فيديو السؤال: إيجاد كثافة المائع باستخدام مانومتر عمود السائل الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

يوضح الشكل مانومترًا يتصل أحد طرفيه بمستودع غاز، ويتصل الطرف المقابل بالغلاف الجوي. ضغط مستودع الغاز ‪𝑃‬‏ الغاز يساوي 112.5 كيلو باسكال، والضغط الجوي ‪𝑃‬‏ الغلاف الجوي يساوي 101.3 كيلو باسكال. يحتوي الأنبوب الذي على شكل حرف ‪U‬‏ على زيت. قمة عمود الزيت المتصل بالضغط الجوي تقع رأسيًّا أعلى قمة عمود الزيت المتصل بمستودع الغاز. المسافة الرأسية بين قمتي العمودين ‪ℎ‬‏ تساوي 95.15 سنتيمترًا. ما كثافة الزيت؟

يوضح الشكل مانومترًا بأنبوب على شكل حرف ‪U‬‏ مفتوح من أحد طرفيه للغلاف الجوي، بينما الطرف الآخر متصل بمستودع غاز. يوجد زيت داخل هذا الأنبوب. وارتفاع عمود الزيت في طرف الأنبوب الأيسر أعلى من ارتفاع عمود الزيت في طرف الأنبوب الأيمن بمقدار المسافة ‪ℎ‬‏. بمعلومية كل من ضغط الغاز في المستودع وضغط الغلاف الجوي، نريد إيجاد كثافة هذا الزيت.

بتسجيل المعطيات التي لدينا بشأن ضغط الغلاف الجوي، وضغط الغاز، وفرق الارتفاع بين عمودي الزيت في طرفي الأنبوب الذي على شكل حرف ‪U‬‏، دعونا الآن نفرغ بعض المساحة على الشاشة، ونبدأ بالتفكير فيما يعنيه أن يكون ارتفاع عمود الزيت في أحد طرفي الأنبوب يختلف عن ارتفاعه في الطرف الآخر.

أول ما يمكننا ملاحظته أن الضغط المؤثر على هذا الخط الوردي المتقطع عند أي نقطة فيه داخل الأنبوب يكون متساويًا. بعبارة أخرى، الضغط المؤثر هنا في الأنبوب يساوي الضغط المؤثر هنا. وبما أن النظام في حالة اتزان، فهذا يعني أن الضغط عند أي نقطة متساو في جميع الاتجاهات. إذن، الضغط الكلي المؤثر لأسفل في طرف الأنبوب الأيمن على طول هذا الخط الوردي يساوي الضغط الكلي المؤثر لأسفل في طرف الأنبوب الأيسر على طول ذلك الخط.

في الطرف الأيمن، هذا الضغط المؤثر لأسفل ناتج بالكامل عن ضغط الغاز في المستودع. وفي الطرف الأيسر، ذلك الضغط المؤثر لأسفل ناتج عن ضغط الغلاف الجوي بالإضافة إلى الضغط الناتج عن ارتفاع الزيت هذا في العمود. هذا يعني أن كمية الزيت هذه تنتج، بسبب وزنها، ضغطًا في أسفل العمود الذي ارتفاعه ‪ℎ‬‏.

بوجه عام، الضغط الناتج عن مائع كثافته ‪𝜌‬‏، والمرتب بحيث يكون في عمود ارتفاعه ‪ℎ‬‏، يساوي ‪𝜌‬‏ مضروبة في عجلة الجاذبية الأرضية ‪𝑔‬‏ مضروبة في ‪ℎ‬‏. إذن، يمكن كتابة أن الضغط الناتج عن ارتفاع الزيت ‪ℎ‬‏ في العمود يساوي كثافة الزيت مضروبة في ‪𝑔‬‏ مضروبة في ‪ℎ‬‏.

دعونا نتذكر الآن العلاقة بين ضغط الزيت والضغطين الآخرين في المانومتر. ذكرنا سابقًا أن الضغط الكلي المؤثر لأسفل على هذه النقطة يساوي الضغط المؤثر على هذه النقطة. وذلك رياضيًّا يعني أن ضغط الغلاف الجوي زائد ضغط الزيت في العمود الذي ارتفاعه ‪ℎ‬‏ يساوي ضغط الغاز في المستودع. نعلم أن هذا صحيح لأن النظام في حالة اتزان؛ فلا يتحرك عمود الزيت لأعلى في هذا الاتجاه ولا لأعلى في هذا الاتجاه.

يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة باستخدام معادلة الضغط الناتج عن عمود الزيت. نتذكر أن كثافة الزيت، أو ‪𝜌‬‏ الزيت، هي ما نريد إيجاده. يمكن البدء في ذلك بطرح الضغط الجوي من كلا الطرفين. وبما أننا نجمع هذا الضغط ونطرحه من الطرف الأيسر، فإن هذين الحدين يحذفان معًا. في الخطوة التالية، يمكننا قسمة كلا طرفي المعادلة على ‪𝑔‬‏ في ‪ℎ‬‏. ويؤدي هذا إلى حذف كل من ‪𝑔‬‏ و‪ℎ‬‏ من طرف المعادلة الأيسر.

