فيديو الدرس: عد النواتج في وجود شروط الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نعد النواتج الممكنة عندما يكون لدينا شروط.

١٥:٥٢

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نعد النواتج الممكنة عند وجود بعض الشروط. وللقيام بذلك، نبدأ بتذكر مبدأ العد الأساسي، الذي يعرف أحيانًا باسم «قاعدة حاصل الضرب للعد». وينص على أنه إذا كان ﺃ وﺏ، وهما حدثان مستقلان، لهما ﻡ وﻥ، على الترتيب، من النواتج الممكنة، فإن إجمالي عدد النواتج الممكنة للحدثين معًا يساوي حاصل ضرب نواتجهما. أي ﻡ في ﻥ.

على سبيل المثال، كم طريقة يمكن بها تكوين رمز سري من ثلاثة أرقام باستخدام الأعداد من صفر إلى تسعة؟

لدينا ١٠ أعداد ممكنة وبإمكاننا استخدامها لكل رقم. هذا يعني أن لدينا ١٠ طرق لاختيار الرقم الأول و١٠ طرق لاختيار الرقم الثاني و١٠ طرق لاختيار الرقم الثالث. ينص مبدأ العد الأساسي على أن إجمالي عدد النواتج الممكنة يساوي حاصل ضرب النواتج معًا. أي ١٠ في ١٠ في ١٠، أو بالطبع ١٠ تكعيب، وهو ما يساوي ١٠٠٠. حسنًا، يمكننا تعميم ذلك. ويمكننا القول إنه عند العد مع الإحلال، أي السماح بالتكرار، فإن إجمالي عدد النواتج لعدد ﺭ من الأحداث المتكررة بالاختيار من ﻥ من العناصر، يساوي ﻥ أس ﺭ.

ولكن لاحظ أن ذلك يقتصر على الأحداث المستقلة تحديدًا؛ أي تلك الأحداث التي لا يؤثر فيها ناتج الحدث الأول على ناتج الحدث الثاني. بعبارة أخرى، عندما اخترنا الرقم الأول في هذه الحالة، لم يؤثر ذلك على العدد الذي يمكننا اختياره للرقم الثاني. وإذا لم تكن هذه هي الحالة لدينا؛ أي عند وجود شروط خاصة بعدم استخدام هذا العدد مرتين على سبيل المثال، فسيظل بإمكاننا استخدام مبدأ العد الأساسي. لكن علينا الحرص بعض الشيء. دعونا نر كيف سيبدو ذلك.

كم طريقة يمكن بها تكوين عدد من أربعة أرقام، دون تكرار أي رقم، باستخدام عناصر المجموعة صفر وواحد وثلاثة وأربعة؟

حسنًا، علينا تكوين أعداد بكل منها أربعة أرقام وغير مسموح لنا بتكرار هذه الأرقام. نحن نعلم أنه يمكننا عد إجمالي النواتج الممكنة باستخدام مبدأ العد الأساسي أو قاعدة حاصل الضرب للعد. حيث تنص هذه القاعدة على أنه عندما يكون لدينا أكثر من حدث واحد، فإننا نوجد إجمالي عدد النواتج بضرب عدد نواتج كل حدث معًا. لذا، علينا تحديد المقصود بكل حدث بالفعل. الحدث الأول هو اختيار الرقم الأول، والحدث الثاني هو اختيار الرقم الثاني، وهكذا. لدينا أربعة عناصر في هذه المجموعة، لكن هذا لا يعني وجود أربع طرق لاختيار الرقم الأول. في الواقع، لكي يكون العدد مكونًا من أربعة أرقام، لا يمكن أن يكون رقمه الأول صفرًا. إذ يمكن أن يكون واحدًا أو ثلاثة أو أربعة فقط. وبذلك، يكون لدينا بالفعل ثلاث طرق فقط لاختيار الرقم الأول.

ثم سنفكر في الرقم الثاني. لقد اخترنا بالفعل عددًا من القائمة التي تحتوي على واحد وثلاثة وأربعة. ونحن نعلم أنه لا يمكننا تكرار أي من هذه الأرقام. وبالتالي، إذا أخذنا عددًا واحدًا من المجموعة، فسيتبقى لدينا ثلاثة فقط. إذن، هناك ثلاث طرق لاختيار الرقم الثاني. والآن سننتقل إلى الرقم الثالث، ودعونا نقل إننا اخترنا بالفعل عددين ممكنين من المجموعة ليتبقى لدينا عددان. وبالمثل، عندما نصل إلى الرقم الرابع، نكون قد أخذنا ثلاثة أعداد بالفعل، وبالتالي لا يتبقى لدينا إلا عدد واحد فقط لاختياره. ينص مبدأ العد على أن إجمالي عدد النواتج، وهو هنا إجمالي الأعداد المكونة من أربعة أرقام، يساوي حاصل ضرب هذه القيم. أي ثلاثة في ثلاثة في اثنين في واحد، وهو ما يساوي ١٨. يمكننا تكوين ١٨ عددًا، بكل عدد أربعة أرقام، بشرط عدم تكرار أي رقم وباستخدام عناصر المجموعة لدينا.

