فيديو السؤال: بحث اتصال دالة متعددة التعريف تتضمن نسبًا مثلثية عند نقطة الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

ابحث اتصال الدالة ﺩ عند ﺱ يساوي ‏𝜋‏‎ على اثنين، إذا كانت الدالة ﺩﺱ تساوي ثمانية زائد جتا سبعة ﺱ لكل ﺱ أقل من ‏𝜋‏‎ على اثنين، والدالة ﺩﺱ تساوي سبعة زائد جا خمسة ﺱ لكل ﺱ أكبر من أو يساوي ‏𝜋‏‎ على اثنين.

يعطينا هذا السؤال دالة متعددة التعريف ﺩﺱ، ويطلب منا أن نحدد إذا ما كانت الدالة متصلة عند قيمة ﺱ تساوي ‏𝜋‏‎ على اثنين. لنبدأ بتذكر ما يعنيه أن تكون الدالة متصلة عند نقطة. نقول إن الدالة ﺩﺱ متصلة عند قيمة ﺱ تساوي ﺃ إذا تحققت الشروط الثلاثة الآتية.

أولًا: يجب أن تكون الدالة ﺩ معرفة عند ﺃ. وهذا يماثل قولنا إن ﺃ يقع في مجال الدالة ﺩ. ثانيًا: يجب أن تكون النهاية موجودة عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ. وتجدر الإشارة إلى أن هذا يماثل قول إن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ من الجهة اليسرى للدالة ﺩﺱ، والنهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ من الجهة اليمنى للدالة ﺩﺱ موجودتان ومتساويتان. وأخيرًا، يجب أن تكون النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ للدالة ﺩﺱ مساوية لقيمة ﺩ عند ﺃ. ما يعنينا فقط هو اتصال ﺩ عند ﺱ يساوي ‏𝜋‏‎ على اثنين؛ لذا سنجعل ﺃ يساوي ‏𝜋‏‎ على اثنين. إذن، هذا صحيح. ‏ﺃ يساوي ‏𝜋‏‎ على اثنين في تعريف الاتصال لدينا.

أول شيء علينا التأكد منه هو أن ﺩ معرفة عند ﺱ يساوي ‏𝜋‏‎ على اثنين. ويمكننا القيام بذلك مباشرة باستخدام تعريف الدالة المتعددة التعريف ﺩﺱ. نلاحظ أنه عند ﺱ يساوي ‏𝜋‏‎ على اثنين، فإن الدالة ﺩﺱ تساوي سبعة زائد جا خمسة ﺱ. إذن، قيمة ﺩ عند ‏𝜋‏‎ على اثنين تساوي سبعة زائد جا خمسة في ‏𝜋‏‎ على اثنين. ويمكننا حساب ذلك باستخدام حقيقة أن دالة الجيب تكون دورية كل فترة مقدارها اثنان ‏𝜋‏‎. وذلك يخبرنا أن جا خمسة ‏𝜋‏‎ على اثنين يساوي جا ‏𝜋‏‎ على اثنين، وهو ما يساوي واحدًا. إذن يخبرنا ذلك بأن قيمة ﺩ عند ‏𝜋‏‎ على اثنين تساوي سبعة زائد واحد، وهو ما يساوي ثمانية. وبذلك نكون أثبتنا أن قيمة ﺩ عند ‏𝜋‏‎ على اثنين معرفة. بعبارة أخرى، ‏𝜋‏‎ على اثنين يقع في مجال الدالة ﺩﺱ.

لننتقل إلى شرط الاتصال الثاني. علينا توضيح أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏‎ على اثنين لـ ﺩﺱ موجودة. وسنفعل ذلك بتوضيح أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏‎ على اثنين من الجهة اليسرى لـ ﺩﺱ تساوي النهاية عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏‎ على اثنين من الجهة اليمنى لـ ﺩﺱ. ونوضح بالطبع وجود هاتين النهايتين. دعونا نبدأ بإيجاد النهاية عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏‎ على اثنين من الجهة اليسرى للدالة ﺩﺱ. بما أن ﺱ يقترب من ‏𝜋‏‎ على اثنين من الجهة اليسرى، فيجب أن تكون قيم ﺱ أقل من ‏𝜋‏‎ على اثنين. ونلاحظ من تعريف الدالة المتعددة التعريف ﺩﺱ أنه عندما تكون قيم ﺱ أقل من ‏𝜋‏‎ على اثنين، فإن الدالة ﺩﺱ تساوي ثمانية زائد جتا سبعة ﺱ.

