نسخة الفيديو النصية
تتبع الأشعة الضوئية المسارات الموضحة في الشكل. أوجد الفرق بين الزاويتين 𝜃 واحد و𝜃 اثنين. قرب إجابتك لأقرب درجة.
يمكننا ملاحظة هاتين الزاويتين، 𝜃 واحد و𝜃 اثنين، اللتين تمثلان الزاويتين المحصورتين بين شعاعين ضوئيين. أحد الشعاعين ممثل هنا بخط منقط، بينما الشعاع الآخر ممثل بخط متصل، ثم لدينا هذان الخطان المتقطعان العموديان على السطح. المطلوب منا في السؤال هو إيجاد الفرق بين قياسي هاتين الزاويتين. نلاحظ أن هاتين الزاويتين تصفان الشعاعين اللذين يتحركان لأعلى عبر المادة التي تسمى المادة الأولى، ثم يلتقيان عند السطح الفاصل بين المادة الأولى والمادة الثانية عند النقطة نفسها.
ومن هذه النقطة، يتحرك الخط الأسود المتصل الذي يمثل الشعاع المرتبط بالزاوية 𝜃 اثنين أفقيًّا على امتداد السطح الفاصل بين المادة الأولى والمادة الثانية. لكن الخط الأسود المنقط الذي يمثل الشعاع المرتبط بالزاوية 𝜃 واحد ينكسر أو ينحرف عندما ينتقل إلى المادة الثانية. وعندما يصل إلى السطح الفاصل بين المادة الثانية والمادة الثالثة، ينكسر هنا بزاوية 90 درجة، ويتحرك على امتداد السطح الفاصل بين هاتين المادتين.
نلاحظ أن لدينا معامل الانكسار لكل من هذه المواد الثلاث. كما نلاحظ أن هذه القيم كلها مختلفة بعضها عن بعض. وهذا ما يفسر سبب انكسار الشعاعين الضوئيين عندما يصلان إلى السطحين الفاصلين بين هذه المواد. وهذا الانكسار يحدث بالطريقة التي يصفها قانون سنل. ينص هذا القانون على أنه إذا كان لدينا سطح فاصل بين مادتين لهما معامل انكسار مختلف، فإنه إذا سقط شعاع ضوئي على السطح الفاصل بزاوية سقوط 𝜃𝑖، فسينكسر بزاوية 𝜃𝑟 بما يتفق مع هذه المعادلة: معامل انكسار المادة التي ينطلق الشعاع من خلالها في الأصل مضروبًا في جيب زاوية السقوط 𝜃𝑖 يساوي معامل انكسار المادة التي ينتقل إليها الشعاع مضروبًا في جيب زاوية الانكسار 𝜃𝑟.
نلاحظ أن هاتين الزاويتين 𝜃𝑖 و𝜃𝑟 مقيستان بالنسبة إلى خط عمودي على السطح الفاصل. بتطبيق قانون سنل في هذه المسألة، يمكننا إيجاد الفرق بين قياسي الزاويتين 𝜃 واحد و𝜃 اثنين. لنبدأ بالنظر إلى الزاوية 𝜃 اثنين هنا. لقد رأينا أن هذه الزاوية مرتبطة بالشعاع الأسود المتصل. إذا انتقلنا إلى النقطة التي يلتقي عندها هذا الشعاع الضوئي مع المادة الثانية ورسمنا هذا العمود المقام باللون الوردي، يمكننا القول إن هذه الزاوية المحصورة بين هذا العمود المقام والشعاع، والزاوية المحصورة هنا، أي 𝜃 اثنين، زاويتان متبادلتان داخليًّا. بعبارة أخرى، هذه الزاوية باللون الوردي هي 𝜃 اثنان. ونظرًا لأنها معرفة بالنسبة إلى خط عمودي على السطح الفاصل بين المادتين، نلاحظ أنها تمثل أيضًا زاوية سقوط الشعاع الأسود المتصل عندما يصل إلى السطح الفاصل بين المادتين الأولى والثانية.
إذن، بتطبيق قانون سنل على تفاعل الشعاع الأسود المتصل عند هذا السطح الفاصل، يمكننا القول إن 𝜃𝑖 يساوي 𝜃 اثنين. كما يمكننا أيضًا القول إن 𝑛𝑖، أي معامل انكسار المادة التي ينطلق منها الشعاع في الأصل، يساوي 1.50. إذن، لدينا 1.50 مضروبًا في sin 𝜃 اثنين يساوي معامل انكسار المادة الثانية، أي 1.33، في جيب زاوية انكسار هذا الشعاع. كما رأينا، عندما ينكسر هذا الشعاع الضوئي، فإنه يتحرك على امتداد السطح الفاصل بين هاتين المادتين. بعبارة أخرى، بالنسبة إلى العمود المقام على هذا السطح الفاصل، تساوي زاوية انكسار الشعاع الضوئي عنده 90 درجة. لكن إذا فكرنا في جيب الزاوية 90 درجة، فسنجد أنه يساوي واحدًا بالضبط. ومن ثم، يمكننا استبعاد هذا الجزء من المقدار.
