم قاعدة الأس الثانية التي تناولناها. إذن سنحصل على سالب سبعة على ﺱ. ثم لدينا زائد ﺙ في النهاية.

إذن يمكننا القول إن تكامل سالب أربعة جذر ﺱ ناقص خمسة زائد سبعة على ﺱ تربيع ﺩﺱ يساوي سالب ثمانية جذر ﺱ تكعيب على ثلاثة ناقص خمسة ﺱ ناقص سبعة على ﺱ زائد ﺙ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.