فيديو السؤال: إيجاد القيم العظمى والصغرى المحلية لدالة الرياضيات

أوجد القيم العظمى والصغرى المحلية (إن وجدت) للدالة ﺹ = −ﺱ − (١‏/‏(ﺱ + ٨)).

٠٧:٥٢

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد القيم العظمى والصغرى المحلية (إن وجدت) للدالة ﺹ يساوي سالب ﺱ ناقص واحد على ﺱ زائد ثمانية.

دعونا نبدأ بتذكر المقصود بالقيمة العظمى المحلية والقيمة الصغرى المحلية. القيم العظمى المحلية والقيم الصغرى المحلية هي أكبر وأصغر قيم للدالة ضمن نطاق معين. عند هذه النقاط، يمكننا ملاحظة أن الميل، أو المشتقة، يساوي صفرًا. وهذا يعني أن الخطوة الأولى في هذا السؤال هي اشتقاق الدالة لإيجاد دالة الميل. بعد ذلك سنتمكن من إيجاد النقطة التي دالة الميل عندها تساوي صفرًا. سنشتق الدالة حدًّا تلو الآخر. ولكن قبل القيام بهذا، تجدر الإشارة إلى كيفية إعادة كتابة الحد الثاني. ينص أحد قوانين الأسس على أن واحد على ﺱ يساوي ﺱ أس سالب واحد. يعني هذا أنه يمكن إعادة كتابة المعادلة على الصورة ﺹ يساوي سالب ﺱ ناقص ﺱ زائد ثمانية أس سالب واحد.

يمكننا الآن اشتقاق حد تلو الآخر، ويمكننا اشتقاق سالب ﺱ باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق، والتي تنص على أن اشتقاق ﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﻥ مضروبًا في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. وهذا يعني أن اشتقاق سالب ﺱ أس واحد يعطينا سالب واحد مضروبًا في ﺱ أس صفر. وبما أن ﺱ أس صفر يساوي واحدًا، فإن هذا يبسط إلى سالب واحد.

يمكننا اشتقاق الحد الثاني باستخدام قاعدة السلسلة. وتنص هذه القاعدة على أن المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لدالة ﺩﺱ مرفوعة للقوة ﻥ تساوي ﻥ مضروبًا في ﺩﺱ مرفوعًا للقوة ﻥ ناقص واحد مضروبًا في ﺩ شرطة ﺱ، حيث ﺩ شرطة ﺱ هي مشتقة ﺩﺱ. اشتقاق ﺱ زائد ثمانية أس سالب واحد يعطينا سالب واحد مضروبًا في ﺱ زائد ثمانية أس سالب اثنين مضروبًا في واحد. إذن، ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي سالب واحد ناقص هذا التعبير. يبسط التعبير إلى سالب واحد زائد ﺱ زائد ثمانية أس سالب اثنين. ويمكن إعادة كتابة هذا على الصورة سالب واحد زائد واحد على ﺱ زائد ثمانية تربيع.

بتذكر أن القيم العظمى والصغرى المحلية تتحقق عندما يكون ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي صفرًا، يمكننا أن نجعل هذا التعبير يساوي صفرًا. ولإيجاد قيمة ﺱ، نضيف واحدًا إلى كلا الطرفين. يمكننا بعد ذلك ضرب كلا الطرفين في ﺱ زائد ثمانية الكل تربيع، ما يعطينا ﺱ زائد ثمانية الكل تربيع يساوي واحدًا. بعد ذلك نأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين بحيث يكون ﺱ زائد ثمانية يساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لواحد. وهذا يعطينا قيمتين ممكنتين: إما ﺱ زائد ثمانية يساوي واحدًا أو ﺱ زائد ثمانية يساوي سالب واحد. ولحل هاتين المعادلتين، نطرح ثمانية من كلا الطرفين، فنحصل على ﺱ يساوي سالب سبعة أو ﺱ يساوي سالب تسعة.

أصبح لدينا الآن قيمتان لـ ﺱ لنقطة قيمة عظمى محلية ونقطة قيمة صغرى محلية ممكنتين. ولكن كيف نعرف أيهما العظمى وأيهما الصغرى؟ حسنًا، دعونا أولًا نوجد قيمتي ﺹ المناظرتين. عند ﺱ يساوي سالب سبعة، فإن ﺹ يساوي سالب سالب سبعة ناقص واحد على سالب سبعة زائد ثمانية. يمكن تبسيط هذا إلى سبعة ناقص واحد، وهو ما يساوي ستة. بتكرار هذه العملية عند ﺱ يساوي سالب تسعة، فإن ﺹ يساوي سالب سالب تسعة ناقص واحد على سالب تسعة زائد ثمانية. ويمكن تبسيط هذا إلى تسعة زائد واحد، وهو ما يساوي ١٠. إذن، عند ﺱ يساوي سالب تسعة، فإن ﺹ يساوي ستة. وعند ﺱ يساوي سالب تسعة، فإن ﺹ يساوي ١٠.

يعني هذا أن لدينا نقطتين يمكن أن تكونا نقطة قيمة عظمى محلية أو نقطة قيمة صغرى محلية للدالة. وإحداثياتهما هي سالب سبعة، ستة وسالب تسعة، ١٠. لذلك يمكن أن تناظر القيمتان ستة و١٠ القيمتين العظمى المحلية والصغرى المحلية. ولتحديد أيهما العظمى وأيهما الصغرى، إن كانتا كذلك، نفكر في المشتقة الثانية. إذا كان ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع موجبًا، فإنه يكون لدينا نقطة قيمة صغرى محلية، في حين أنه إذا كان ﺩ اثنين ﺹ على ﺩﺱ تربيع سالبًا، فإنه يكون لدينا نقطة قيمة عظمى محلية. وإذا كانت المشتقة الثانية تساوي صفرًا، يكون لدينا نقطة انقلاب محتملة.

لإيجاد المشتقة الثانية، سوف نشتق التعبير ﺩﺹ على ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. مرة أخرى، يمكننا القيام بذلك حدًّا تلو الآخر، ونتذكر أن اشتقاق أي ثابت يساوي صفرًا. باستخدام قاعدة السلسلة لاشتقاق ﺱ زائد ثمانية أس سالب اثنين بالنسبة إلى ﺱ، نحصل على سالب اثنين مضروبًا في ﺱ زائد ثمانية أس سالب ثلاثة مضروبًا في واحد، وهو ما يبسط إلى سالب اثنين على ﺱ زائد ثمانية تكعيب. يمكننا الآن التعويض بـ ﺱ يساوي سالب سبعة وﺱ يساوي سالب تسعة في هذا التعبير. عند ﺱ يساوي سالب سبعة، فإن المشتقة الثانية تساوي سالب اثنين على سالب سبعة زائد ثمانية تكعيب. وهذا يساوي سالب اثنين. وبما أن سالب اثنين أصغر من صفر، فإن لدينا نقطة قيمة عظمى عند سالب سبعة، ستة.

بتكرار هذه العملية عند ﺱ يساوي سالب تسعة، فإن المشتقة الثانية تساوي سالب اثنين على سالب تسعة زائد ثمانية تكعيب. وهذا يساوي اثنين. وهذه المرة، المشتقة الثانية أكبر من صفر، وبذلك يكون لدينا نقطة قيمة صغرى إحداثياتها سالب تسعة، ١٠. ومن ثم، نستنتج أن الدالة ﺹ يساوي سالب ﺱ ناقص واحد على ﺱ زائد ثمانية لها قيمة عظمى محلية تساوي ستة وقيمة صغرى محلية تساوي ١٠.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.