نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد متتابعة، إلى جانب بعض الخواص المشتركة للمتتابعات. لعلنا نتذكر أن المتتابعة في الرياضيات هي قائمة مرتبة من الحدود. وفي هذا الفيديو، سنركز على المتتابعات العددية. تتضمن المتتابعات الشائعة الأعداد الصحيحة واحدًا واثنين وثلاثة وأربعة وهكذا، والأعداد المربعة واحدًا وأربعة وتسعة و١٦ وهكذا، بالإضافة إلى العديد من الأعداد الأخرى المتعارف عليها. يعد ترتيب المتتابعة مهمًّا. فعلى سبيل المثال، ترتيب واحد، أربعة، تسعة، ١٦ ليس كترتيب واحد، تسعة، أربعة، ١٦. وهذا فارق رئيسي بين متتابعة أعداد ومجموعة أعداد.
في هذا الفيديو، سنركز على نوعين من المتتابعات؛ المتتابعات الحسابية، والمتتابعات الهندسية. المتتابعة الحسابية هي التي يمكن الحصول فيها على كل حد من الحد السابق بإضافة الفرق المشترك (أساس المتتابعة الحسابية) ﺩ. بعبارة أخرى، تكون المتتابعة حسابية إذا كان ﺡ ﻥ زائد واحد يساوي ﺡ ﻥ زائد ﺩ؛ حيث ﺡ ﻥ هو الحد العام وﻥ هو أي عدد طبيعي. وسيكون ﺡ ﻥ زائد واحد هو الحد الذي يلي هذا. وبطرح ﺡ ﻥ من طرفي هذه المعادلة، فإنه يمكن إعادة كتابتها كما هو موضح.
دعونا نتناول المتتابعة ثلاثة، تسعة، ١٥، ٢١، وهكذا. الحد الأول في هذه المتتابعة الذي يرمز له بـ ﺡ واحد يساوي ثلاثة، وﺡ اثنان يساوي تسعة، وﺡ ثلاثة ١٥، وﺡ أربعة يساوي ٢١. ويمكننا إثبات أن هذه المتتابعة هي متتابعة حسابية بالنظر إلى الفرق بين أزواج حدود متتالية. بطرح الحد الأول من الحد الثاني، نحصل على تسعة ناقص ثلاثة، ما يساوي ستة. ﺡ ثلاثة ناقص ﺡ اثنين يساوي ستة أيضًا. وعندما نطرح الحد الثالث، أي ﺡ ثلاثة، من الحد الرابع، أي ﺡ أربعة، نحصل أيضًا على الناتج ستة. إذن المتتابعة ثلاثة، تسعة، ١٥، ٢١ لها فرق مشترك يساوي ستة، ومن ثم فهي متتابعة حسابية. من المهم أن نلاحظ أن الفرق المشترك قد يكون سالبًا، وفي هذه الحالة، سيكون كل حد من المتتابعة أقل من الحد الذي يسبقه.
سنتناول الآن تعريف المتتابعة الهندسية. المتتابعة الهندسية هي التي يمكن الحصول فيها على كل حد من الحد السابق بالضرب في النسبة المشتركة (أساس المتتابعة الهندسية) ﺭ. بعبارة أخرى، تكون المتتابعة هندسية إذا كان ﺡ ﻥ زائد واحد يساوي ﺡ ﻥ مضروبًا في ﺭ. وبقسمة الطرفين على ﺡ ﻥ، فإنه يمكننا كتابة ذلك أيضًا على الصورة ﺡ ﻥ زائد واحد مقسومًا على ﺡ ﻥ يساوي النسبة المشتركة ﺭ. دعونا نتناول المتتابعة ثلاثة، ستة، ١٢، ٢٤، وهكذا. مرة أخرى، سنفترض أن كل حد من هذه الحدود هو ﺡ واحد، ﺡ اثنين، ﺡ ثلاثة، ﺡ أربعة، على الترتيب. بقسمة ﺡ اثنين على ﺡ واحد، نحصل على ستة مقسومًا على ثلاثة، وهو ما يساوي اثنين. وعندما نقسم الحد الثالث على الحد الثاني، نحصل أيضًا على الناتج اثنين.
