فيديو السؤال: إيجاد نهاية خارج قسمة الدوال المثلثية والخطية عند نقطة ما الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لستة ناقص ثلاثة ﺱ الكل مقسومًا على جتا خمسة ﺱ.

يطلب منا السؤال إيجاد النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر لخارج قسمة دالتين. أول ما علينا فعله إذا طلب منا إيجاد نهاية مثل هذه، هو أن نطرح على أنفسنا سؤالًا، هل يمكننا إيجاد تلك النهاية باستخدام طريقة التعويض المباشر أم لا؟

أولًا، نرى أنه مطلوب منا إيجاد نهاية خارج قسمة. ونعرف أنه إذا كان ﺩﺱ هو خارج قسمة دالتين، ﺭﺱ وﻕﺱ. ويمكننا إيجاد قيمة ﺭ وﻕ باستخدام طريقة التعويض المباشر عندما يقترب ﺱ من ﺃ. وبالتحديد، نريد أن يكون المقام ﻕ عند ﺃ لا يساوي صفرًا. بعد ذلك، يمكننا إيجاد النهاية عندما يقترب ﺱ من ﺃ لـ ﺩﺱ باستخدام طريقة التعويض المباشر.

في هذه الحالة، البسط ﺭﺱ يساوي ستة ناقص ثلاثة ﺱ، والمقام ﻕﺱ يساوي جتا خمسة ﺱ. علينا إثبات أنه يمكن إيجاد قيمة كل من ﺭ وﻕﺱ باستخدام طريقة التعويض المباشر عندما يقترب ﺱ من ﺃ. ونحتاج أيضًا إلى أن تكون قيمة ﻕ عند ﺃ لا تساوي صفرًا. إذا استطعنا إثبات أن كل هذا صحيح، فيمكننا إيجاد النهاية الأصلية باستخدام طريقة التعويض المباشر.

لنبدأ بالبسط ﺭﺱ. نلاحظ أن ﺭﺱ، والذي يساوي ستة ناقص ثلاثة ﺱ، دالة خطية، وهي ذاتها تعني أنها كثيرة حدود. ونعرف أنه يمكن إيجاد كل الدوال الكثيرات الحدود باستخدام طريقة التعويض المباشر لكل القيم الحقيقية ﺃ. إذن يمكننا إيجاد البسط ﺭﺱ باستخدام طريقة التعويض المباشر عندما يقترب ﺱ من الصفر.

بعد ذلك، علينا إثبات أنه يمكن إيجاد قيمة الدالة ﻕﺱ باستخدام طريقة التعويض المباشر. والدالة ﻕﺱ تساوي جتا خمسة ﺱ، وهي دالة مثلثية. ونعرف أنه يمكن إيجاد قيمة كل الدوال المثلثية باستخدام طريقة التعويض المباشر، طالما أن ﺱ يقترب من قيمة معينة في مجالها. وفي هذه الحالة، فإننا نوجد النهاية عندما يقترب ﺱ من صفر. لذا فإننا نريد أن يساوي ﺃ صفرًا. ونعرف أن جتا خمسة ﺱ معرفة لكل القيم الحقيقية لـ ﺱ. وعليه، نجد أن صفرًا على وجه التحديد يقع في مجال هذه الدالة. إذن إذا جعلنا ﺃ يساوي صفرًا، فقد أوضحنا أنه يمكن إيجاد المقام ﻕﺱ باستخدام طريقة التعويض المباشر عندما يقترب ﺱ من صفر.

آخر شيء نحتاج إليه هو أن قيمة ﻕ عند صفر لا تساوي صفرًا. ويمكننا إيجاد قيمة ذلك مباشرة. وعليه، فإن قيمة ﻕ عند صفر تساوي جتا خمسة في صفر، وهو ما يساوي جتا صفر، والذي نعلم أنه يساوي واحدًا. إذن قيمة ﻕ عند صفر لا تساوي صفرًا. وهذا يعني أنه يمكننا إيجاد النهاية باستخدام طريقة التعويض المباشر. إذن سنعوض عن ﺱ بصفر في الدالة ﺩﺱ، التي هي ﺭﺱ مقسومًا على ﻕﺱ. وهذا يعطينا ستة ناقص ثلاثة في صفر مقسومًا على جتا خمسة في صفر.

ويمكننا إيجاد قيمة هذا التعبير. فالبسط الذي يساوي ستة ناقص ثلاثة في صفر يساوي ستة ناقص صفر. وجتا خمسة في صفر يساوي جتا صفر، وهو ما يساوي واحدًا. وعليه، نحصل على ستة مقسومًا على واحد، وهو ما يساوي ستة. لقد أوضحنا أن النهاية، عندما يقترب ﺱ من صفر لستة ناقص ثلاثة ﺱ مقسومًا على جتا خمسة ﺱ، تساوي ستة.