إذن، بقسمة كلا طرفي المعادلة على 1.50، وهو ما يؤدي إلى حذف هذا العامل من الطرف الأيسر، نجد أن sin 𝜃 اثنين يساوي 1.33 مقسومًا على 1.50. وإذا أخذنا الدالة العكسية للجيب لكلا طرفي المعادلة، فسنجد أن الدالة العكسية لـ sin 𝜃 اثنين تساوي 𝜃 اثنين. والآن بعد أن أصبح لدينا مقدار يعبر عن 𝜃 اثنين، دعونا نحتفظ به جانبًا ونوجد مقدارًا مشابهًا يعبر عن 𝜃 واحد.
كما هو الحال بالنسبة إلى الشعاع الأول، إذا نظرنا إلى الشعاع الثاني، أي المشار إليه بالخط الأسود المنقط، عندما يصل إلى السطح الفاصل بين المادة الأولى والمادة الثانية، نجد أن زاوية سقوط هذا الشعاع المشار إليها هنا، والزاوية 𝜃 واحد، زاويتان متبادلتان داخليًّا. ومن ثم، فإن زاوية سقوطه عند هذا السطح الفاصل هي 𝜃 واحد. إذا نظرنا عن قرب إلى الشعاع الأسود المنقط عندما يصل إلى هذا السطح الفاصل، فسنلاحظ أننا نعرف زاوية السقوط 𝜃 واحد، ومعامل انكسار المادة التي ينطلق منها الشعاع في الأصل، أي 1.50، ومعامل انكسار المادة التي ينكسر خلالها الشعاع أيضًا، أي 1.33، لكننا لا نعرف هذه الزاوية هنا، أي زاوية الانكسار. في هذه المرحلة، سنسمي هذه الزاوية 𝜃𝑟.
إذن، هذا يقودنا إلى معادلة غير مكتملة لقانون سنل. نحن نريد إيجاد قيمة 𝜃 واحد. لكن لا يمكننا فعل ذلك دون معرفة قياس الزاوية 𝜃𝑟. بتتبع مسار هذا الشعاع الأسود المنقط، دعونا نفكر فيما يحدث عندما يصل إلى هذا السطح الفاصل بين المادتين الثانية والثالثة. مرة أخرى، بالنظر إلى الصورة المكبرة لهذا التفاعل، نعلم أن الشعاع يسقط بزاوية سقوط معينة ثم ينكسر بزاوية 90 درجة؛ حيث يتحرك الشعاع على امتداد السطح الفاصل. في هذا التفاعل، معامل انكسار المادة التي ينطلق منها الشعاع في الأصل هو 1.33.
إذا نظرنا بعد ذلك إلى زاوية سقوط هذا الشعاع، فسنلاحظ أننا إذا اتبعنا مسار الشعاع الموجود على الشكل الأصلي، فستكون زاوية السقوط هذه هي نفسها زاوية الانكسار عندما ينتقل الشعاع من المادة الأولى إلى المادة الثانية، وهذا يعني أن زاوية السقوط ستكون الزاوية المسماة 𝜃𝑟، وهي زاوية الانكسار التي رأيناها في التفاعل السابق. 1.33 مضروبًا في sin 𝜃𝑟 يساوي معامل انكسار المادة الذي ينكسر به الشعاع، أي 1.00، مضروبًا في جيب زاوية الانكسار، والتي قياسها 90 درجة. وكما رأينا سابقًا، sin 90 درجة يساوي واحدًا.
إذن، تبسط المعادلة إلى هذا المقدار. وتذكر أن هذا المقدار ينطبق على تفاعل الشعاع الضوئي بين المادتين الثانية والثالثة. إذا قسمنا كلا طرفي هذه المعادلة على 1.33، وحذفنا هذا العامل من الطرف الأيسر، فسنحصل على مقدار يعبر عن جيب زاوية الانكسار 𝜃𝑟. ونلاحظ هنا أنه يمكننا التعويض بالكسر 1.00 مقسومًا على 1.33 عن sin 𝜃𝑟 في المعادلة السابقة. وعندما نفعل ذلك، نلاحظ أن لدينا 1.33 في بسط الطرف الأيمن من هذا المقدار ومقامه، ومن ثم يلغي أحدهما الآخر. عندما نقسم طرفي هذه المعادلة المبسطة على 1.50، ونحذف هذا العامل من الطرف الأيسر، ثم باستخدام المقدار الناتج بعد ذلك، نأخذ الدالة العكسية للجيب لكلا الطرفين، فإن الطرف الأيسر من هذه المعادلة يبسط إلى 𝜃 واحد. ونجد أن 𝜃 واحد يساوي الدالة العكسية لـ sin 1.00 مقسومًا على 1.50.
الآن بعد أن أصبح لدينا مقداران يعبران عن قياسي 𝜃 واحد و𝜃 اثنين، يمكننا البدء في إيجاد الفرق بينهما. بإفراغ بعض المساحة أسفل الشاشة، يمكننا كتابة أن قياس 𝜃 اثنين، أي الزاوية الأكبر، ناقص قياس 𝜃 واحد يساوي الدالة العكسية لـ sin 1.33 مقسومًا على 1.50 ناقص الدالة العكسية لـ sin 1.00 مقسومًا على 1.50. بحساب هذا المقدار لأقرب درجة، نحصل على 21 درجة. وعليه، يكون هذا هو الفرق بالدرجات بين قياس الزاويتين 𝜃 واحد و𝜃 اثنين.
