فيديو السؤال: إيجاد النهايات التي تتضمن دوال مثلثية

أوجد ‪lim_(𝑥 → 0) 9𝑥/sin 6𝑥‬‏.

٠٣:١٨

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد نهاية تسعة 𝑥 على sin ستة 𝑥 حين تقترب قيمة 𝑥 من الصفر.

حتى نحل هذه المسألة، علينا استخدام اثنين من قوانين النهايات. أولًا، إذا كان 𝑎 ثابتًا، فنهاية sin 𝑎𝑥 على 𝑥، حين تقترب قيمة 𝑥 من الصفر، تساوي 𝑎. وثانيًا، إذا كانت الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 هي الثابت 𝑘 وكان العدد 𝑏 ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية، إذن فنهاية الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥، حين تقترب قيمة 𝑥 من 𝑏، تساوي 𝑘.

يمكننا إعادة كتابة المسألة، نهاية تسعة 𝑥 على sin ستة 𝑥 حين تقترب قيمة 𝑥 من الصفر، كالتالي: نهاية واحد على sin ستة 𝑥 على تسعة 𝑥 حين تقترب قيمة 𝑥 من الصفر. وهذا بدوره يمكننا إعادة كتابته على النحو التالي: نهاية واحد على sin ستة 𝑥 على 𝑥 في تسع، حين تقترب قيمة 𝑥 من الصفر.

ثم يمكننا تقسيم هذا بأن نقسم نهاية الجزء العلوي، أي البسط، على نهاية الجزء السفلي، أي المقام: نهاية واحد، حين تقترب قيمة 𝑥 من الصفر، على نهاية sin ستة 𝑥 على 𝑥 في تسع، حين تقترب قيمة 𝑥 من الصفر.

وبتقسيم المقام باستخدام قوانين النهايات، نحصل على نهاية واحد، حين تقترب قيمة 𝑥 من الصفر، على نهاية sin ستة 𝑥 على 𝑥، حين تقترب قيمة 𝑥 من الصفر، في نهاية تسع حين تقترب قيمة 𝑥 من الصفر. دعونا نستخدم القانون الثاني الذي كتبناه في بداية المسألة؛ إذا كانت الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 هي الثابت 𝑘، وكان العدد 𝑏 ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية، إذن، فنهاية الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥، حين تقترب قيمة 𝑥 من 𝑏، تساوي 𝑘. هذا معناه أن نهاية واحد، حين تقترب قيمة 𝑥 من الصفر، تساوي واحدًا. بالمثل، نهاية تسع، حين تقترب قيمة 𝑥 من الصفر، تساوي تسعًا.

وباستخدام القانون الأول الذي كتبناه، إذا كان 𝑎 ثابتًا، فنهاية sin 𝑎𝑥 على 𝑥، حين تقترب قيمة 𝑥 من الصفر، تساوي 𝑎، يمكننا أن نرى أن نهاية sin ستة 𝑥 على 𝑥، حين تقترب قيمة 𝑥 من الصفر، تساوي ستة. وهكذا، يتبقى لدينا واحد على ستة في تسع. ستة في تسع يساوي ستة أتساع. إذن، لدينا واحد على ستة أتساع. وهذا يساوي تسعة أسداس أو تسعة على ستة.

يمكننا تبسيط هذا الكسر إلى ثلاثة أنصاف أو ثلاثة على اثنين. بالتالي، نهاية تسعة 𝑥 على sin ستة 𝑥 حين تقترب قيمة 𝑥 من الصفر تساوي ثلاثة على اثنين أو ثلاثة أنصاف.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.