فيديو الدرس: مجال الدوال الكسرية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد مجال الدالة الكسرية والمجال المشترك لدالتين كسريتين أو أكثر. نعلم أن مجال الدالة هو مجموعة كل المدخلات الممكنة لتلك الدالة، في حين أن المدى هو كل المخرجات الممكنة بعد التعويض بالمجال.

الدوال الكثيرات الحدود مجالها ببساطة هو مجموعة الأعداد الحقيقية. هذا يعني أنه يمكننا التعويض بأي قيمة حقيقية لـ ﺱ في أي معادلة على الصورة: ﺩﺱ يساوي ﺃ صفر زائد ﺃ واحد ﺱ وصولًا إلى ﺃﻥﺱ أس ﻥ، وستكون القيمة المخرجة معرفة جيدًا. في بعض الأحيان، قد يتطلب الأمر تقييد مجال الدالة. وهذا مهم للغاية عند التعامل مع الدوال الكسرية، وهي دالة تكون على الصورة: ﺩﺱ تساوي ﻉﺱ على ﻕﺱ؛ حيث ﻉ وﻕ دالتان كثيرتا الحدود، وﻕﺱ ليست دالة كثيرة الحدود صفرية.

يعد هذا التقييد المتعلق بالمقام ﻕ مهمًّا، وذلك لأن القسمة على صفر عملية غير معرفة. ولذا، فإننا لا نريد أن نقسم دالة كثيرة الحدود على صفر. وهذا يعطينا لمحة عن كيفية إيجاد مجال دالة كسرية. قد نسترجع أنه عند إيجاد مجال خارج قسمة دالتين، فإننا نوجد تقاطع مجالي هاتين الدالتين. لكننا نستبعد جميع قيم ﺱ التي تجعل قيمة الدالة في المقام تساوي صفرًا.

بما أن مجال الدالة الكثيرة الحدود هو مجموعة الأعداد الحقيقية، والدالة الكسرية هي خارج قسمة دالتين كثيرتي الحدود، فإن مجال الدالة الكسرية هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا قيم ﺱ التي تجعل قيمة المقام تساوي صفرًا. وسنستخدم هذا التعريف خلال بقية هذا الفيديو. إذن، مع وضع ذلك في الاعتبار، دعونا نوجد مجال دالة كسرية تتضمن دوال تربيعية.

عند أي قيمة من قيم ﺱ تكون الدالة ﻥﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص ٢٥ على ﺱ تربيع ناقص ١٢ﺱ زائد ٣٢ غير معرفة؟

دعونا نبدأ بفحص الدالة ﻥﺱ. ‏ﻥﺱ هي خارج قسمة دالتين كثيرتي الحدود. وهذا يعني أنها عبارة عن دالة كثيرة الحدود مقسومة على دالة أخرى كثيرة الحدود. لتحديد قيم ﺱ التي تكون الدالة عندها غير معرفة، سنبدأ بالنظر إلى مجال الدالة الكسرية. ومجال الدالة الكسرية هو بالطبع مجموعة قيم ﺱ التي تكون الدالة معرفة عندها. إذن، إذا نظرنا إلى مجموعة قيم ﺱ التي تكون عندها الدالة معرفة، فسنتمكن سريعًا من تحديد القيم التي تكون الدالة عندها غير معرفة.

مجال الدالة الكسرية هو مجموعة الأعداد الحقيقية، لكن علينا استبعاد أي قيم لـ ﺱ تجعل قيمة مقام هذه الدالة تساوي صفرًا. هذا يعني أن الدالة لدينا ستكون معرفة عند مجموعة الأعداد الحقيقية باستثناء مجموعة الأعداد التي تجعل قيمة المقدار الذي في المقام، ﺱ تربيع ناقص ١٢ﺱ زائد ٣٢، تساوي صفرًا.

لإيجاد قيم ﺱ هذه، فإننا سنساوي المقام بالصفر ونحل المعادلة، وهي: ﺱ تربيع ناقص ١٢ﺱ زائد ٣٢ يساوي صفرًا. بما أن لدينا معادلة تربيعية، فإنه يمكننا محاولة الحل عن طريق تحليل هذا المقدار التربيعي أولًا. نعلم أنه لا بد من أن يكون لدينا ﺱ في بداية كل مقدار؛ لأن ﺱ في ﺱ يعطينا ﺱ تربيع. بعد ذلك، علينا إيجاد عددين حاصل ضربهما ٣٢ ومجموعهما سالب ١٢. حسنًا، سالب أربعة في سالب ثمانية يساوي موجب ٣٢ كما هو مطلوب. وسالب أربعة زائد سالب ثمانية يساوي بالفعل سالب ١٢.

