فيديو السؤال: إيجاد قيمة التكامل المحدد لدالة جذرية الرياضيات

أوجد قيمة ∫_(١٦)^(١٨) للجذر التربيعي (٣‏/‏ﻉ) ﺩﻉ.

٠٨:٠٠

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة التكامل المحدد من ١٦ إلى ١٨ للجذر التربيعي لثلاثة على ﻉ بالنسبة إلى ﻉ.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة تكامل محدد، ونحن نعلم طريقتين مختلفتين لفعل ذلك. يمكننا محاولة إيجاد المساحة أسفل المنحنى المعرف بهذه المعادلة بين ﻉ يساوي ١٦ وﻉ يساوي ١٨. ولكننا لا نعرف كيفية فعل ذلك مباشرة. لذا، بدلًا من ذلك، سنستخدم النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل. نتذكر أن هذه النظرية تنص على أنه إذا كانت ﺩ دالة متصلة على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ، وﻕ شرطة ﻉ تساوي ﺩﻉ، فإن التكامل المحدد من ﺃ إلى ﺏ للدالة ﺩﻉ بالنسبة إلى ﻉ يساوي ﻕﺏ ناقص ﻕﺃ.

بعبارة أخرى، إذا كانت الدالة التي سنكاملها متصلة على مجال التكامل ويمكننا إيجاد المشتقة العكسية لها، فيمكننا استخدام ذلك لإيجاد قيمة التكامل المحدد. لنبدأ إذن بتطبيق ذلك لإيجاد قيمة التكامل المعطى في السؤال. أولًا، الحد السفلي للتكامل هو ١٦ والحد العلوي هو ١٨، إذن سنجعل ﺃ يساوي ١٦ وﺏ يساوي ١٨. بعد ذلك، سنعتبر الدالة التي سنكاملها، وهي الجذر التربيعي لثلاثة على ﻉ، هي الدالة ﺩﻉ.

لاستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، علينا التحقق من أن الدالة التي سنكاملها متصلة على فترة التكامل. في هذه الحالة، هذه هي الفترة المغلقة من ١٦ إلى ١٨. لفعل ذلك، علينا إلقاء نظرة فاحصة على الدالة التي سنكاملها. يمكننا أن نلاحظ أنها مكونة من دالتين. فلدينا الجذر التربيعي لثلاثة على ﻉ. ونعلم الكثير عن هاتين الدالتين. على سبيل المثال، ثلاثة على ﻉ دالة كسرية. ومن ثم فإنها متصلة على مجالها بالكامل، أي عند جميع القيم إلا عند ﻉ يساوي صفرًا. ونعلم أيضًا أن دالة الجذر التربيعي متصلة على مجالها بالكامل. إذن فإن الدالة التي سنكاملها مكونة من دالتين متصلتين، ما يعني أنها ستكون متصلة على مجالها بالكامل.

إذن للتأكد من أن الدالة التي سنكاملها متصلة على الفترة المغلقة من ١٦ إلى ١٨، علينا فقط التحقق من أنها معرفة لجميع قيم ﻉ الواقعة بين ١٦ و١٨، بما في ذلك هذان العددان. وفي الواقع، يمكننا معرفة ذلك بالتعويض بهذه القيم في الدالة التي سنكاملها. إذا عوضنا بأي قيمة لـ ﻉ بين ١٦ و١٨، فنحن نأخذ بذلك الجذر التربيعي لعدد موجب، ونحن نعلم أن ذلك معرف جيدًا. إذن الدالة التي سنكاملها معرفة لجميع قيم ﻉ على هذه الفترة. ونحن نعلم ذلك لأنها مكونة من دالتين متصلتين. وهذا يعني أنها متصلة أيضًا على هذه الفترة.

