فيديو الدرس: إيجاد قيمة اللوغاريتمات الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد قيمة اللوغاريتمات ذات الأساسات المختلفة باستخدام قواعد اللوغاريتمات.

٢١:١٣

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد قيمة اللوغاريتمات ذات الأساسات المختلفة باستخدام قواعد اللوغاريتمات.

اللوغاريتم هو عملية رياضية تحدد عدد المرات ﻥ، وهو عدد، لضرب الأساس ﺏ في نفسه للحصول على عدد آخر، وهو ﻡ. وتظهر اللوغاريتمات في معظم الأماكن غير العادية. على سبيل المثال، نحن نعلم أن النوتات الموسيقية تختلف على مقياس لوغاريتمي، وأنه يمكن حساب المسافة بين خيوط الجيتار أو القيثارة باستخدام اللوغاريتمات. سنبدأ النقاش حول حساب قيم اللوغاريتمات من خلال ملاحظة أن الدالة اللوغاريتمية هي معكوس الدالة الأسية. على سبيل المثال، إذا نظرنا إلى الدالة الأسية ص على أنها تساوي ١٠ أس ﺱ، وإذا كان ﺱ على سبيل المثال يساوي ثلاثة، فإن ص يساوي ١٠ أس ثلاثة. وهذا يساوي ١٠٠٠. إذن، إذا كان ص يساوي ١٠ تكعيب يساوي ١٠٠٠، فإن لوغاريتم ١٠٠٠ للأساس ١٠ يساوي ثلاثة.

حسنًا، بوجه عام، إذا كان لوغاريتم ﻡ للأساس ﺏ يساوي ﻥ، فإننا نقول إن ﺏ أس ﻥ يساوي ﻡ؛ حيث ﺏ هو أساس اللوغاريتم، وﻡ هو العدد داخل اللوغاريتم، وﻥ هو الأس. ويمكننا كتابة ذلك بثلاث صيغ متكافئة بشكل أساسي. إذا كان لوغاريتم ﻡ للأساس ﺏ يساوي ﻥ، فإن ﺏ أس ﻥ يساوي ﻡ، والجذر النوني لـ ﻡ يساوي ﺏ. ومن المهم أن تكون قادرًا على التغيير بين هذه الصيغ عند حل مسائل اللوغاريتمات.

من المهم أيضًا أن تعرف أن هناك أساسين خاصين من اللوغاريتمات، ونجدهما عادة عندما لا يكون الأساس مكتوبًا بوضوح. إذا رأينا لوغاريتم بدون أساس، فهذا معناه لوغاريتم للأساس ١٠. وإذا رأينا اللوغاريتم الطبيعي؛ فهذا يعني لوغاريتم للأساس ﻫ؛ حيث ﻫ هو عدد أويلر. سنركز على أول مقدارين من المقادير لدينا. دعونا نلق نظرة على بعض الأمثلة التي توضح كيف نستخدم التكافؤ بين المقادير لإيجاد قيم بعض اللوغاريتمات.

ما قيمة لوغاريتم ثمانية للأساس اثنين؟

‏‏لوغاريتم ثمانية للأساس اثنين هو عدد المرات التي نضرب فيها اثنين في نفسه لنحصل على ثمانية. إذن، المطلوب هو تحديد القوة التي يرفع إليها العدد اثنان للحصول على ثمانية. لإيجاد ذلك، سنستخدم حقيقة أن معكوس الدالة اللوغاريتمية هو الدالة الأسية. وهذا يعني أنه إذا كان لوغاريتم ﻡ للأساس ﺏ يساوي ﻥ، فإن ﺏ أس ﻥ يساوي ﻡ. في هذا المثال، ﺏ يساوي اثنين، وﻡ يساوي ثمانية. ونحن نريد إيجاد قيمة ﻥ.