وإذا كانت هاتان الدالتان متساويتين تمامًا عند قيم ﺱ أقل من ‏𝜋‏‎ على اثنين، فإن نهايتيهما، عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏‎ على اثنين من الجهة اليسرى، ستكونان متساويتين أيضًا. إذن، علينا إيجاد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏‎ على اثنين من الجهة اليسرى لثمانية زائد جتا سبعة ﺱ. ولكن هذا مجرد ثابت زائد دالة مثلثية. يمكننا فعل ذلك باستخدام التعويض المباشر. بالتعويض بـ ﺱ يساوي ‏𝜋‏‎ على اثنين، نحصل على ثمانية زائد جتا سبعة ‏𝜋‏‎ على اثنين. مرة أخرى، تكون دالة جتا دورية كل فترة مقدارها اثنين ‏𝜋‏‎. إذن، جتا سبعة ‏𝜋‏‎ على اثنين يساوي جتا ثلاثة ‏𝜋‏‎ على اثنين، وهو ما يساوي صفرًا. بذلك نكون أوضحنا أن قيمة هذه النهاية تساوي ثمانية زائد صفر، وهو ما يساوي ثمانية. ومن ثم، فإن النهاية عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏‎ على اثنين من الجهة اليسرى للدالة ﺩﺱ تساوي ثمانية.

علينا الآن إثبات أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏‎ على اثنين من الجهة اليمنى لـ ﺩﺱ تساوي ثمانية أيضًا. ويمكننا التحقق من ذلك بالطريقة نفسها. سنأخذ النهاية عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏‎ على اثنين من الجهة اليمنى للدالة ﺩﺱ. هذا يعني أن قيم ﺱ أكبر من ‏𝜋‏‎ على اثنين. ثم نلاحظ من تعريف الدالة المتعددة التعريف ﺩﺱ أنه إذا كانت قيم ﺱ أكبر من ‏𝜋‏‎ على اثنين، فإن الدالة ﺩﺱ تساوي سبعة زائد جا خمسة ﺱ. لذا، فإن النهايتين عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏‎ على اثنين من الجهة اليمنى متساويتان.

نريد الآن إيجاد قيمة نهاية ثابت زائد دالة مثلثية. يمكننا فعل ذلك باستخدام التعويض المباشر. بالتعويض بـ ﺱ يساوي ‏𝜋‏‎ على اثنين، نحصل على سبعة زائد جا خمسة ‏𝜋‏‎ على اثنين. أوجدنا بالفعل قيمة هذا التعبير. تساوي قيمته ﺩ عند ‏𝜋‏‎ على اثنين. وعليه، يمكننا القول إن قيمته تساوي ثمانية. وبذلك نكون أوضحنا أن النهاية عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏‎ على اثنين من الجهة اليمنى للدالة ﺩﺱ تساوي ثمانية أيضًا. وبناء على ذلك، فإن هاتين النهايتين موجودتان ومتساويتان. إذن تحقق شرط الاتصال الثاني أيضًا.

أخيرًا، علينا التحقق من شرط الاتصال الأخير. إن النهاية عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏‎ على اثنين لـ ﺩﺱ يجب أن تساوي قيمة ﺩ عند ‏𝜋‏‎ على اثنين. لقد أوجدنا بالفعل قيمة هذين التعبيرين في الشرطين الأول والثاني من شروط الاتصال. أوجدنا قيمة ﺩ عند ‏𝜋‏‎ على اثنين في الشرط الأول من شروط الاتصال. وأوضحنا أنها تساوي ثمانية.

تجدر الإشارة هنا إلى أننا بتحقيق شرط الاتصال الثاني، أثبتنا أن قيمة النهاية من الجهة اليسرى وقيمة النهاية من الجهة اليمنى لـ ﺩﺱ متساويتان. وأوضحنا حينئذ أن كلًّا منهما يساوي ثمانية. وهذا يكافئ قولنا إن النهاية عندما يقترب ﺱ من ‏𝜋‏‎ على اثنين للدالة ﺩﺱ تساوي ثمانية. بذلك نكون أوضحنا أن هذين التعبيرين يساويان ثمانية. وعليه، فقد تحقق شرط الاتصال الثالث أيضًا.

إذن أوضحنا أن جميع شروط الاتصال الثلاثة تحققت للدالة ﺩﺱ عند ﺱ يساوي ‏𝜋‏‎ على اثنين. ونستنتج من ذلك أن الدالة متصلة عند ﺱ يساوي ‏𝜋‏‎ على اثنين.