فيديو السؤال: إيجاد مساحة القطاع الدائري

نسخة الفيديو النصية

أوجد مساحة الشكل المعطى، بدلالة 𝜋.

الشكل الموضح هو قطاع دائري، رغم أنه قد لا يبدو كذلك. ونعرف أن صيغة مساحة القطاع الدائري هي نصف في نق تربيع في 𝜃، حيث نق هو نصف القطر و𝜃 هو قياس الزاوية المركزية للقطاع بالراديان. يمكننا استخدام هذه المعلومات لإيجاد مساحة القطاع، لكن هناك شيئين علينا فعلهما أولًا.

سنبدأ بإيجاد قياس الزاوية المركزية للقطاع. نستخدم حقيقة أن مجموع قياسات الزوايا حول نقطة ما يساوي ٣٦٠ درجة. نعرف أن هذا الرمز الصغير يعني أن هذه زاوية قائمة، ومن ثم فقياسها ٩٠ درجة. لإيجاد قياس الزاوية المركزية، سنطرح ٩٠ من ٣٦٠. فنعرف من ذلك أن قياس الزاوية المركزية يساوي ٢٧٠ درجة. لكن لا تصح هذه الصيغة إلا إذا كانت الزاوية المركزية معطاة بالراديان. إذن سنستخدم حقيقة أننا نعرف أن اثنين 𝜋 راديان يساوي ٣٦٠ درجة.

يمكننا إيجاد عدد الراديان الذي يساوي درجة واحدة عن طريق قسمة كل شيء على ٣٦٠. وبذلك فإن اثنين 𝜋 على ٣٦٠ تبسط إلى 𝜋 على ١٨٠. إذن، الدرجة الواحدة تساوي 𝜋 على ١٨٠. يمكننا الآن إيجاد قياس الزاوية المركزية للقطاع عن طريق ضرب قياس الزاوية بالدرجات في 𝜋 على ١٨٠. وذلك يساوي ٢٧٠ في 𝜋 على ١٨٠، ما يساوي ثلاثة 𝜋 على اثنين. كان بإمكاننا في الغالب ملاحظة ذلك من البداية. تذكر أن الدورة الكاملة تساوي اثنين 𝜋. وهذا يعني أن نصف الدورة يساوي واحد 𝜋. ومن ثم نرى أنه بالنسبة للزاوية المركزية، نكمل نصف دورة ثم ربع دورة. إذن 𝜋 زائد نصف 𝜋، ما نعرف أنه يعادل ثلاثة 𝜋 على اثنين.

لدينا الآن كل ما نحتاج إليه لإيجاد مساحة القطاع. فإن نصف قطره يساوي خمسة وقياس زاويته بالراديان يساوي ثلاثة 𝜋 على اثنين. إذن، المساحة تساوي نصفًا في خمسة تربيع في ثلاثة 𝜋 على اثنين. خمسة تربيع هو العدد خمسة مضروبًا في خمسة، ما يساوي ٢٥. وعند ضرب الكسور والأعداد الصحيحة، يكون من المنطقي منح العدد الصحيح مقامًا. فنمنحه المقام واحدًا بما أن ٢٥ يعادل ٢٥ على واحد. ثم نضرب البسوط. واحد في ٢٥ في ثلاثة 𝜋 يساوي ٧٥‏𝜋‏. وبضرب المقامات، نحصل على اثنين في واحد في اثنين يساوي أربعة. إذن، المساحة تساوي ٧٥‏𝜋‏ على أربعة، أو ٧٥ على أربعة 𝜋. لا توجد وحدات في السؤال؛ لذا ليس علينا كتابة وحدات في الإجابة. لكن إذا أردنا ذلك، يمكننا القول: إنها تعادل ٧٥ على أربعة 𝜋 وحدة مربعة.