وعند ترجمة ذلك إلى الصورة الأسية، نجد أن هذا يعني أن اثنين أس ﻥ يساوي ثمانية. وبالتالي، علينا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﻥ. الآن، نحن نعلم أن اثنين أس واحد يساوي اثنين، واثنين تربيع يساوي أربعة، واثنين تكعيب يساوي ثمانية. هذا يعني أن ﻥ يساوي ثلاثة. وبالتالي، فإن قيمة لوغاريتم ثمانية للأساس اثنين تساوي ثلاثة.

والآن دعونا نلق نظرة على مثال أصعب قليلًا يكون فيه الأساس عددًا نسبيًا.

ما قيمة لوغاريتم ١٢٨ للأساس نصف؟

مطلوب منا هنا إيجاد قيمة لوغاريتم أساسه عدد نسبي، وهو لوغاريتم ١٢٨ للأساس نصف. لحل هذه المسألة، سنستخدم حقيقة أن الدوال اللوغاريتمية والدوال الأسية هي معكوسات بعضها لبعض؛ فإذا كان لوغاريتم ﻡ للأساس ﺏ يساوي ﺱ، فإن ﺏ أس ﺱ يساوي ﻡ. في هذه المسألة، الأساس ﺏ يساوي نصفًا، وﻡ يساوي ١٢٨، ونريد إيجاد قيمة ﺱ. حسنًا، لقد لاحظنا بالفعل أن الأساس ﺏ هو عدد نسبي. ونحن نعرف أننا إذا رفعنا نصفًا إلى أي قوة موجبة، فسنحصل على كسر آخر. فعلى سبيل المثال، نصف تربيع يساوي ربعًا، ونصف تكعيب يساوي ثمنًا، وهكذا.

لكننا نعلم من خلال التناظر بين الدوال اللوغاريتمية والدوال الأسية أن واحدًا على اثنين مرفوعًا للقوة ﺱ يساوي ١٢٨. ووفقًا لقوانين الأسس، هذا يعني واحدًا على اثنين أس ﺱ يساوي ١٢٨. لكننا نعلم أيضًا من قوانين الأسس أن واحدًا على ﺃ أس ﺱ يساوي ﺃ أس سالب ﺱ. وهذا يعني أن الأس سيكون عددًا سالبًا. والآن لحل هذه المعادلة الجديدة، اثنان أس سالب ﺱ يساوي ١٢٨، دعونا نلق نظرة على قيم قوى العدد اثنين.

نحن نعلم أن اثنين أس واحد يساوي اثنين، واثنين تربيع يساوي أربعة، وهكذا حتى اثنين أس ستة يساوي ٦٤. واثنان أس سبعة يساوي ١٢٨. اثنان أس سبعة هو ما يهمنا. لأنه إذا كان اثنان أس سالب ﺱ يساوي ١٢٨، واثنان أس سبعة يساوي ١٢٨، فلا بد أن سالب ﺱ يساوي سبعة. وإذا كان سالب ﺱ يساوي سبعة، فلا بد أن ﺱ يساوي سالب سبعة. ومن ثم، فإن قيمة لوغاريتم ١٢٨ للأساس نصف تساوي سالب سبعة.

حسنًا، هناك بعض الخصائص المفيدة للوغاريتمات والتي يمكننا الاستعانة بها لمساعدتنا في حساب قيمها. لذا قبل تناول أي أمثلة أخرى، هيا نتذكر قواعد اللوغاريتمات. تنطبق قواعد اللوغاريتمات عندما يكون أي أساس ﺏ أكبر من صفر، والعدد ﻡ أكبر من صفر، وﻥ أكبر من صفر، والعدد الحقيقي ﺱ.

