نسخة الفيديو النصية
إذا كانت القوتان ﻕ واحد تساوي سالب ﺱ زائد اثنين ﺹ وﻕ اثنان تؤثران على النقطتين ﺃ اثنين، اثنين وﺏ سالب اثنين، سالب اثنين على الترتيب لتشكلا ازدواجًا، فأوجد المسافة العمودية بين القوتين.
علمنا من المعطيات مقدار القوة الأولى ﻕ واحد ومركباتها. وأن هناك قوة أخرى ﻕ اثنين، وهي تشكل ازدواجًا مع ﻕ واحد. كما علمنا مواضع تأثير القوتين على المستوى الإحداثي ﺱﺹ. تؤثر ﻕ واحد عند النقطة ﺃ. وتؤثر ﻕ اثنان عند النقطة ﺏ. إننا نريد إيجاد المسافة العمودية بين هاتين القوتين؛ ﻕ واحد وﻕ اثنين. سنطلق على هذه المسافة ﻑ. ولكي نبدأ في الحل، دعونا نتذكر تعريف ازدواج القوة.
الازدواج، كما نتذكر، هو زوج من القوى المتوازية المتساوية في المقدار والمتضادة في الاتجاه، ولا تقعان في خط العمل نفسه. وعلمنا أن ﻕ واحد وﻕ اثنين تتوافقان مع تعريف الازدواج هذا. إذا قمنا بتمثيل هاتين القوتين على مستوى إحداثي ﺱﺹ، فإننا نعلم أن ﻕ واحد تؤثر عند النقطة ﺃ، وﻕ اثنين تؤثر عند النقطة ﺏ. وبناء على مركبات ﻕ واحد، يمكننا رسمها على هذا التمثيل البياني. وعلى الرغم من أننا ليس لدينا أي معطيات عن مركبات ﻕ اثنين، فيمكننا أن نستنتج إحداثياتها ونمثلها بيانيًّا لأنها تشكل ازدواجًا مع ﻕ واحد.
في هذا التدريب، نريد إيجاد المسافة العمودية ﻑ التي تفصل بين خطي العمل هذين. إذا مددنا الخطين اللذين تؤثر القوتان ﻕ واحد وﻕ اثنان على امتداديهما، يمكننا بدءًا من نقطة الأصل رسم الخط المستقيم ﻑ؛ بحيث يكون عموديًّا على خطي عمل القوتين.
في هذه المرحلة، نريد كتابة معادلة المستقيم الذي تؤثر القوة ﻕ واحد على امتداده. إذا أسمينا معادلة هذا الخط، ﺹﻕ واحد، فسنجد أن الصورة العامة هي: ﻡ في ﺱ زائد ﺏ؛ حيث ﻡ هو ميل الخط، وﺏ هو الجزء المقطوع من المحور ﺹ. وبالنظر مرة أخرى إلى التمثيل البياني، يمكننا أن نرى ما يساويه ميل هذا الخط. التغير في ﺹ مقسومًا على التغير في ﺱ، بالنسبة للخط المستقيم الذي تقع ﻕ واحد على امتداده، يساوي اثنين مقسومًا على سالب واحد؛ أي سالب اثنين. إذن ميل الخط، ﺹﻕ واحد، يساوي سالب اثنين.
مرة أخرى، بالنظر إلى التمثيل البياني الموجود لدينا، يمكننا استكمال الخط المستقيم الذي تقع ﻕ واحد على امتداده لنرى أين سيتقاطع مع المحور ﺹ. وبما أن الجزء المقطوع من المحور ﺱ لهذا الخط يقع عند ﺱ يساوي ثلاثة، فإن هذا يعني أنه عند التحرك إلى اليسار بمقدار هذه الوحدات الثلاث حتى نصل إلى ﺱ يساوي صفرًا، فإن التغير الرأسي للخط خلال هذه المسافة سيساوي ست وحدات. بعبارة أخرى، الجزء المقطوع من المحور ﺹ يساوي موجب ستة.