وأخيرًا، نحصل على الناتج اثنين أيضًا عند قسمة ﺡ أربعة على ﺡ ثلاثة. يعني هذا أن النسبة المشتركة لدينا تساوي اثنين، والمتتابعة ثلاثة، ستة، ١٢، ٢٤، وهكذا متتابعة هندسية. عند التعامل مع المتتابعات الحسابية، لاحظنا أن كل حد تال يكون إما أكبر أو أصغر من الحد الذي يسبقه. ويعتمد ذلك على إذا ما كان الفرق المشترك موجبًا أو سالبًا. أما المتتابعة الهندسية، فيمكن أن تتغير النسبة المشتركة ما بين قيمة موجبة وقيمة سالبة. وهذا يحدث عندما تكون النسبة المشتركة ﺭ سالبة. على سبيل المثال، المتتابعة ثلاثة، سالب ستة، ١٢، سالب ٢٤، وهكذا، لها نسبة مشتركة تساوي سالب اثنين. في المثال الأول، سنتناول إذا ما كانت قائمة مجموعة متتابعات حسابية أم هندسية أم غير ذلك.
أي المتتابعات الآتية لا تصنف متتابعة حسابية ولا متتابعة هندسية؟ هل هي (أ) نصف، واحد، ثلاثة على اثنين، اثنان، وهكذا؟ (ب) نصف، ثلث، ربع، خمس، وهكذا. (ج) نصف، ربع، ثمن، واحد على ١٦، وهكذا. (د) تسع، سالب ثلث، واحد، سالب ثلاثة، وهكذا. (هـ) واحد، ثلث، سالب ثلث، سالب أربعة أثلاث، وهكذا.
سنبدأ باسترجاع ما تعنيه المتتابعة الحسابية والمتتابعة الهندسية. لكن من المهم ملاحظة أننا نبحث عن متتابعة أو متتابعات ليست من أي من هذين النوعين. تكون المتتابعة حسابية إذا كان ﺡ ﻥ زائد واحد ناقص ﺡ ﻥ يساوي ﺩ. بعبارة أخرى، الفرق بين الحدود المتتالية هو فرق ثابت. لنتناول الآن إذا ما كان أي من الخيارات المذكورة يحقق هذه الخاصية. بطرح الحد الأول من الحد الثاني في الخيار (أ)، نحصل على نصف. وينطبق هذا أيضًا عند طرح الحد الثاني من الحد الثالث، وعند طرح الحد الثالث من الحد الرابع. يمكننا إذن استنتاج أن المتتابعة: نصفًا، واحدًا، ثلاثة على اثنين، اثنين؛ لها فرق مشترك يساوي نصفًا، ومن ثم فهي متتابعة حسابية.
بالتعويض بالحدود المتتالية من الخيار (ب)، نلاحظ أنه لا يوجد فرق مشترك. وهذا يعني أن هذه ليست متتابعة حسابية. ينطبق الأمر نفسه على الخيارات (ج) و(د) و(هـ). لكن، علينا النظر إلى الخيار (هـ) جيدًا. بطرح الحد الأول من الحد الثاني هنا، نحصل على سالب ثلثين، وهذا ما نحصل عليه أيضًا عند طرح الحد الثاني من الحد الثالث. لكن طرح الحد الثالث من الحد الرابع لا يعطينا سالب ثلثين. وهذا يؤكد أهمية التحقق من جميع أزواج الحدود المتتالية.
نسترجع الآن تعريف المتتابعة الهندسية. تكون المتتابعة هندسية إذا كان ﺡ ﻥ زائد واحد مقسومًا على ﺡ ﻥ يساوي النسبة المشتركة ﺭ. ويجب أن يكون خارج قسمة الحدود المتتالية متساويًا. بقسمة الحدود المتتالية في الخيار (ب)، يكون لدينا ثلث مقسومًا على نصف، وربع مقسومًا على ثلث، وخمس مقسومًا على ربع. نتذكر أن القسمة على كسر هي نفسها الضرب في مقلوبه، فنحصل على النواتج ثلثين، وثلاثة أرباع، وأربعة أخماس. هذا يعني أن الخيار (ب) ليس له نسبة مشتر كة، إذن فهو ليس متتابعة هندسية. وعليه، نستنتج أن الخيار (ب) إجابة صحيحة. فلا يمكن تصنيف هذه المتتابعة على أنها متتابعة حسابية أو هندسية.