يمكننا استخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل لإيجاد قيمة هذا التكامل. نحتاج فقط إلى إيجاد المشتقة العكسية. وأسهل طريقة لإيجاد المشتقة العكسية للدالة التي سنكاملها هي استخدام ما نعرفه عن التكاملات غير المحددة. نعلم أن التكامل غير المحدد للجذر التربيعي لثلاثة على ﻉ بالنسبة إلى ﻉ يعطينا المشتقة العكسية العامة للدالة التي سنكاملها. ولإيجاد قيمة هذا التكامل غير المحدد، نستخدم قواعد الأسس.

أولًا، نعلم أن الجذر التربيعي لثلاثة على ﻉ يساوي الجذر التربيعي لثلاثة مقسومًا على الجذر التربيعي لـ ﻉ. لكن يمكننا أيضًا استخدام قانون آخر من قوانين الأسس. فيمكننا إعادة كتابة ذلك على صورة الجذر التربيعي لثلاثة مضروبًا في ﻉ أس سالب نصف. والآن بعد أن كتبنا الدالة التي سنكاملها على هذه الصورة، يمكننا ملاحظة أنه بإمكاننا إيجاد قيمة ذلك باستخدام قاعدة القوة للتكامل. علينا إضافة واحد إلى الأس ﻉ، ثم القسمة على هذا الأس الجديد. هذا يعطينا جذر ثلاثة في ﻉ أس نصف، الكل مقسوم على نصف. وقبل أن نضيف ثابت التكامل، يمكننا تبسيط ذلك. سنضرب كلًّا من البسط والمقام في اثنين. وهذا يعطينا اثنين جذر ثلاثة في ﻉ أس نصف. ونضيف ثابت التكامل ﺙ.

وأخيرًا، باستخدام قوانين الأسس، سنعيد كتابة ﻉ أس نصف على صورة الجذر التربيعي لـ ﻉ. وهذا يعطينا اثنين جذر ثلاثة في جذر ﻉ زائد ﺙ واحد، وهي المشتقة العكسية العامة للدالة التي سنكاملها. ستكون هذه مشتقة عكسية باستخدام أي قيمة لـ ﺙ واحد، لكننا نريد مشتقة عكسية واحدة فقط. إذن نختار ﺙ واحد يساوي صفرًا. وهذا يعطينا الدالة ﻕﻉ تساوي اثنين في جذر ثلاثة في جذر ﻉ. والآن بعد أن حصلنا على المشتقة العكسية، يمكننا استخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل لإيجاد قيمة التكامل المحدد.

نعلم أنه يساوي قيمة ﻕ عند ١٨ ناقص قيمة ﻕ عند ١٦. نمثل ذلك بهذا الترميز. إذن كل ما تبقى علينا فعله الآن هو حساب قيمة ذلك عند حدي التكامل. لدينا قيمة ﻕ عند ١٨ ناقص قيمة ﻕ عند ١٦ تساوي اثنين جذر ثلاثة جذر ١٨ ناقص اثنين جذر ثلاثة جذر ١٦. ويمكننا تبسيط هذين المقدارين. أولًا، جذر ١٦ يساوي أربعة. بعد ذلك، نعلم أن ١٨ يساوي ثلاثة تربيع في اثنين. إذن يمكننا تبسيط الجذر التربيعي لـ ١٨ ليعطينا ثلاثة جذر اثنين.

والآن نحن في المرحلة الأخيرة من التبسيط. أولًا، اثنان في ثلاثة يساوي ستة. بعد ذلك، جذر ثلاثة في جذر اثنين يساوي جذر ستة. وأخيرًا، في الحد الثاني، اثنان في أربعة يساوي ثمانية. وآخر شيء سنفعله هو إعادة ترتيب هذين الحدين لنحصل على الإجابة النهائية، وهي سالب ثمانية جذر ثلاثة زائد ستة جذر ستة.

وعليه، باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل وقاعدة القوة للتكامل، تمكنا من توضيح أن التكامل المحدد من ١٦ إلى ١٨ للجذر التربيعي لثلاثة على ﻉ بالنسبة إلى ﻉ يساوي سالب ثمانية جذر ثلاثة زائد ستة جذر ستة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.