فيديو الدرس: العلاقات بين الزوايا الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو سوف نتعلم كيف نتعرف على الأنواع المختلفة من الزوايا، وكيف نستخدم العلاقات بين قياساتها لحل المسائل. يوجد العديد من الطرق المختلفة التي يمكننا بها وصف الزوايا. على سبيل المثال يمكننا وصف أي زاوية حسب قياسها بأنها حادة أو منفرجة أو منعكسة. يمكننا أيضًا وصف قياس أي زاوية باستخدام عدد، وليكن ٦٠ درجة. لكن توجد طرق أخرى غير هاتين الطريقتين لوصف الزوايا. يمكننا وصف العلاقات المختلفة بين الزوايا. لذا دعونا نبدأ بتناول الزوايا الموضحة.

نلاحظ من الشكل أن قياس الزاوية ﺃﺏﺩ يساوي قياس الزاوية ﺃﺏﺟ زائد قياس الزاوية ﺟﺏﺩ. تعرف الزاويتان ﺃﺏﺟ وﺟﺏﺩ بالزاويتين المتجاورتين، ويمكننا تعريفهما منهجيًّا على النحو الآتي. تكون أي زاويتين متجاورتين إذا كان لهما نفس الرأس، وكان لهما ضلع مشترك، وكان ضلعاهما المختلفان على جانبين متقابلين من الضلع المشترك. في الشكل الموضح لدينا نلاحظ أن للزاويتين المحددتين نفس الرأس؛ أي ﺏ. كذلك يوجد ضلع مشترك بينهما؛ وهو ﺏﺟ. وضلعاهما المختلفان ﺏﺩ وﺏﺃ يقعان على جانبين متقابلين من الضلع المشترك. ومن ثم يمكننا استنتاج أن الزاوية ﺃﺏﺟ والزاوية ﺟﺏﺩ زاويتان متجاورتان. سنتناول الآن مثالًا علينا فيه تحديد الزوايا المتجاورة في شكل ما، ثم جمع قياساتها لإيجاد قياس الزاوية المركبة.

أوجد مجموع قياسي الزاويتين المتجاورتين من الزوايا المعطاة في الشكل.

سنبدأ باسترجاع تعريف الزوايا المتجاورة. تكون أي زاويتين متجاورتين إذا كان لهما نفس الرأس، وكان لهما ضلع مشترك، وضلعاهما المختلفان يقعان على جانبين متقابلين من الضلع المشترك. نلاحظ من الشكل أن لدينا ثلاث زوايا قياساتها ٢٢ درجة و٦٤ درجة و٨٨ درجة. الزوايا الثلاث كلها لها رأس مشترك. لكن الزاويتين اللتين قياساهما ٦٤ درجة و٨٨ درجة هما فقط اللتان لهما ضلع مشترك. الضلعان المختلفان لهاتين الزاويتين يقعان على جانبين متقابلين من ضلعهما المشترك. لذا يمكننا استنتاج أن الزاويتين اللتين قياساهما ٦٤ درجة و٨٨ درجة زاويتان متجاورتان. مطلوب منا حساب مجموع هاتين القيمتين. بما أن ٦٤ زائد ٨٨ يساوي ١٥٢، فإن مجموع قياسي الزاويتين المتجاورتين في الشكل يساوي ١٥٢ درجة.

جدير بالذكر أن جمع قياسي الزاويتين المتجاورتين يكافئ إيجاد قياس الزاوية المركبة؛ أي الزاوية المحصورة بين الضلعين المختلفين للزاويتين المتجاورتين.

قبل أن ننتقل إلى المثال التالي سنتناول علاقتين أخريين من العلاقات بين قياسات الزوايا. تعرف هاتان العلاقتان بالزوايا المتتامة والزوايا المتكاملة. تكون أي زاويتين متتامتين إذا كان مجموع قياسيهما يساوي ٩٠ درجة. بعبارة أخرى: الزاويتان تكونان معًا زاوية قائمة، كما هو موضح. وبالمثل تكون أي زاويتين متكاملتين إذا كان مجموع قياسيهما يساوي ١٨٠ درجة. وفي هذه الحالة تكون الزاويتان خطًّا مستقيمًا. سنتناول الآن مثالًا علينا فيه استخدام خواص الزوايا المتتامة والمتكاملة.

أوجد قيمتي ﺱ وﺹ.

سنبدأ بملاحظة أن الزاويتين اللتين قياساهما ٦٢ درجة وﺱ درجة تكونان معًا زاوية قائمة. هذا يعني أنهما زاويتان متتامتان؛ حيث إن مجموع قياسي الزاويتين المتتامتين يساوي ٩٠ درجة. يمكننا كتابة ذلك في صورة معادلة. ‏ﺱ درجة زائد ٦٢ درجة يساوي ٩٠ درجة. وبما أن الزوايا كلها لها نفس الوحدة، فإن ﺱ زائد ٦٢ يساوي ٩٠. يمكننا بعد ذلك طرح ٦٢ من طرفي المعادلة. هذا يعني أن ﺱ يساوي ٢٨.

