فيديو السؤال: المقارنة بين مسارات الإلكترونات في حزمة إلكترونات محيدة الفيزياء • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

يوضح الشكل أجزاء من حزمة إلكترونات تمر بشبكة بلورية. تتكون الشبكة من مستويات متوازية تفصل بينها مسافات عمودية ‪𝑑‬‏. يشتت بعض الإلكترونات في الحزمة بواسطة ذرات الشبكة. الطول الموجي لجميع الإلكترونات هو ‪𝜆‬‏. كل من الخطوط الزرقاء المتقطعة في الشكل يناظر موجة منفصلة. الموجتان عند النقطتين ‪A‬‏ و‪B‬‏ متفقتان في الطور، والموجتان عند النقطتين ‪B‬‏ و‪C‬‏ متفقتان في الطور. الخطان ‪𝐿‬‏ واحد و‪𝐿‬‏ اثنان متوازيان. أي من الآتي يصف وصفًا صحيحًا طول المسار الذي تقطعه الإلكترونات بين النقطة ‪A‬‏ والنقطة ‪C‬‏؟ (أ) الطول يساوي ‪𝑑‬‏. (ب) الطول يساوي ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝜆‬‏ مضروبًا في ‪𝑑‬‏؛ حيث ‪𝑛‬‏ عدد صحيح. (ج) الطول يساوي ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝜆‬‏؛ حيث ‪𝑛‬‏ عدد صحيح. (د) الطول يساوي ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝜆‬‏ مقسومًا على اثنين؛ حيث ‪𝑛‬‏ عدد صحيح. (هـ) الطول يساوي ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝜆‬‏ مقسومًا على ‪𝑑‬‏؛ حيث ‪𝑛‬‏ عدد صحيح.

في الشكل الموجود لدينا نجد أن النقطة ‪A‬‏ تقع هنا والنقطة ‪C‬‏ تقع هنا. نريد أن نعرف أيًّا من هذه الأوصاف الخمسة يصف بدقة فرق مسار الإلكترونات التي تنتقل من النقطة ‪A‬‏ إلى النقطة ‪C‬‏. على وجه التحديد ما يعنينا هو المسار الذي تتبعه الإلكترونات أثناء مرورها بهذا الخط الأزرق المتقطع. هذا يعني أننا نريد إيجاد طول هذه القطعة المستقيمة مضافًا إلى طول هذه القطعة المستقيمة. يوضح الشكل وجود مسارات أخرى تتبعها الإلكترونات عبر هذه الشبكة البلورية. على سبيل المثال: يوجد لدينا هذا المسار أيضًا الذي توضحه الخطوط الزرقاء المتقطعة.

على مسار الإلكترونات الثاني الذي اخترناه تقع النقطة ‪B‬‏ هنا. أثناء مرور الإلكترونات في هذه المسارات، يكون لها طول موجي يعتمد على سرعتها. ينطبق على ذلك علاقة دي برولي التي تنص على أن الطول الموجي لأي جسيم يساوي ثابت بلانك مقسومًا على كتلة هذا الجسيم مضروبة في سرعته. نعلم من معطيات السؤال أن جميع الإلكترونات التي تسقط على هذه الشبكة البلورية لها الطول الموجي نفسه.

دعونا نفترض أن لدينا موجتين كهاتين، وأن لهما الطول الموجي نفسه، وقمم إحداهما تحاذي قمم الأخرى، وقيعان إحداهما تحاذي قيعان الأخرى أيضًا. في هذه الحالة نقول إن هاتين الموجتين متفقتان في الطور.

بالنظر مجددًا إلى الشكل نجد أننا نعلم من المعطيات أن الموجة عند النقطة ‪A‬‏ متفقة في الطور مع الموجة عند النقطة ‪B‬‏. ليس ذلك فحسب ولكن الموجة عند النقطة ‪B‬‏ متفقة في الطور مع الموجة عند النقطة ‪C‬‏. دعونا نطلق على الموجة التي على طول هذا المسار في أقصى اليمين، أي الموجة التي تمر بالنقطة ‪B‬‏، الموجة واحد. وسنفترض أن هذه الموجة تناظر الموجة البرتقالية التي رسمناها هنا. بعد ذلك دعونا نطلق على مسار الإلكترونات الذي يمر بالنقطتين ‪A‬‏ و‪C‬‏، الموجة اثنين. وهو الممثل هنا بالخط الأزرق.