لذا نعيد كتابة المعادلة كما هو موضح. ‏ﺱ ناقص أربعة في ﺱ ناقص ثمانية يساوي صفرًا. إذن، لكي يساوي حاصل ضرب هذين المقدارين صفرًا، فلا بد لأحدهما من أن يساوي صفرًا. وعليه، نحصل على حلول المعادلة لدينا من خلال حلول المعادلتين: ﺱ ناقص أربعة يساوي صفرًا، وﺱ ناقص ثمانية يساوي صفرًا.

نحل المعادلة الأولى بإضافة أربعة إلى الطرفين، فنحصل على: ﺱ يساوي أربعة. ثم نحل المعادلة الثانية بإضافة ثمانية إلى الطرفين، فنحصل على: ﺱ يساوي ثمانية. تذكر أننا إذا فكرنا في مجال ﻥﺱ، فسنجد أنه مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على الأعداد التي تجعل قيمة المقام تساوي صفرًا. إذن، مجال الدالة لدينا هو مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على: أربعة، وثمانية. وهذا يعني بالطبع أن الدالة معرفة عند هذه المجموعة. ومن ثم، لا بد من أن تكون الدالة غير معرفة عند ﺱ يساوي أربعة أو ﺱ يساوي ثمانية. وبذلك، نجد أن الدالة ﻥﺱ غير معرفة على المجموعة التي تحتوي على: أربعة، وثمانية.

سنتناول الآن مثالًا آخر يتضمن إيجاد مجال دالة كسرية، وتكون عبارة عن خارج قسمة دالتين تربيعيتين.

ما مجال الدالة ﺹ يساوي ﺱ تربيع ناقص واحد على ﺱ تربيع زائد واحد؟

تذكر أن مجال الدالة هو مجموعة كل المدخلات الممكنة لهذه الدالة. وإذا فحصنا الدالة ﺹ يساوي ﺱ تربيع ناقص واحد على ﺱ تربيع زائد واحد، فسنجد أنها دالة كسرية. وهو ما يعني أنها خارج قسمة دالتين كثيرتي الحدود. لذا، دعونا نسترجع سويًّا ما نعرفه عن مجال الدوال الكسرية. مجال الدالة الكسرية هو مجموعة الأعداد الحقيقية، لكننا نستبعد جميع قيم ﺱ التي تجعل قيمة مقام الدالة تساوي صفرًا. في هذه الحالة، تكون الدالة غير معرفة عند قيم ﺱ التي تحقق المعادلة: ﺱ تربيع زائد واحد يساوي صفرًا. لكي نحدد قيم ﺱ التي يتحقق عندها هذا، دعونا نحل هذه المعادلة.

يمكننا البدء بطرح واحد من الطرفين، إذن ﺱ تربيع يساوي سالب واحد. بعد ذلك، نأخذ موجب وسالب الجذر التربيعي لسالب واحد. لكن بالطبع، الجذر التربيعي لعدد سالب ليس عددًا حقيقيًّا. وبما أننا قد قلنا إن مجال الدالة الكسرية هو مجموعة الأعداد الحقيقية فقط، فإنه لا توجد قيم لـ ﺱ في هذه الحالة تجعل المقام يساوي صفرًا. يمكننا إذن القول إن مجال الدالة ومجموعة الأعداد التي تكون الدالة معرفة جيدًا عندها هما ببساطة مجموعة الأعداد الحقيقية.

لقد تناولنا بعض الأمثلة؛ حيث نظرنا إلى الدوال الكسرية، وحسبنا النقاط التي لا تكون معرفة عندها، ومن ثم بحثنا مجالاتها. وقد نواجه أيضًا بعض المسائل التي نعطى فيها مجالًا للدالة، وعلينا استخدامه لإيجاد قيم مجهولة. دعونا نتناول مثالًا يناقش هذه الفكرة.

إذا كان مجال الدالة ﻥﺱ تساوي ٣٦ على ﺱ زائد ٢٠ على ﺱ زائد ﺃ هو مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على سالب اثنين، وصفر، فأوجد قيمة ﻥ لثلاثة.

