فيديو السؤال: إيجاد المتجه المجهول في مجموعة متجهات بمعلومية مجموعها الرياضيات

افترض أن، ﺏ = ⟨−٥‎، ١‎، −٢⟩، ﺃ = ⟨٤‎، ٧‎، −٧⟩ ﺃ + ﺏ + ﺟ = ﺱ . ما قيمة ﺟ؟

٠٥:٢٥

‏نسخة الفيديو النصية

افترض أن ﺃ هو المتجه أربعة، سبعة، سالب سبعة؛ وﺏ هو المتجه سالب خمسة، واحد، سالب اثنين؛ وﺃ زائد ﺏ زائد ﺟ يساوي ﺱ. ما قيمة ﺟ؟

لحل هذه المسألة، علينا فهم الترميز المستخدم لتمثيل المتجهات ﺃ وﺏ وﺱ، وكذلك كيفية حساب مجموع المتجهات الثلاثة. يمكننا تمثيل أي متجه ﻡ عن طريق عرض مركباته داخل قوسين. وهذا هو الترميز المستخدم لتمثيل المتجهين ﺃ وﺏ. وبصورة مكافئة، يمكننا التعبير عن المتجه بدلالة متجهات الوحدة الثلاثة المتعامدة، ﺱ وﺹ وﻉ، بضرب كل متجه من متجهات الوحدة في مركبة المتجه المناظرة.

في الواقع، كما هو موضح، الترميز باستخدام قوسين هو اختصار بدلًا من كتابة المتجه بدلالة متجهات الوحدة. وكتابة المتجه بدلالة متجهات الوحدة هو الترميز الذي نستخدمه عندما نمثل ﺱ في الطرف الأيسر من المعادلة، ويكون ﻡ واحد يساوي واحدًا، وﻡ اثنان وﻡ ثلاثة كلاهما يساوي صفرًا. إذن، واحد، صفر، صفر، وهو الترميز باستخدام قوسين، سيكون مساويًا لـ ﺱ بدلالة متجهات الوحدة. على نحو مماثل، صفر، واحد، صفر هو ﺹ، وصفر، صفر، واحد هو ﻉ.

على أي حال، عندما نجمع المتجهات، نجمع مركباتها دائمًا. هذا يعني أننا نجمع جميع مركبات ﺱ في حد واحد، وجميع مركبات ﺹ في حد آخر، وجميع مركبات ﻉ في حد ثالث. بصورة مكافئة، نجمع جميع المركبات في كل من المواضع المنفصلة داخل كل زوج من الأقواس في حدودها الخاصة المنفصلة. للتدرب على ذلك فقط، دعونا نجر عملية الجمع باستخدام الأقواس، ولكن دعونا نعط الإجابة النهائية باستخدام متجهات الوحدة.

نحن لا نعرف المتجه ﺟ؛ لذا سنمثل مركباته بالمتغيرات: ﺟ واحد، وﺟ اثنين، وﺟ ثلاثة. حسنًا، دعونا الآن نجر عملية الجمع. لعلنا نتذكر أننا نجري العملية الحسابية لكل مركبة على حدة. بالنسبة للمركبة الأولى، نأخذ المركبة الأولى من كل زوج من الأقواس: أربعة من المتجه ﺃ، وسالب خمسة من المتجه ﺏ، وﺟ واحد من المتجه ﺟ. بالنسبة للمركبة الثانية، نأخذ المركبة الثانية من كل زوج من الأقواس، وهي سبعة، وواحد، وﺟ اثنان. وبالمثل، بالنسبة للمركبة الثالثة، نأخذ المركبة الثالثة من كل زوج من الأقواس، وهي سالب سبعة، وسالب اثنين، وﺟ ثلاثة.

هيا نبسط ما بداخل الأقواس. أربعة زائد سالب خمسة يساوي سالب واحد. وسبعة زائد واحد يساوي ثمانية. وسالب سبعة زائد سالب اثنين يساوي سالب تسعة. إذن، مركبات ﺃ زائد ﺏ زائد ﺟ هي سالب واحد زائد ﺟ واحد، ثمانية زائد ﺟ اثنين، سالب تسعة زائد ﺟ ثلاثة. ونعلم من المعطيات أن هذا المجموع يساوي ﺱ، وهو يكتب على الصورة واحد، صفر، صفر بين قوسين. علينا الآن أن نتذكر أنه، على نحو مماثل لطريقة إجراء الجمع والطرح لكل مركبة على حدة، عندما يكون المتجهان متساويين، يجب أن تساوي كل مركبة في متجه ما المركبة التي تناظرها في المتجه الآخر.

إذن، لكي يكون ﺃ زائد ﺏ زائد ﺟ يساوي ﺱ، يجب أن تكون المركبة الأولى سالب واحد زائد ﺟ واحد تساوي المركبة الأولى لـ ﺱ، التي تساوي واحدًا، والمركبة الثانية ثمانية زائد ﺟ اثنين تساوي المركبة الثانية لـ ﺱ، التي تساوي صفرًا، والمركبة الثالثة سالب تسعة زائد ﺟ ثلاثة تساوي المركبة الثالثة لـ ﺱ، التي أيضًا تساوي صفرًا. يمكننا الآن حل كل من هذه المعادلات الثلاثة لإيجاد المركبات الثلاثة للمتجه ﺟ.

في المعادلة الأولى، نضيف واحدًا إلى كلا الطرفين لنجد أن ﺟ واحد يساوي اثنين. في المعادلة الثانية، نطرح ثمانية من كلا الطرفين لنجد أن ﺟ اثنين يساوي سالب ثمانية. وأخيرًا، في المعادلة الأخيرة، عند إضافة تسعة إلى كلا الطرفين، نحصل على ﺟ ثلاثة يساوي تسعة. لكتابة هذه المركبات الثلاثة على صورة متجه مرة أخرى، نعوض بها عما بداخل القوسين كما لاحظنا من قبل، أو نستخدمها كما سنفعل على صورة معاملات لمتجهات الوحدة.

عند مطابقة كل مركبة مع مركبة متجه الوحدة المناظر، نجد أن ﺟ يساوي اثنين ﺱ ناقص ثمانية ﺹ زائد تسعة ﻉ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.