سنختار إحدى النقاط على الموجة البرتقالية، ونطلق عليها النقطة ‪B‬‏. ولنقل إنها هذه القمة هنا. إذن هذه النقطة ‪B‬‏. ونعلم من المعطيات أن النقطة ‪A‬‏ الموجودة على الموجة الزرقاء متفقة في الطور مع هذه النقطة. في الواقع يمكننا اختيار أي قمة للموجة الزرقاء لتمثيل النقطة ‪A‬‏. دعونا نختر هذه مثلًا. نعلم أن الموجة اثنين تستمر مسافة محددة، وأنه على امتداد هذه الموجة تقع النقطة ‪C‬‏ المتفقة في الطور أيضًا مع النقطة ‪B‬‏. لنفترض أن هذه القمة تمثل تلك النقطة.

والسؤال هو «ما فرق طول المسار بين النقطتين ‪A‬‏ و‪C‬‏ على هذه الموجة الزرقاء؟». نظرًا لأن هاتين النقطتين تمثلان قمتين للموجة، يجب أن يفصلهما عدد معين من الأطوال الموجية. معرفة هذه الحقيقة تساعدنا على استبعاد بعض خيارات الإجابة.

على سبيل المثال ينص خيار الإجابة (أ) على أن الطول بين النقطتين ‪A‬‏ و‪C‬‏ يساوي ‪𝑑‬‏. نعلم أن ‪𝑑‬‏ هي المسافة التي تفصل بين مستويات البلورة المتجاورة. بوجه عام قد تساوي ‪𝑑‬‏ أي قيمة. وليس من الضروري أن تساوي أي مضاعفات للطول الموجي. ولا يمكننا افتراض أن ‪𝑑‬‏ ترتبط بالطول الموجي بأي حال من الأحوال. وبناء على ذلك سنستبعد خيار الإجابة (أ).

وبالمثل ينص الخيار (ب) على أن الطول يساوي ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝜆‬‏ مضروبًا في ‪𝑑‬‏؛ حيث ‪𝑛‬‏ عدد صحيح. إذا افترضنا أن ‪𝑛‬‏ في هذه المعادلة يساوي واحدًا على سبيل المثال، فإن قيمة ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝜆‬‏ مضروبًا في ‪𝑑‬‏ تبسط إلى ‪𝜆‬‏ مضروبًا في ‪𝑑‬‏. ولكن ماذا لو أن ‪𝑑‬‏ تساوي، على سبيل المثال، نصفًا أو ثلاثة أرباع؟ في هذه الحالة نقول إن النقطتين ‪A‬‏ و‪C‬‏ لا يفصلهما عدد معين من الأطوال الموجية الكاملة. مرة أخرى لأن ‪𝑑‬‏ يمكن أن تساوي أي قيمة، لا يمكننا اختيار الخيار (ب).

وبناء على السبب نفسه، يمكننا استبعاد الخيار (هـ). فالخيار ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝜆‬‏ مقسومًا على ‪𝑑‬‏؛ حيث ‪𝑛‬‏ عدد صحيح، به مشكلة الخيار (ب) نفسها. بذلك يتبقى لدينا الخياران (ج) و(د).

دعونا نفكر في الخيار (د) الذي ينص على أن الطول بين النقطتين ‪A‬‏ و‪C‬‏ يساوي ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝜆‬‏ على اثنين؛ حيث ‪𝑛‬‏ عدد صحيح. بما أن هذه المعادلة تقول إن قيمة ‪𝑛‬‏ يمكن أن تكون أي عدد صحيح، لنفترض مرة أخرى أنها تساوي واحدًا. في هذه الحالة فرق طول المسار بين النقطتين ‪A‬‏ و‪C‬‏ سيساوي نصف طول موجي واحد. لكن هذا يعني أنه إذا كانت النقطة ‪A‬‏ قمة، فالنقطة ‪C‬‏ ستكون قاعًا للموجة، وليست كلتاهما قمة. لذا الخيار (د) لا يلبي شرط اتفاق النقطتين ‪A‬‏ و‪C‬‏ في الطور مع النقطة ‪B‬‏.

وأخيرًا ينص الخيار (ج) على أن الطول بين النقطتين ‪A‬‏ و‪C‬‏ يساوي ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝜆‬‏؛ حيث ‪𝑛‬‏ عدد صحيح. هذا يتفق مع الشكل الموجود لدينا؛ لأننا نعلم أن المسافة بين النقطتين ‪A‬‏ و‪C‬‏ تساوي عددًا معينًا من الأطوال الموجية، لكننا لا نعرف عددها. لذا فالطريقة العامة المثلى لوصف فرق طول المسار هي مضاعف عدد صحيح لـ ‪𝜆‬‏. وهذا يوافق الخيار (ج). ومن ثم فإن طول المسار الذي تقطعه الإلكترونات بين النقطة ‪A‬‏ والنقطة ‪C‬‏ يساوي ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝜆‬‏؛ حيث ‪𝑛‬‏ عدد صحيح.

حسنًا دعونا نتناول الآن الجزء الثاني من هذا السؤال.