قبل أن ننتهي من هذا السؤال، من المهم أن نتحقق إذا ما كانت الخيارات (ج) و(د) و(هـ) تمثل متتابعات هندسية. بقسمة الحدود المتتالية في الخيار (ج)، نحصل على نسبة مشتركة تساوي نصفًا. يعني هذا أن هذه المتتابعة هندسية، ومن ثم فهي ليست إجابة صحيحة. بقسمة الحدود المتتالية في الخيار (د)، نحصل أيضًا على نسبة مشتركة، وهي هذه المرة تساوي سالب ثلاثة. إذن، المتتابعة تسع، سالب ثلث، واحد، سالب ثلاثة هي متتابعة هندسية. وأخيرًا، بقسمة الحدود المتتالية في الخيار (هـ)، نلاحظ عدم وجود نسبة مشتركة. هذا يعني أن هذه المتتابعة ليست هندسية، وقد أثبتنا بالفعل أنها غير حسابية. إذن، المتتابعة نصف، ثلث، ربع، خمس، وهكذا، والمتتابعة واحد، ثلث، سالب ثلث، سالب أربعة أثلاث، وهكذا؛ لا يمكن تصنيفهما أنهما متتابعتان حسابيتان أو هندسيتان.
في المثال التالي، سنتناول مجال ومدى متتابعة. لكن دعونا أولًا نتذكر ما نعنيه بهذين المصطلحين. يشير مجال الدالة إلى مجموعة القيم المدخلة، ويشير المدى إلى مجموعة القيم المخرجة. وعلى عكس الدوال؛ فعند التعامل مع المتتابعات، يجب أن يكون المجال والمدى مجموعتين متقطعتين من القيم. وفي المثال التالي، سيكون ذلك موضحًا على تمثيل بياني.
أوجد مدى المتتابعة الحسابية غير المنتهية الممثلة في الشكل الآتي. هل هو (أ) مجموعة القيم الحقيقية كلها؟ (ب) مجموعة الأعداد واحد، اثنين، ثلاثة، أربعة، وهكذا. (ج) القيم الواقعة في الفترة المغلقة من سالب ثمانية إلى أربعة. (د) مجموعة الأعداد أربعة، صفر، سالب أربعة، سالب ثمانية. (هـ) مجموعة الأعداد أربعة، صفر، سالب أربعة، سالب ثمانية، وهكذا.
علمنا من السؤال أن المتتابعة المعطاة هي متتابعة حسابية. كما علمنا أيضًا أنها غير منتهية، ما يعني أن المدى لا بد أن يكون أيضًا غير منته. ومن ثم، يمكننا استبعاد الخيارين (ج) و(د)؛ لأنهما يحتويان على مجموعة منتهية من القيم. إحداثيات النقاط الأربع الموضحة في الشكل هي: واحد، أربعة، واثنان، صفر، وثلاثة، سالب أربعة، وأربعة، سالب ثمانية. نحن نعلم أن مدى الدالة هو مجموعة القيم المخرجة أو قيم ﺹ. ونجد هنا أنها تساوي أربعة وصفرًا وسالب أربعة وسالب ثمانية، وهي قيم ﺡ ﻥ. مدى المتتابعة الحسابية غير المنتهية الممثلة في الشكل هو: أربعة، صفر، سالب أربعة، سالب ثمانية، وهكذا. هذا يعني أن الإجابة الصحيحة هي الخيار (هـ).
الخيار (ب)، وهو مجموعة القيم واحد، اثنين، ثلاثة، أربعة، وهكذا، يشير إلى المجال؛ حيث هذه هي مجموعة القيم المدخلة أو قيم ﺱ. عند التعامل مع أي متتابعة، نعلم أن المدى يجب أن يكون مجموعة متقطعة من القيم. وبما أن الخيار (أ)، وهو مجموعة الأعداد الحقيقية، يمثل قيمًا متصلة، فإنه يمكننا استبعاده. هذا يؤكد أن (هـ) هو الخيار الصحيح.
في المثال الأخير، سنتناول متتابعة ممثلة بنمط.
