فيديو السؤال: إيجاد المسافة بين مستويين الرياضيات

أوجد، لأقرب منزلتين عشريتين، المسافة بين المستويين ٢(ﺱ − ٢) + (ﺹ − ٣) + ٣(ﻉ − ١) = ٠ وﺭ ⋅ ⟨٤‎، ٢‎، ٦⟩ = ١٢.

٠٤:٣٣

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد، لأقرب منزلتين عشريتين، المسافة بين المستويين اثنان في ﺱ ناقص اثنين زائد ﺹ ناقص ثلاثة زائد ثلاثة في ﻉ ناقص واحد يساوي صفرًا، والمتجه ﺭ ضرب قياسي أربعة، اثنين، ستة يساوي ١٢.

يطلب منا هذا السؤال إيجاد المسافة بين مستويين. إذن، أول شيء علينا فعله هو التحقق مما إذا كان المستويان متوازيين. وإذا كان ذلك صحيحًا، يمكننا تطبيق صيغة البعد العمودي. لعلنا نتذكر أن المستويين يكونان متوازيين إذا كان المتجهان العموديان على كل مستوى متوازيين. المستوى الأول معطى لنا على الصورة الكارتيزية. وعند فك الأقواس، يمكننا إيجاد معاملات ﺱ وﺹ وﻉ. باستخدام هذه المعاملات، نحصل على المتجه العمودي على هذا المستوى وهو المتجه اثنان، واحد، ثلاثة. أما المتجه العمودي على المستوى الثاني، فهو المتجه أربعة، اثنان، ستة.

يمكننا ملاحظة أن كلًّا من هذين المتجهين العموديين مضاعف قياسي للآخر. وهذا يعني أن المستويين متوازيان. الآن، بعد أن علمنا أن هذين المستويين متوازيان، يمكننا إيجاد المسافة بينهما عن طريق تحديد نقطة على أحد المستويين، وإيجاد المسافة بين هذه النقطة والمستوى الآخر. سنوجد نقطة على المستوى الأول. وإحدى الطرق التي يمكننا بها فعل ذلك هي جعل ﺱ يساوي صفرًا وﺹ يساوي صفرًا. بهذه الطريقة، نحصل على المعادلة اثنان في سالب اثنين زائد سالب ثلاثة زائد ثلاثة ﻉ ناقص ثلاثة يساوي صفرًا. وبتبسيط ذلك، نحصل على ثلاثة ﻉ ناقص ١٠ يساوي صفرًا، وهو ما يعطينا ﻉ يساوي ١٠ على ثلاثة. بما أننا افترضنا أن ﺱ وﺹ يساويان صفرًا، يمكننا القول إن النقطة صفر، صفر، ١٠ على ثلاثة تقع على هذا المستوى.

يمكننا الآن تطبيق الصيغة التي تنص على أن البعد العمودي، المشار إليه بـ ل، بين النقطة ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد، ومتجه المستوى ﺭ ضرب قياسي ﺃ، ﺏ، ﺟ يساوي سالب د؛ يعطى بالعلاقة ل يساوي مقدار ﺃﺱ واحد زائد ﺏﺹ واحد زائد ﺟﻉ واحد زائد د على الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع زائد ﺟ تربيع. ولفعل ذلك، يمكننا كتابة القيم التي سنعوض بها في الصيغة على الصورة ﺱ واحد يساوي صفرًا، وﺹ واحد يساوي صفرًا، وﻉ واحد يساوي ١٠ على ثلاثة. ومن ثم، بالنظر إلى المستوى لدينا نجد أن ﺃ يساوي أربعة، وﺏ يساوي اثنين، وﺟ يساوي ستة. وبما أن سالب د يساوي ١٢، فلا بد أن د يساوي سالب ١٢.

نحن الآن جاهزون للتعويض بهذه القيم في الصيغة. وعليه، تصبح الصيغة لدينا هي ل يساوي معيار أربعة في صفر زائد اثنين في صفر زائد ستة في ١٠ على ثلاثة زائد سالب ١٢ على الجذر التربيعي لأربعة تربيع زائد اثنين تربيع زائد ستة تربيع. يمكننا تبسيط ذلك إلى معيار ٢٠ ناقص ١٢ على الجذر التربيعي لـ ١٦ زائد أربعة زائد ٣٦. في البسط، معيار ثمانية يساوي ثمانية. وفي المقام، لدينا الجذر التربيعي لـ ٥٦. وبما أنه مطلوب منا إيجاد الناتج لأقرب منزلتين عشريتين، فسنستخدم الآلة الحاسبة لإيجاد العدد العشري المكافئ لذلك. وهذا يساوي ١٫٠٦٩٠ وهكذا مع توالي الأرقام. بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نجد أن المسافة بين المستويين المعطيين تساوي ١٫٠٧ وحدة طول.

لاحظ أننا في هذا المثال، حددنا نقطة على المستوى الأول المعطى وأوجدنا المسافة بين هذه النقطة والمستوى الثاني. لكن، كان بإمكاننا فعل ذلك أيضًا في الاتجاه الآخر. على سبيل المثال، كان من الممكن أن نحدد نقطة على المستوى الثاني ونوجد المسافة بين هذه النقطة والمستوى الأول. كلتا الطريقتين تعطينا البعد العمودي نفسه الذي يساوي ١٫٠٧ وحدة طول، لأقرب منزلتين عشريتين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.