هيا نتناول مثالًا مشابهًا لكي نرى إذا ما كان بإمكاننا تعميم ذلك بطريقة ما.

يجب أن تكون كلمة المرور الخاصة برامي مكونة من خمسة أرقام. يمكنه استخدام الأرقام من صفر إلى تسعة، ولا يمكنه استخدام الرقم نفسه أكثر من مرة. ما عدد كلمات المرور المختلفة التي يستطيع رامي إنشاءها؟

إننا نريد إيجاد إجمالي عدد كلمات المرور المكونة من خمسة أرقام، مع الوضع في الاعتبار أنه لا يمكننا استخدام الرقم نفسه أكثر من مرة. هنا، يمكننا تذكر مبدأ العد الأساسي أو قاعدة حاصل الضرب للعد. حيث ينص على أنه يمكننا إيجاد إجمالي عدد نواتج حدثين أو أكثر بضرب عدد نواتج كل حدث معًا. حسنًا، الأحداث هنا هي اختيار الرقم الأول، واختيار الرقم الثاني وصولًا إلى اختيار الرقم الخامس. ولأننا سنستخدم الأرقام من صفر إلى تسعة بما في ذلك هذين الرقمين، نجد أن لدينا ١٠ أرقام إجمالًا للاختيار من بينها. وبذلك يكون لدينا ١٠ نواتج مختلفة ممكنة للحدث الأول لاختيار هذا الرقم الأول.

الآن من المهم للغاية إدراك أنه لا يمكننا استخدام الرقم نفسه أكثر من مرة عند حساب إجمالي عدد نواتج الحدث الثاني، وهو اختيار الرقم الثاني. لقد اخترنا بالفعل رقمًا واحدًا من صفر إلى تسعة، لذا يتبقى لدينا تسعة أرقام أخرى فقط للاختيار من بينها. وبالمثل، عندما نصل إلى الرقم الثالث، نعرف أننا سنكون قد استخدمنا بالفعل رقمين ممكنين من القائمة. ومن ثم يتبقى ثمانية أرقام أخرى للاختيار منها.

وبطريقة مماثلة، يكون لدينا سبع طرق لاختيار الرقم الرابع وست طرق فقط لاختيار الرقم الخامس. ينص مبدأ العد أو قاعدة حاصل الضرب للعد على أنه يجب ضرب هذه الأعداد معًا. ‏‏١٠ في تسعة في ثمانية في سبعة في ستة يساوي ٣٠٢٤٠. وهكذا، نجد أن هناك ٣٠٢٤٠ كلمة مرور مختلفة يستطيع رامي تكوينها، علمًا بأن بإمكانه استخدام الأرقام من صفر إلى تسعة فقط ولا يمكنه استخدامها أكثر من مرة.

الآن يمكننا تعميم هذه النتيجة. إننا نطلق على هذا «العد من دون إحلال». وذلك لأننا نأخذ رقمًا ولا نستبدل به أو نستخدمه مرة أخرى. ونقول إنه عند العد من دون إحلال، يكون إجمالي طرق اختيار عدد ﺭ من العناصر من مجموعة من ﻥ يساوي ﻥ في ﻥ ناقص واحد في ﻥ ناقص اثنين، وصولًا إلى ﻥ ناقص ﺭ ناقص واحد.

دعونا الآن نتناول مثالًا آخر به شروط مختلفة.

عقب إجراء إعادة تنظيم في الفترة الأخيرة، تولى شريف مسئولية تصنيع خط إنتاج لوحات أرقام منازل تحمل أعدادًا فردية. وكجزء من دراسته العلمية لمستويات الإنتاج، يريد معرفة الأعداد المكونة من ثلاثة أرقام التي يمكن الحصول عليها وتكون بها أرقام فردية فقط. احسب الناتج.

إننا نريد إيجاد إجمالي عدد اللوحات التي بها ثلاثة أرقام. لكن هناك شروطًا لذلك. فهذه الأعداد لا يمكن أن تحتوي إلا على أرقام فردية؛ أي لابد أن تتكون من الأرقام واحد أو ثلاثة أو خمسة أو سبعة أو تسعة. لذا دعونا نفكر في كل رقم من هذه الأرقام بالترتيب.