نتوصل إلى هذه المعادلة المبسطة لكثافة الزيت. عندما نصل إلى الإجابة النهائية، سنحتاج إلى التعبير عن كثافة الزيت بوحدة الكيلوجرام لكل متر مكعب. عند حساب ‪𝜌‬‏ الزيت، دعونا نتأكد من الحصول على هذه الوحدة بالفعل. نلاحظ أن لدينا في البسط ضغطين محددين بوحدة الكيلو باسكال. الكيلو باسكال الواحد يساوي 1000 باسكال. إذن، لتحويل وحدة هذين الضغطين إلى وحدة الباسكال، نضرب كلًّا منهما في 1000. ‏‪𝑃‬‏ الغلاف الجوي الذي قيمته 101.3 كيلو باسكال مضروبًا في 1000 يساوي 101300 باسكال. وبالمثل، عندما نضرب ‪𝑃‬‏ الغاز في 1000، نحصل على 112500 باسكال.

يمكننا تذكر أن الباسكال يساوي نيوتن على متر مربع. وبإجراء خطوة أخرى، نجد أن النيوتن يساوي كيلوجرام متر لكل ثانية مربعة. إذا دمجنا هذين التحويلين، يمكننا كتابة أن الباسكال يساوي كيلوجرام متر لكل ثانية مربعة، أي نيوتن، مقسومًا على متر مربع. إذا ضربنا كلًّا من بسط هذا الكسر ومقامه في واحد على متر مربع، فسيحذف المتر المربع من المقام. وفي البسط، يحذف معامل متر واحد من أعلى وأسفل. إذن، يمكننا كتابة وحدة الباسكال على صورة كيلوجرام لكل متر في الثانية المربعة.

بعد حساب هذه الوحدات، دعونا الآن نكتب القيمتين المعلومتين لـ ‪𝑃‬‏ الغاز و‪𝑃‬‏ الغلاف الجوي بوحدة الباسكال، التي حولناها إلى كيلوجرام لكل متر في الثانية المربعة. يعطينا هذا 112500 كيلوجرام لكل متر في الثانية المربعة ناقص 101300 كيلوجرام لكل متر في الثانية المربعة. إذا أخذنا هذه الوحدة عاملًا مشتركًا من هذين الحدين، فسنحصل على هذا الناتج. وإذا طرحنا 101300 من 112500، فسنحصل على 11200. هذا إذن فرق الضغط بين ضغط الغاز وضغط الغلاف الجوي. كل هذا مقسوم على ‪𝑔‬‏، التي تساوي 9.8 أمتار لكل ثانية مربعة، في ‪ℎ‬‏ الذي يساوي 95.15 سنتيمترًا.

لكن قبل التعويض عن ‪ℎ‬‏ بهذه القيمة، دعونا نتذكر أن 100 سنتيمتر يساوي مترًا واحدًا. ومن ثم، يمكننا تحويل وحدة الارتفاع ‪ℎ‬‏ إلى المتر بتحريك العلامة العشرية خانتين جهة اليسار. يكافئ هذا القسمة على 100. إذن، الارتفاع ‪ℎ‬‏ يساوي 0.9515 متر. ونلاحظ أن لدينا في المقام مترًا في متر، أو مترًا مربعًا، الكل مقسوم على ثانية مربعة. إذا أخذنا هذه الوحدات عاملًا مشتركًا في المقام، فسنحصل على 9.8 مضروبًا في 0.9515 متر مربع لكل ثانية مربعة.

ومن ثم نلاحظ أن واحدًا على ثانية مربعة يظهر في كل من المقام الكلي والبسط الكلي لهذا الكسر. لذا، نحذف هاتين الوحدتين معًا. إذن، تصبح الوحدة الكلية هي كيلوجرام لكل متر مقسومًا على متر مربع. إذا ضربنا البسط والمقام في واحد على متر مربع، فإن الوحدتين في المقام ستحذفان إحداهما مع الأخرى. وفي البسط نضرب مترًا في متر مربع، فنحصل على متر مكعب.

إذن، تأكدنا من أن الوحدة التي نحسبها هي الكيلوجرام لكل متر مكعب، وهي وحدة الكثافة التي نريد إيجادها. عندما نحسب هذا الكسر، نحصل على 1201 كيلوجرام لكل متر مكعب. نحتفظ هنا بأربعة أرقام معنوية لتتوافق مع دقة المعطيات المعطاة لنا في هذه المسألة. إذن، كثافة الزيت في المانومتر تساوي 1201 كيلوجرام لكل متر مكعب.