فيديو السؤال: إيجاد نهاية دالة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لواحد مقسومًا على ﺱ أس خمسة ناقص واحد مقسومًا على ٣٢ الكل مقسوم على ﺱ تربيع ناقص أربعة.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قيمة النهاية. ونلاحظ أن الدالة المطلوب إيجاد قيمة نهايتها مكونة من دوال كسرية. هذا يعني أن بإمكاننا محاولة إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض المباشر. لفعل ذلك، نعوض بـ ﺱ يساوي اثنين في الدالة. فنحصل على واحد مقسومًا على اثنين أس خمسة ناقص واحد على ٣٢ الكل مقسوم على اثنين تربيع ناقص أربعة. لكن، إذا حسبنا قيمة هذا المقدار، نحصل على صفر مقسومًا على صفر. وهذه صيغة غير معينة، وهو ما يعني أنه لا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر فقط. إذن علينا أن نستخدم طريقة أخرى بدلًا من ذلك.

لإيجاد قيمة هذه النهاية، علينا أن نلاحظ أنه يمكننا إعادة كتابة النهاية. أولًا: بتطبيق قوانين الأسس نعلم أنه يمكننا إعادة كتابة واحد على ﺱ أس خمسة على الصورة ﺱ أس سالب خمسة. في الحقيقة، يمكننا أيضًا كتابة الحد الثاني في البسط على الصورة: عدد أس سالب خمسة. إذن، واحد على ٣٢ يساوي اثنين أس سالب خمسة. هذا يعطينا النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ ﺱ أس سالب خمسة ناقص اثنين أس سالب خمسة الكل مقسوم على ﺱ تربيع ناقص أربعة.

والآن، تصبح هذه النهاية تقريبًا على صورة نهاية قسمة دالتي قوى. كل ما علينا فعله الآن هو إعادة كتابة المقام. نلاحظ أن أربعة يساوي اثنين تربيع. وأساس هذا المقدار هو القيمة التي نحسب النهاية عندها، وأس هذا المقدار يساوي أس ﺱ في المقام. يعطينا هذا النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لـ ﺱ أس سالب خمسة ناقص اثنين أس سالب خمسة الكل مقسوم على ﺱ تربيع ناقص اثنين تربيع.

والآن، يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بتذكر نتيجة تتضمن نهاية قسمة دالتي قوى. ولعلنا نتذكر أن هذا يخبرنا أنه لأي ثوابت حقيقية ﺃ وﻥ وﻡ، فإن النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺱ أس ﻥ ناقص ﺃ أس ﻥ الكل مقسوم على ﺱ أس ﻡ ناقص ﺃ أس ﻡ يساوي ﻥ مقسومًا على ﻡ مضروبًا في ﺃ أس ﻥ ناقص ﻡ. وهذا صحيح إذا كانت قيمة ﻡ لا تساوي صفرًا، وﺃ أس ﻥ وﺃ أس ﻡ، وﺃ أس ﻥ ناقص ﻡ، جميعها موجودة.

نلاحظ من خلال هذا المقدار أن الأس في البسط ﻥ يساوي سالب خمسة، والأس في المقام ﻡ يساوي اثنين، وقيمة ﺃ تساوي اثنين أيضًا. لذلك، يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية بالتعويض بهذه القيم في الصيغة التي لدينا. فنحصل على سالب خمسة مقسومًا على اثنين مضروبًا في اثنين أس سالب خمسة ناقص اثنين. والآن، يمكننا تبسيط المقدار سالب خمسة ناقص اثنين إلى سالب سبعة. وبتطبيق قوانين الأسس، اثنان أس سالب سبعة يساوي واحدًا مقسومًا على اثنين أس سبعة، وهو ما يعطينا سالب خمسة على اثنين مضروبًا في واحد مقسومًا على اثنين أس سبعة، يعطينا، عند حساب قيمته، سالب خمسة مقسومًا على ٢٥٦.

إذن، استطعنا توضيح أن النهاية عندما يقترب ﺱ من اثنين لواحد على ﺱ أس خمسة ناقص واحد على ٣٢ الكل مقسوم على ﺱ تربيع ناقص أربعة، تساوي سالب خمسة مقسومًا على ٢٥٦.