أي من الآتي يصف وصفًا صحيحًا العلاقة بين الزاويتين ‪𝜃‬‏ واحد و‪𝜃‬‏ اثنين؟ (أ) ‪𝜃‬‏ واحد تساوي ‪𝜃‬‏ اثنين. (ب) ‪𝜃‬‏ واحد أكبر من ‪𝜃‬‏ اثنين. (ج) ‪𝜃‬‏ واحد أصغر من ‪𝜃‬‏ اثنين.

في الشكل لدينا نلاحظ أن الزاوية ‪𝜃‬‏ واحد تقع هنا، والزاوية ‪𝜃‬‏ اثنين هنا. نريد إيجاد العلاقة بين هاتين الزاويتين. لتسهيل ذلك نعلم من معطيات السؤال أن الخط ‪𝐿‬‏ اثنين والخط ‪𝐿‬‏ واحد متوازيان. يمكننا ملاحظة أن ‪𝐿‬‏ واحد يحاذي مسار الإلكترونات غير المنحرفة. بعبارة أخرى إلكترونات الحزمة الأصلية تمر عبر البلورة دون انحراف. وهذا المسار يحاذي ‪𝐿‬‏ واحد. هذا يعني أن هذا المسار الأصلي لحزمة الإلكترونات غير المنحرفة الذي أطلقنا عليه الموجة اثنين يحاذي ‪𝐿‬‏ واحد أيضًا. إذا تتبعنا هذا الخط، يمكننا القول إنه متواز أيضًا مع الخطين ‪𝐿‬‏ واحد و‪𝐿‬‏ اثنين.

هذا رائع لأننا إذا نظرنا إلى هذا المسار هنا الذي يتبع مسار الإلكترونات المنحرفة، فسنجد أنه يساعدنا على تحديد الزاوية الموجودة هنا التي تساوي ‪𝜃‬‏ اثنين. بمعرفة أن هذه الزاوية هي ‪𝜃‬‏ اثنان، دعونا ننظر إلى هذا الشكل الرباعي حيث إحدى زواياه الداخلية ‪𝜃‬‏ واحد. ولأن هذا الشكل له أربعة أضلاع، نعلم أن مجموع قياسات زواياه الداخلية يساوي 360 درجة. ونعلم أن إحدى هذه الزوايا الداخلية هي ‪𝜃‬‏ واحد، وقياس زاويتين من الزوايا الأربع يساوي 90 درجة، والزاوية الرابعة مجهولة، وسنطلق عليها ‪𝛼‬‏ مؤقتًا.

بناء على هذه المعطيات، سنكتب أن 360 درجة يساوي ‪𝜃‬‏ واحد زائد 90 درجة زائد 90 درجة زائد ‪𝛼‬‏، أو 360 درجة يساوي ‪𝜃‬‏ واحد زائد 180 درجة زائد ‪𝛼‬‏. نلاحظ هنا شيئًا في الزاوية التي تتضمن ‪𝛼‬‏ و‪𝜃‬‏ اثنين. إذا تتبعنا هذا القوس بالكامل، فسنجد أنه يتضمن زاوية قياسها 180 درجة. يرجع ذلك إلى أن القوس يبدأ وينتهي عند نقطتين مختلفتين على الخط نفسه. قياس الزاوية الإجمالي للقوس الأخضر يجب أن يساوي 180 درجة، ومن ثم يصبح لدينا 180 درجة تساوي ‪𝛼‬‏ زائد ‪𝜃‬‏ اثنين. أو بطرح ‪𝜃‬‏ اثنين من طرفي هذه المعادلة، نجد أن ‪𝛼‬‏ تساوي 180 درجة ناقص ‪𝜃‬‏ اثنين.

يمكننا بعد ذلك التعويض بهذه النتيجة عن ‪𝛼‬‏ في التعبير السابق. وهذا يعطينا هذه النتيجة. وإذا جمعنا القياسين 180 درجة معًا، فسنجد أن 360 درجة يساوي ‪𝜃‬‏ واحد زائد 360 درجة ناقص ‪𝜃‬‏ اثنين. إذا طرحنا 360 درجة من طرفي المعادلة، فسيحذف هذا القياس بالكامل من المعادلة. ونجد أن صفرًا يساوي ‪𝜃‬‏ واحد ناقص ‪𝜃‬‏ اثنين. أو بإضافة ‪𝜃‬‏ اثنين إلى طرفي المعادلة لكي نحذفها من الطرف الأيمن، نجد أن ‪𝜃‬‏ واحد تساوي ‪𝜃‬‏ اثنين. وهذا يوافق خيار الإجابة (أ). الزاويتان ‪𝜃‬‏ واحد و‪𝜃‬‏ اثنان الموضحتان في الشكل متساويتان في القياس.