‏ﻥﺱ هي مجموع دالتين كسريتين. كل من ٣٦ على ﺱ و ٢٠ على ﺱ زائد ﺃ هو خارج قسمة دالتين كثيرتي الحدود. ونعرف أيضًا أنه يمكننا إيجاد مجال مجموع دالتين بالنظر إلى تقاطع مجاليهما. دعونا نبدأ إذن بالنظر إلى مجالي ٣٦ على ﺱ و ٢٠ على ﺱ زائد ﺃ مع المجال المعطى، أي مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على سالب اثنين، وصفر. وهذا سيسمح لنا بإيجاد قيمة ﺃ التي ستمكننا بدورها من إيجاد قيمة ﻥ لثلاثة.

دعونا نبدأ بالنظر إلى المقدار ٣٦ على ﺱ. تذكر أن مجال الدالة الكسرية هو مجموعة الأعداد الحقيقية، لكننا نستبعد أي قيم لـ ﺱ تجعل قيمة المقام تساوي صفرًا. وفي هذه الحالة، المقام هو ﺱ ببساطة. إذن، نساوي ﺱ بصفر، ونجد أن ﺱ يساوي صفرًا هي قيمة سنستبعدها من مجال هذه الدالة. مجال ٣٦ على ﺱ هو مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على صفر. سنتناول الآن الدالة الكسرية الثانية. لدينا ٢٠ على ﺱ زائد ﺃ. هذه المرة، سيكون المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا جميع قيم ﺱ التي تجعل قيمة المقام ﺱ زائد ﺃ تساوي صفرًا.

لذا، نجعل ﺱ زائد ﺃ يساوي صفرًا، ونوجد قيمة ﺱ. إذا فعلنا ذلك، فسنجد أن ﺱ يساوي سالب ﺃ. إذن يمكننا القول إن مجال هذه الدالة الثانية هو مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على سالب ﺃ. إذن، مجال ﻥﺱ يساوي تقاطع هذين المجالين. التقاطع هنا هو مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على: سالب ﺃ، وصفر. الآن، إذا قارنا ذلك بالمجال المعطى، فسنجد أن سالب ﺃ لا بد من أن يساوي سالب اثنين. وإذا كان سالب ﺃ يساوي سالب اثنين، فلا بد من أن ﺃ نفسه يساوي اثنين. لذا يمكننا إعادة كتابة ﻥﺱ باستخدام قيمة ﺃ التي لدينا. وتصبح عبارة عن ٣٦ على ﺱ زائد ٢٠ على ﺱ زائد اثنين.

نحن الآن مستعدون لإيجاد قيمة ﻥ لثلاثة، ويمكننا فعل ذلك بالتعويض بثلاثة في هذه الدالة. بفعل ذلك، نحصل على: ٣٦ على ثلاثة زائد ٢٠ على ثلاثة زائد اثنين. وهذا يساوي ١٢ زائد أربعة، وهو ما يساوي ١٦. إذن، بمعلومية المعطيات عن مجال الدالة، لا بد من أن ﻥ لثلاثة تساوي ١٦.

في هذا المثال، لاحظنا أنه عند جمع دالتين، كان علينا أخذ مجالهما في الاعتبار. والآن، يمكن تطبيق عملية مشابهة إذا أردنا إيجاد المجال المشترك لدالتين أو أكثر. على وجه التحديد، يمكننا التعامل مع أي عدد من الدوال، ويكون المجال المشترك ببساطة هو تقاطع مجال هذه الدوال. لذا كل ما علينا فعله هو إيجاد مجال كل دالة على حدة، وتحديد المناطق التي تتقاطع فيها هذه المجالات. ثم يمكننا كتابة ذلك باستخدام ترميز المجموعة. دعونا نتناول مثالًا يغطي هذا المفهوم.

أوجد المجال المشترك بين الدوال ﺩ واحد ﺱ تساوي سالب تسعة على ﺱ زائد تسعة، وﺩ اثنين ﺱ تساوي ثمانية على ﺱ زائد ثلاثة، وﺩ ثلاثة ﺱ تساوي سبعة ﺱ على ﺱ تكعيب ناقص أربعة ﺱ.