أول رقم يمكن أن يكون أي عدد من هذه الأعداد. يمكن أن يكون واحدًا أو ثلاثة أو خمسة أو سبعة أو تسعة. لدينا إذن خمس طرق ممكنة لاختيار الرقم الأول. لا توجد أي شروط حول استخدام الرقم نفسه أكثر من مرة. على سبيل المثال، يمكننا اختيار العدد واحد، واحد، واحد، وسيكون ذلك مقبولًا. وما زال لدينا خمس طرق لاختيار الرقم الثاني. يمكن أن يكون الرقم الثاني أي عدد من هذه الأعداد الفردية. وينطبق ذلك على الرقم الثالث. يمكننا اختيار الأعداد واحد أو ثلاثة أو خمسة أو سبعة أو تسعة. وبذلك يكون لدينا خمس طرق لاختيار الرقم الثالث.

ينص مبدأ العد الأساسي أو قاعدة حاصل الضرب للعد على أن إجمالي عدد طرق الاختيار هذه يساوي حاصل ضرب ما لدينا هنا. أي خمسة في خمسة في خمسة، وهو ما يساوي ١٢٥. إذن، لدينا ١٢٥ عددًا مكونًا من ثلاثة أرقام فردية فقط.

دعونا نتناول سياقًا مختلفًا قليلًا.

هناك مبنى له خمسة أبواب مرقمة كالتالي: واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة، خمسة. كم طريقة يمكن بها لشخص ما دخول المبنى والخروج منه بشرط عدم استخدام أي من الأبواب مرتين.

فلنحاول تصور هذا. المبنى له خمسة أبواب، ولنسمها واحدًا واثنين وثلاثة وأربعة وخمسة كما يخبرنا السؤال. لنتخيل أن لدينا شخصًا يريد دخول المبنى. أمامه هنا خمس طرق ممكنة للقيام بذلك. لكن دعونا نتخيل جدلًا أنه سيختار الباب رقم اثنين. بمجرد دخوله المبنى، وبمعلومية شرط عدم استخدام الباب نفسه مرتين، استبعدنا أن يكون الباب رقم اثنين مخرجًا. باستكشاف المكان، نلاحظ الآن أن هناك طريقة واحدة، طريقتين، ثلاثًا، أربع طرق ممكنة لهذا الشخص لكي يخرج من المبنى. قد يختار الباب رقم أربعة على سبيل المثال. هناك إذن خمس طرق ممكنة لدخول المبنى. لكن بمجرد دخول المبنى، يصبح لدينا أربع طرق ممكنة فقط للخروج.

تنص قاعدة الضرب للعد أو مبدأ العد على أن إجمالي عدد طرق دخول الشخص إلى المبنى ثم الخروج منه بمعلومية هذه الشروط يساوي حاصل ضرب ما لدينا هنا. أي خمسة في أربعة، وهو ما يساوي ٢٠. إذن هناك ٢٠ طريقة ممكنة يمكن للشخص الدخول بها إلى المبنى ثم الخروج منه بشرط عدم استخدام الباب نفسه مرتين.

في المثال الأخير، سنتناول إيجاد عدد النواتج الممكنة لترتيب الجلوس.

يخطط كل من لبنى وباسم لإقامة حفل عرسهما. وهما يعدان خطة لترتيب الجلوس على الطاولة الرئيسية في حفل الاستقبال. الطاولة الرئيسية هي طاولة مستقيمة لها ثمانية مقاعد على جانب واحد. ويجب أن تكفي لجلوس العروس والعريس ووالدي العروس ووالدي العريس ووصيف العريس ووصيفة العروس. بمعلومية وجوب جلوس كل زوج معًا، وإذا كان الوصيف والوصيفة غير متزوجين، فما عدد الطرق المختلفة لجلوس الجميع على الطاولة الرئيسية؟

لدينا هنا بعض الشروط لترتيب جلوس كل زوج معًا ووصيفة العروس ووصيف العريس. لنبدأ بالتفكير في الأزواج وهم العروس والعريس ووالدا العروس ووالدا العريس باعتبارهم بشكل أساسي ثلاث مجموعات. وسنبدأ بإيجاد إجمالي عدد طرق ترتيب جلوس هؤلاء الأزواج الثلاثة فقط. هناك ثلاث طرق لاختيار طريقة جلوس أول زوج. وهناك طريقتان لاختيار جلوس ثاني زوج وطريقة واحدة لاختيار جلوس ثالث زوج. وبالطبع، تنص قاعدة الضرب للعد أو مبدأ العد على أن إجمالي عدد الاختيارات يساوي حاصل ضرب ما لدينا هنا. أي ثلاثة في اثنين في واحد، وهو ما يساوي ستة.