نريد الآن أن نفعل الشيء نفسه، لكن بالنسبة للخط ﻑ. أي إننا نريد إيجاد معادلة هذا المستقيم على الصورة: ﻡﺱ زائد ﺏ. عندما نفكر في ميل ﺹﻑ، فإننا نتذكر أنه بسبب تعامد هذا الخط على الخط الذي تقع ﻕ واحد على امتداده نجد أن ميله يساوي سالب مقلوب ميل الخط ﺹﻕ واحد. وهذا يساوي سالب مقلوب سالب اثنين. أي يساوي موجب نصف.
بالرجوع إلى التمثيل البياني، نلاحظ أننا رسمنا الخط ﻑ بحيث يمر بنقطة الأصل. بعبارة أخرى، الجزء المقطوع من المحور ﺹ يساوي صفرًا. لدينا الآن معادلتان؛ إحداهما هي معادلة الخط المستقيم الذي تقع ﻕ واحد على امتداده، والأخرى هي معادلة الخط العمودي عليه، وهو الذي يمر بنقطة الأصل. ما نريد إيجاده تاليًا هو النقطة التي يتقاطع عندها هذان الخطان في المستوى.
ولإيجاد إحداثيات هذه النقطة، سنساوي معادلتي هذين الخطين. إنهما تتساويان عند هذه النقطة. إذا كانت ﺹﻕ واحد تساوي ﺹﻑ، فهذا يعني أن سالب اثنين ﺱ زائد ستة يساوي نصف ﺱ. بإعادة ترتيب هذه المعادلة، نجد أن ﺱ يساوي ١٢ على خمسة عند تقاطع هذين الخطين. إذن يمكننا كتابة الإحداثي ﺱ لهذه النقطة، ونحن على وشك إيجاد الإحداثي ﺹ. عند ﺱ يساوي ١٢ على خمسة، نجد من معادلة ﺹﻑ أن ﺹ يساوي نصف هذه القيمة؛ أي ستة مقسومًا على خمسة.
كل شيء يسير على ما يرام الآن. نحن لدينا النقطة التي يتقاطع عندها ﺹﻕ واحد وﺹﻑ. ولدينا أيضًا نقطة أخرى على الخط ﻑ؛ وهي نقطة الأصل. نلاحظ أننا إذا حسبنا المسافة بين هاتين النقطتين، فسنجد أنها نصف المسافة الكلية ﻑ. وبينما نبدأ في إيجاد قيمة ﻑ، دعونا نتذكر أن المسافة بين أي نقطتين في المستوى ﺱﺹ، سنشير إليها بـ ﻑ واحد، تساوي الجذر التربيعي للتغير في ﺱ تربيع زائد التغير في ﺹ تربيع. إذن في هذه الحالة، ﻑ على اثنين يساوي الجذر التربيعي لـ ١٢ على خمسة ناقص صفر؛ أي التغير في ﺱ تربيع، زائد ستة على خمسة ناقص صفر؛ أي التغير في ﺹ تربيع. وبحذف الأصفار، نحصل على هذه الصورة المبسطة للمعادلة.
إذا ضربنا طرفي المعادلة في اثنين ثم أخرجنا العامل المشترك واحدًا على خمسة تربيع من الجذر التربيعي، فسنجد أن ﻑ يساوي اثنين مقسومًا على خمسة مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ١٢ تربيع زائد ستة تربيع. ١٢ تربيع زائد ستة تربيع يساوي ١٨٠، ويمكننا كتابتها أيضًا على الصورة ٣٦ في خمسة، أو ستة في ستة في خمسة. بإخراج العامل ستة خارج علامة الجذر التربيعي، نجد أن ﻑ يساوي ١٢ مقسومًا على خمسة في الجذر التربيعي لخمس وحدات طول. وهذه هي المسافة العمودية بين خطي عمل هاتين القوتين.