تذكر أنه مهما كان عدد الدوال المعطاة، فإن المجال المشترك هو تقاطع مجالاتها. في هذه الحالة إذن، علينا إيجاد مجال كل من ﺩ واحد ﺱ، وﺩ اثنين ﺱ، وﺩ ثلاثة ﺱ. بعد ذلك، يمكننا إيجاد تقاطعها. ثم نسترجع سويًّا كيفية إيجاد مجال دالة كسرية. مجال الدالة الكسرية هو مجموعة الأعداد الحقيقية، لكننا نستبعد جميع قيم ﺱ التي تجعل قيمة المقام تساوي صفرًا. لذا، دعونا ننظر إلى الدالة ﺩ واحد ﺱ. سيكون مجالها هو مجموعة الأعداد الحقيقية، لكن علينا استبعاد قيم ﺱ التي تجعل قيمة ﺱ زائد تسعة تساوي صفرًا. لإيجاد قيمة ﺱ، سنطرح تسعة من الطرفين، ونجد أن قيمة ﺱ التي تحقق هذه المعادلة هي سالب تسعة. إذن، مجال ﺩ واحد ﺱ يساوي مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على سالب تسعة.

دعونا نتناول الآن ﺩ اثنين ﺱ. هذه المرة، علينا استبعاد قيم ﺱ التي تجعل قيمة ﺱ زائد ثلاثة، وهو مقام ﺩ اثنين ﺱ، تساوي صفرًا. إذن، قيمة ﺱ التي تحقق هذه المعادلة هي ﺱ يساوي سالب ثلاثة. ولذلك، فإن مجال هذه الدالة هو مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على سالب ثلاثة. وأخيرًا، سننتقل إلى ﺩ ثلاثة ﺱ. المقام هنا هو ﺱ تكعيب ناقص أربعة ﺱ. إذن، نحن نعلم أن علينا استبعاد أي قيم لـ ﺱ تجعل قيمة ذلك تساوي صفرًا. وبذلك نحصل على المعادلة: ﺱ تكعيب ناقص أربعة ﺱ يساوي صفرًا. لكن كيف يمكننا حلها؟

حسنًا، ربما نحلل أولًا المقدار الذي في الطرف الأيمن. الخطوة الأولى للقيام بذلك هي إخراج العامل المشترك ﺱ. بعد ذلك، يمكننا تحليل المقدار: ﺱ تربيع ناقص أربعة باستخدام الفرق بين مربعين. إذن، يمكن كتابة ﺱ تكعيب ناقص أربعة ﺱ على الصورة: ﺱ في ﺱ زائد اثنين في ﺱ ناقص اثنين.

الحل الأول لهذه المعادلة يكون عند ﺱ يساوي صفرًا، وهو ﺱ يساوي صفرًا. يمكننا إيجاد الحل الثاني بجعل ﺱ زائد اثنين يساوي صفرًا. وعند حل هذه المعادلة، نحصل على ﺱ يساوي سالب اثنين. وأخيرًا، نحل المعادلة: ﺱ ناقص اثنين يساوي صفرًا، لنحصل على ﺱ يساوي اثنين. وأخيرًا، لقد وجدنا أن مجال ﺩ ثلاثة ﺱ هو مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على قيم ﺱ هذه. المجال المشترك إذن هو تقاطع هذه المجالات الثلاثة. إذن ستكون لدينا مجموعة الأعداد الحقيقية ونستبعد منها قيم ﺱ الآتية: سالب تسعة، وسالب ثلاثة، وسالب اثنين، وصفرًا، واثنين. ومن ثم، فإن المجال المشترك بين الدوال الثلاث لدينا هو مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على: سالب تسعة، وسالب ثلاثة، وسالب اثنين، وصفر، واثنين.

سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. في هذا الفيديو، تعلمنا أن الدالة الكسرية تكون على الصورة: ﻉﺱ على ﻕﺱ. هاتان الدالتان، ﻉﺱ وﻕﺱ، كل منهما عبارة عن دالة كثيرة الحدود، وﻕﺱ ليست دالة كثيرة الحدود صفرية. باستخدام هذا التعريف، يمكننا تحديد مجال دالة كسرية. وهو مجموعة الأعداد الحقيقية، لكننا نستبعد جميع قيم ﺱ التي تجعل قيمة المقام، ﻕﺱ، تساوي صفرًا. وأخيرًا، تعلمنا أنه يمكننا التعامل مع أي عدد من الدوال، ويكون مجالها المشترك هو تقاطع مجالاتها.