لإيجاد قيمة ﺹ، علينا ملاحظة أن الزوايا الأربع متجاورة، وتقع جميعها على خط مستقيم. تكون الزاوية التي قياسها ﺹ درجة مع الزاوية التي قياسها يساوي مجموع القياسات ﺱ درجة و٦٢ درجة و٣٧ درجة؛ زاوية مستقيمة. هذا يعني أن هذه الزوايا متكاملة؛ لأن مجموع قياسات الزوايا المتكاملة يساوي ١٨٠ درجة. لدينا المعادلة: ﺹ درجة زائد ﺱ درجة زائد ٦٢ درجة زائد ٣٧ درجة يساوي ١٨٠ درجة. وبما أن ﺱ يساوي ٢٨، فإن المقدار يبسط كما هو موضح. بجمع ٢٨ و٦٢ و٣٧؛ نحصل على ١٢٧. ومن ثم تصبح المعادلة لدينا: ﺹ زائد ١٢٧ يساوي ١٨٠. يمكننا بعد ذلك طرح ١٢٧ من كلا الطرفين، لنجد بذلك أن ﺹ يساوي ٥٣. إذن قيمتا ﺱ وﺹ تساويان ٢٨ و٥٣، على الترتيب.

سنتناول الآن علاقتين أخريين من العلاقات بين قياسات الزوايا. سنتناول أولًا الزوايا حول نقطة. يوضح الشكل المرسوم زاويتين مستقيمتين متجاورتين. وبما أن قياس أي زاوية مستقيمة يساوي ١٨٠ درجة، فلا بد أن يكون مجموع قياسات الزوايا حول نقطة ٣٦٠ درجة. من المهم ملاحظة أن هذا ينطبق على أي مجموعة من الزوايا حول نقطة حتى وإن لم تكن هذه الزوايا تتضمن زوايا مستقيمة. الزاويتان اللتان تقعان على الجانبين المقابلين لنقطة تقاطع خطين مستقيمين تعرفان بالزاويتين المتقابلتين بالرأس. والزاويتان المتقابلتان بالرأس تكونان متساويتين في القياس. في الشكل المرسوم؛ قياس الزاوية ﺃ يساوي قياس الزاوية ﺟ. وقياس الزاوية ﺏ يساوي قياس الزاوية ﺩ.

تجدر الإشارة أيضًا إلى أن الزاويتين ﺃ وﺏ زاويتان متكاملتان. وذلك لأن مجموعهما يساوي ١٨٠ درجة. ينطبق الأمر نفسه على الزاويتين ﺃ وﺩ، والزاويتين ﺟ وﺩ، والزاويتين ﺟ وﺏ. نلاحظ كذلك أن مجموع قياسات الزوايا الأربع ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ يساوي ٣٦٠ درجة. حسنًا سنتناول الآن مثالًا علينا فيه استخدام هذه الخواص.

ما قياس الزاوية ﻥﻡﻝ في الشكل التالي؟

في هذا السؤال علينا حساب قياس الزاوية ﻥﻡﻝ الموضحة في الشكل. لفعل ذلك دعونا نسترجع عددًا من خواص الزوايا والعلاقات بين قياساتها. نلاحظ في البداية أن ﺱﺹ خط مستقيم، ونعلم أن مجموع قياسات الزوايا المتجاورة الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة. هذا يعني أن قياس الزاوية ﺱﻡﻉ زائد قياس الزاوية ﺹﻡﻉ يجب أن يساوي ١٨٠ درجة. بالنظر إلى الشكل نلاحظ أن قياس الزاوية ﺹﻡﻉ يساوي ١٤٦ درجة. وبطرح ذلك من طرفي المعادلة نجد أن قياس الزاوية ﺱﻡﻉ يساوي ٣٤ درجة.

حسنًا، نعلم أن الزاويتين المتقابلتين بالرأس متساويتان في القياس. هذا يعني أن قياس الزاوية ﻝﻡﺹ لا بد أن يساوي قياس الزاوية ﺱﻡﻉ. ونعلم بالفعل أن هذا يساوي ٣٤ درجة. أصبح لدينا الآن قياسات أربع زوايا من أصل خمس زوايا في الشكل. سنستخدم الآن خاصية أخيرة. مجموع قياسات الزوايا حول نقطة يساوي ٣٦٠ درجة. ومجموع قياسات الزوايا الأربع المعلومة لدينا يساوي ٣٠٤ درجات. هذا يعني أن قياس الزاوية ﻥﻡﻝ زائد ٣٠٤ درجات يساوي ٣٦٠ درجة. إذن بطرح ٣٠٤ درجات من كلا الطرفين، نجد أن قياس الزاوية ﻥﻡﻝ يساوي ٥٦ درجة. وهذه هي الإجابة النهائية على هذا السؤال.