انظر النمط الموضح. أي المتتابعات الآتية تمثل عدد المثلثات الزرقاء المصمتة في كل حد متتال من النمط؟ هل هي (أ) اثنان، ثمانية، ٢٦، ٨٠، وهكذا؟ (ب) واحد، ثلاثة، تسعة، ٢٧، وهكذا. (ج) اثنان، ستة، ١٨، ٥٤، وهكذا. (د) اثنان، أربعة، ١٢، ٣٦، وهكذا. (هـ) اثنان، أربعة، ثمانية، ١٦، وهكذا. ما نوع المتتابعة التي نوجدها عند حساب عدد المثلثات الزرقاء المصمتة في النمط السابق؟
في هذا السؤال، ما يعنينا هو عدد المثلثات الزرقاء المصمتة في كل حد. ولدينا خمس متتابعات محتملة تعبر عن ذلك. في الحد الأول، من الواضح أن هناك مثلثين أزرقين. وهذا يجعلنا نستبعد مباشرة الخيار (ب)؛ حيث إن الحد الأول في هذه المتتابعة هو واحد. في الحد الثاني، توجد ستة مثلثات زرقاء. ومن ثم، نستبعد الخيارات (أ) و(د) و(هـ)؛ حيث إن الحد الثاني فيها هو ثمانية وأربعة وأربعة، على الترتيب. حتى الآن، يطابق أول حدين في السؤال أول حدين في الخيار (ج). في الحد الثالث، يوجد في كل جزء من الأجزاء المحددة بدوائر ثلاثة مثلثات زرقاء. وبما أن لدينا ستة أجزاء، فهذا يعطينا إجمالًا ١٨ مثلثًا أزرق. وهذا أيضًا يتوافق مع الحد الثالث في الخيار (ج).
في الحد الرابع، يحتوي كل جزء من الأجزاء المحددة بدوائر على تسعة مثلثات زرقاء، وهو ما يساوي إجمالًا ٥٤ مثلثًا أزرق. إن المتتابعة التي تمثل عدد المثلثات الزرقاء المصمتة هي اثنان، ستة، ١٨، ٥٤، وهكذا. يمكننا إذن استنتاج أن الإجابة الصحيحة هي الخيار (ج).
في الجزء الثاني من السؤال، مطلوب منا إيجاد نوع المتتابعة الموضحة. فقد تكون هذه متتابعة حسابية، أو هندسية، أو غير ذلك. نسترجع معًا أن المتتابعة الحسابية لها فرق مشترك بين الحدود المتتالية. ومن الواضح أن هذا لا ينطبق على هذه المتتابعة. المتتابعة الهندسية لها نسبة مشتركة بين الحدود المتتالية. وبما أن اثنين مضروبًا في ثلاثة يساوي ستة، وستة مضروبًا في ثلاثة يساوي ١٨،و١٨ مضروبًا في ثلاثة يساوي ٥٤، فإن المتتابعة اثنين، ستة، ١٨، ٥٤ لها نسبة مشتركة تساوي ثلاثة. نستنتج إذن أن نوع المتتابعة التي نوجدها عند حساب عدد المثلثات الزرقاء المصمتة في النمط هو متتابعة هندسية.
سنلخص الآن بعض النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. تكون المتتابعة ﺡ ﻥ حسابية إذا كان ﺡ ﻥ زائد واحد ناقص ﺡ ﻥ يساوي ﺩ لجميع الأعداد الطبيعية ﻥ. القيمة ﺩ تعرف باسم «الفرق المشترك» أو «أساس المتتابعة». تكون المتتابعة ﺡ ﻥ هندسية إذا كان ﺡ ﻥ زائد واحد مقسومًا على ﺡ ﻥ يساوي ﺭ لجميع الأعداد الطبيعية ﻥ؛ حيث ﺭ هو النسبة المشتركة أو أساس المتتابعة الهندسية. يمكن أن تكون المتتابعات حسابية أو هندسية أو غير ذلك. مجال المتتابعة هو المجموعة المتقطعة من القيم المدخلة، وهي تكون عادة مجموعة أعداد صحيحة موجبة، في حين أن مدى المتتابعة هو مجموعة متقطعة من القيم المخرجة. عند رسم هذه النقاط على تمثيل بياني، يمكن أن يساعد الشكل في تحديد إذا ما كانت المتتابعة حسابية أم هندسية.