القاعدة الأولى هي أنه لأي أساس ﺏ، فإن لوغاريتم واحد يساوي صفرًا. وتنص القاعدة الثانية على أنه لأي أساس ﺏ، فإن لوغاريتم ﺏ للأساس ﺏ يساوي واحدًا. أما القاعدة الثالثة، والتي تعرف باسم «قاعدة القوة للوغاريتمات»، فتنص على أن لوغاريتم ﻡ أس ﺱ للأساس ﺏ يساوي ﺱ في لوغاريتم ﻡ للأساس ﺏ. ما يحدث هنا هو أنه إذا كان العدد داخل اللوغاريتم له أس، فإننا نضع الأس قبل اللوغاريتم ثم نقوم بالضرب.

تقول القاعدة الرابعة إن لوغاريتم ﻡ للأساس ﺏ في ﻥ يساوي لوغاريتم ﻡ للأساس ﺏ زائد لوغاريتم ﻥ للأساس ﺏ. وهذه هي «قاعدة الضرب للوغاريتمات». وتنص القاعدة الخامسة والأخيرة على أن لوغاريتم ﻡ على ﻥ للأساس ﺏ يساوي لوغاريتم ﻡ للأساس ﺏ ناقص لوغاريتم ﻥ للأساس ﺏ. وهذه هي «قاعدة القسمة للوغاريتمات».

نلاحظ هنا كيفية ارتباط هذه القواعد بقواعد الأسس. نحن نعلم، على سبيل المثال، أن أي عدد موجب ﺏ أس صفر يساوي واحدًا، وأي عدد موجب أس واحد يساوي العدد نفسه. لا توجد قاعدة للأسس تكافئ قاعدة القوة للوغاريتمات. ومع ذلك، يمكننا أن نرى كيفية استنتاج ذلك باستخدام الأسس. نحن نعلم من تعريف اللوغاريتم أن لوغاريتم ﻡ للأساس ﺏ يساوي ﻥ يكافئ ﺏ أس ﻥ يساوي ﻡ.

حسنًا، إذا عوضنا عن ﻥ في الأس بـ لوغاريتم ﻡ للأساس ﺏ، فسيكون لدينا ﺏ مرفوعًا للقوة لوغاريتم ﻡ للأساس ﺏ يساوي ﻡ. والآن، رفعنا كلا الطرفين إلى القوة ﻥ. ووفقًا لقوانين الأسس، فإن ﺃ أس ﺏ أس ﺟ يساوي ﺃ أس ﺏ في ﺟ. لدينا ﺏ أس ﻥ في لوغاريتم ﻡ للأساس ﺏ يساوي ﻡ أس ﻥ.

لكن إذا نظرنا إلى المقدار لدينا، والذي استنتجناه من تعريف اللوغاريتم، فسنجد أن ﺏ مرفوعًا للقوة لوغاريتم ﻡ أس ﻥ للأساس ﺏ يساوي ﻡ أس ﻥ. إذن، لدينا ﺏ مرفوعًا للقوة لوغاريتم ﻡ أس ﻥ للأساس ﺏ يساوي ﻡ أس ﻥ هو نفسه ﺏ مرفوعًا للقوة ﻥ لوغاريتم ﻡ للأساس ﺏ. ومن قواعد الأسس؛ ﺃ لا يساوي سالب واحد أو صفرًا أو واحدًا، نجد أنه إذا كان ﺃ أس ﺏ يساوي ﺃ أس ﺟ، فإن ﺏ يجب أن يساوي ﺟ. وفي مسألتنا هذه، هذا يعني أن لوغاريتم ﻡ أس ﻥ للأساس ﺏ يجب أن يساوي ﻥ في لوغاريتم ﻡ للأساس ﺏ. هذه هي قاعدة القوة للوغاريتمات.

إذا نظرنا الآن إلى قاعدة الضرب، فسنجد أن قاعدة الضرب المكافئة لها في قواعد الأسس هي ﺏ أس ﻥ في ﺏ أس ﻡ يساوي ﺏ أس ﻡ زائد ﻥ. وبالمثل مع قاعدة القسمة، فالقاعدة المكافئة لها في قواعد الأسس هي ﺏ أس ﻥ على ﺏ أس ﻡ يساوي ﺏ أس ﻥ ناقص ﻡ. والآن بعد أن تعرفنا على قواعد اللوغاريتمات، دعونا نستخدم بعضًا منها في بعض الأمثلة.