لدينا إذن ست طرق لترتيب جلوس الأزواج. لكن بالطبع، يمكن لكل زوج الجلوس بترتيب مختلف. يمكن أن يكون بترتيب العروس ثم العريس، أو العريس ثم العروس. وإذا فكرنا في ذلك، فهناك طريقتان لترتيب جلوس العروس والعريس وطريقتان لترتيب جلوس والدي العروس وطريقتان لترتيب جلوس والدي العريس. اثنان في اثنين في اثنين يساوي ثمانية، ما يعني أن هناك ثماني طرق يمكن أن يجلس بها كل زوج. انتبه إلى أن هذا ينطبق على كل طريقة من الطرق الأصلية الستة لترتيب جلوس الأزواج. هذا يعني أن إجمالي عدد الطرق الممكنة لترتيب جلوس هؤلاء يساوي حاصل ضرب هاتين المجموعتين من النواتج. أي ستة في ثمانية، وهو ما يساوي ٤٨. إذن لدينا ٤٨ طريقة إجمالًا لترتيب جلوس هؤلاء الأزواج.

والآن لننتقل إلى ترتيب جلوس وصيف العريس ووصيفة العروس. إننا نفكر في كل منهما على حدة؛ لأننا نعلم أنهما غير متزوجين، ومن ثم لا يلزم بالضرورة أن يجلسا متجاورين. وهكذا إذا فكرنا في الطاولة الرئيسية التي يجلس عليها الأزواج الثلاثة بالفعل، فيمكن لوصيف العريس الجلوس عند أي من الطرفين. ويمكنه أيضًا الجلوس في أي مكان بين أي زوجين. وبالتالي لا بد أن يكون لديه أربعة اختيارات للمقاعد. ثم بمجرد جلوس وصيف العريس، يمكن لوصيفة العروس الجلوس عند أي من الطرفين. لكن يمكنها أيضًا الجلوس بين أي زوجين أو بين أحد الأزواج والوصيف، حسب مكانه. وهذا يعني أن هناك خمس طرق مختلفة لجلوس وصيفة العروس.

والآن بعد أن تناولنا جميع الأحداث الممكنة، أي ترتيب جلوس الأزواج وجلوس وصيف العريس ووصيفة العروس، نعلم أن مبدأ العد الأساسي يتطلب منا إيجاد حاصل ضرب النواتج لدينا. أي ٤٨ في أربعة في خمسة، وهو ما يساوي ٩٦٠. إذن، العدد الكلي لدينا يساوي ٩٦٠ طريقة مختلفة لترتيب جلوس الجميع على الطاولة الرئيسية.

حسنًا، هذه ليست الطريقة الوحيدة لحل هذه المسألة. يمكننا بدلًا من ذلك التفكير في أن هناك خمس مجموعات مختلفة؛ أي يوجد ثلاثة أزواج وفردان. وبذلك يمكننا القول إن هناك خمس طرق لاختيار ترتيب جلوس المجموعة الأولى وأربع طرق للمجموعة الثانية وثلاث طرق للمجموعة الثالثة وهكذا، لنحصل على ١٢٠ طريقة مختلفة إجمالًا لترتيب هذه الأماكن الخمسة.

ثم نعود للتفكير في طريقة ترتيب الأزواج. نحن نعلم أن كل زوج يمكنه الجلوس بترتيب مختلف قليلًا. وهكذا فإن اثنين في اثنين في اثنين يعطينا ثمانية ترتيبات للأزواج. مرة أخرى، ينص مبدأ العد الأساسي على أن إجمالي عدد الطرق المختلفة لترتيب جلوس الجميع يساوي حاصل ضرب ما لدينا هنا. أي ١٢٠ في ثمانية، وهو ما يساوي ٩٦٠ مرة أخرى.

سنراجع الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الدرس. في هذا الفيديو، رأينا أنه يمكننا توسيع نطاق استخدام مبدأ العد الأساسي ليشمل حالات تتضمن شروطًا للنواتج الممكنة. عرفنا أنه عند العد مع الإحلال، فإن إجمالي عدد النواتج لعدد ﺭ من الأحداث المتكررة بالاختيار من ﻥ من العناصر يساوي ﻥ أس ﺭ. وعند العد من دون إحلال، يصبح لدينا ﻥ في ﻥ ناقص واحد في ﻥ ناقص اثنين حتى نصل إلى ﻥ ناقص ﺭ ناقص واحد.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.