سنتناول الآن علاقة أخيرة بين قياسات الزوايا. الشعاع الذي يقسم أي زاوية إلى زاويتين متساويتين في القياس يسمى «منصف الزاوية». إذا فكرنا في الزاوية ﺃﺏﺟ الموضحة لدينا، فسنجد أن الخط المستقيم ﺩﺏ يعرف بمنصف الزاوية إذا كان قياس الزاوية ﺃﺏﺩ يساوي قياس الزاوية ﺟﺏﺩ. سنتناول الآن مثالًا أخيرًا نستخدم فيه هذه الخاصية.

في الشكل التالي، أوجد قياس الزاوية ﺩﻭﻫ.

سنبدأ باسترجاع أن مجموع قياسات الزوايا حول نقطة يساوي ٣٦٠ درجة. ومن المهم أيضًا ملاحظة أنه لا يمكننا افتراض أن الخط من النقطة ﺟ إلى النقطة ﻫ خط مستقيم. لذا لا يمكننا استخدام خاصية الزاويتين المتكاملتين. سنستخدم هنا الخاصية التي تنص على أن مجموع قياسات الزوايا الخمس في الشكل يساوي ٣٦٠ درجة. يمكننا كتابة ذلك في صورة معادلة كما هو موضح. قياس الزاوية ﺩﻭﻫ زائد قياس الزاوية ﺃﻭﻫ زائد ١١٩ درجة زائد ٧٦ درجة زائد ٤١ درجة يساوي ٣٦٠ درجة. سنجمع قياسات الزوايا الثلاث المعلومة لدينا لنحصل بذلك على ٢٣٦ درجة؛ ومن ثم يمكننا تبسيط المعادلة. بعد ذلك نطرح ٢٣٦ درجة من طرفي المعادلة؛ بحيث يكون قياس الزاوية ﺩﻭﻫ زائد قياس الزاوية ﺃﻭﻫ يساوي ١٢٤ درجة.

قد يكون ما يجب فعله غير واضح بالنسبة إلينا في هذه المرحلة. لكن دعونا نفكر فيما تبدو عليه الزاويتان المجهولتان في الشكل. يخبرنا هذا الترميز بأن هاتين الزاويتين متساويتان في القياس. المستقيم ﻭﻫ هو منصف الزاوية؛ حيث إن قياس الزاوية ﺩﻭﻫ يساوي قياس الزاوية ﺃﻭﻫ. وبما أن الزاويتين متساويتان في القياس، يمكننا إعادة كتابة المعادلة لتكون على الصورة: اثنان مضروبًا في قياس الزاوية ﺩﻭﻫ يساوي ١٢٤ درجة. بقسمة كلا الطرفين على اثنين، نجد أن قياس الزاوية ﺩﻭﻫ يساوي ٦٢ درجة. وبما أن هذا يعني أيضًا أن قياس الزاوية ﺃﻭﻫ يساوي ٦٢ درجة، يمكننا كتابة قياسي هاتين الزاويتين على الشكل ثم التأكد من أن مجموع قياسات الزوايا الخمس يساوي ٣٦٠ درجة.

سنختتم الآن هذا الفيديو بتلخيص النقاط الرئيسية التي تناولناها. عرفنا في بداية هذا الفيديو أن أي زاويتين تكونان متجاورتين إذا كان لهما نفس الرأس، وكان لهما ضلع مشترك، وكان ضلعاهما المختلفان على جانبين متقابلين من الضلع المشترك. نجمع قياسات الزوايا المتجاورة لإيجاد قياس الزاوية المركبة. مجموع قياسات الزوايا المتتامة يساوي ٩٠ درجة. ومجموع قياسات الزوايا المتكاملة يساوي ١٨٠ درجة. ومجموع قياسات الزوايا حول أي نقطة، أو التي تكون دورة كاملة، يساوي ٣٦٠ درجة. عرفنا أن الزاويتين اللتين تقعان على جانبين مقابلين لنقطة تقاطع خطين مستقيمين تعرفان بالزاويتين المتقابلتين بالرأس، وأن الزاويتين المتقابلتين بالرأس متساويتان في القياس. وأخيرًا عرفنا أن الشعاع الذي يقسم أي زاوية إلى زاويتين متساويتين في القياس يسمى منصف الزاوية.