ما قيمة لوغاريتم واحد على ١٢٨ للأساس اثنين؟

لإيجاد قيمة لوغاريتم واحد على ١٢٨ للأساس اثنين، يمكننا أولًا ملاحظة أن واحدًا على ١٢٨ يساوي ١٢٨ أس سالب واحد. إذن، هذا يعني أن لوغاريتم واحد على ١٢٨ للأساس اثنين يساوي لوغاريتم ١٢٨ أس سالب واحد للأساس اثنين. والآن، يمكننا تطبيق قاعدة القوة للوغاريتمات. وتنص على أن لوغاريتم ﻡ أس ﺱ للأساس ﺏ يساوي ﺱ في لوغاريتم ﻡ للأساس ﺏ. وما يعنيه ذلك هو أنه إذا كان العدد داخل اللوغاريتم له الأس ﺱ، فيمكننا أن نكتب هذا العدد بالأسفل ونضربه في اللوغاريتم.

في هذه المسألة، الأس هو سالب واحد، لذا يصبح لدينا سالب واحد في لوغاريتم ١٢٨ للأساس اثنين. حسنًا بتذكر تعريف اللوغاريتم، نجد أنه إذا كان لوغاريتم ﻡ للأساس ﺏ يساوي ﻥ، فإن ﺏ أس ﻥ يساوي ﻡ. وهذا يعني أن ﻥ هو عدد المرات التي نضرب فيها الأساس ﺏ في نفسه للحصول على ﻡ. والآن، نحن نبحث عن سالب عدد مرات ضرب الأساس اثنين في نفسه لنحصل على ١٢٨. إذن، علينا إيجاد قيمة ﻥ؛ حيث اثنان أس ﻥ يساوي ١٢٨.

إذا نظرنا إلى قوى العدد اثنين، فسنجد أن اثنين أس سبعة يساوي ١٢٨. إذن ﻥ يساوي سبعة. وهذا يعني أن لوغاريتم ١٢٨ للأساس اثنين يساوي سبعة. إذن، سالب لوغاريتم ١٢٨ للأساس اثنين يساوي سالب سبعة. وسنجد أن حل لوغاريتم واحد على ١٢٨ للأساس اثنين يساوي سالب سبعة.

وجدير بالذكر أنه كان يمكننا فعل ذلك بطريقة مختلفة قليلًا، وذلك بالاستعانة بحقيقة أن اثنين أس سبعة يساوي ١٢٨. سنكتب لوغاريتم واحد على ١٢٨ للأساس اثنين يساوي سالب لوغاريتم ١٢٨ للأساس اثنين، يمكننا كتابة ذلك في صورة سالب لوغاريتم اثنين أس سبعة للأساس اثنين. وباستخدام قاعدة القوة الخاصة باللوغاريتمات، مرة أخرى، نحصل على سالب سبعة لوغاريتم اثنين للأساس اثنين. ونحن نعلم من قوانين اللوغاريتمات أن لوغاريتم ﺏ للأساس ﺏ يساوي واحدًا. ولدينا هنا لوغاريتم اثنين للأساس اثنين، وهذا يساوي واحدًا. إذن، مرة أخرى، نصل إلى الإجابة سالب سبعة.

والآن، دعونا نلق نظرة على مثال نستخدم فيه مجموعة من قواعد القوى والضرب لحساب اللوغاريتمات.

احسب اثنين لوغاريتم أربعة زائد سبعة لوغاريتم ١٣، وقرب الناتج لأقرب جزء من ألف.

مطلوب منا حساب اثنين لوغاريتم أربعة زائد سبعة لوغاريتم ١٣. يمكننا البدء باستخدام قاعدة القوة للوغاريتمات. وتقول هذه القاعدة إن ﺱ في اللوغاريتم ﻡ للأساس ﺏ يساوي اللوغاريتم ﻡ أس ﺱ للأساس ﺏ. في مسألتنا، يمكننا استخدام ذلك مرتين. في الحد الأول اثنين لوغاريتم أربعة، ﺱ يساوي اثنين، وﻡ يساوي أربعة. إذن، برفع ﻡ للقوة ﺱ، يمكننا إعادة كتابة هذا في صورة لوغاريتم أربعة تربيع. أما بالنسبة للحد الثاني سبعة لوغاريتم ١٣، حيث ﺱ يساوي سبعة وﻡ يساوي ١٣، يصبح لدينا لوغاريتم ١٣ أس سبعة.

يجدر أن نذكر أنفسنا هنا بأنه إذا كان اللوغاريتم مكتوبًا بدون أساس، مثل مسألتنا، فهذا يعني أن الأساس يساوي ١٠. ونحن لدينا اثنان لوغاريتم أربعة زائد سبعة لوغاريتم ١٣ يساوي لوغاريتم أربعة تربيع زائد لوغاريتم ١٣ أس سبعة، حيث جميع اللوغاريتمات للأساس ١٠. والآن، لتبسيط المقدار الذي لدينا في الطرف الأيسر، سنستخدم قاعدة الضرب للوغاريتمات. وتنص على أن لوغاريتم ﻡ في ﻥ للأساس ﺏ يساوي لوغاريتم ﻡ للأساس ﺏ زائد لوغاريتم ﻥ للأساس ﺏ.

وبما أن ﻡ يساوي أربعة تربيع وﻥ يساوي ١٣ أس سبعة، يصبح لدينا اثنان لوغاريتم أربعة زائد سبعة لوغاريتم ١٣ يساوي لوغاريتم أربعة تربيع في ١٣ أس سبعة. والآن كل ما علينا فعله هو استخدام زر log الموجود بالآلة الحاسبة لإيجاد قيمة ذلك. هذا يعطينا ٩٫٠٠١٧٢ وهكذا مع توالي الأرقام، ولأقرب جزء من ألف يساوي ٩٫٠٠٢. إذن، لأقرب جزء من ألف، فإن اثنين لوغاريتم أربعة زائد سبعة لوغاريتم ١٣ يساوي ٩٫٠٠٢.

في المثال الأخير، سنستخدم مجموعة من قواعد اللوغاريتمات لإيجاد قيمة مقدار لوغاريتمي.

أوجد قيمة لوغاريتم الأساس اثنين لـ لوغاريتم ﺱ أس ٣٢ ناقص لوغاريتم الأساس اثنين لـ لوغاريتم ﺱ أس أربعة.

مطلوب منا إيجاد قيمة هذا المقدار اللوغاريتمي المعقد بعض الشيء. لدينا لوغاريتم للأساس اثنين للوغاريتم آخر للأساس ١٠. إننا نتذكر أن اللوغاريتم المكتوب بدون أساس يكون لوغاريتم للأساس ١٠، ولدينا هنا لوغاريتم ﺱ أس ٣٢. والحد الثاني مشابه لذلك. لكن لاحظ أن ما لدينا هو لوغاريتم للأساس اثنين ناقص لوغاريتم آخر للأساس اثنين. وهذا يعني أنه يمكننا استخدام قاعدة القسمة الخاصة باللوغاريتمات. وتنص على أن لوغاريتم ﻡ للأساس ﺏ ناقص لوغاريتم ﻥ للأساس ﺏ يساوي لوغاريتم ﻡ على ﻥ للأساس ﺏ.

في مسألتنا حيث الأساس ﺏ يساوي اثنين، يصبح لدينا لوغاريتم لـ لوغاريتم ﺱ أس ٣٢ على لوغاريتم ﺱ أس أربعة للأساس اثنين. وبالنسبة لكل من القيمتين المقسومتين، يمكننا استخدام قاعدة القوة الخاصة باللوغاريتمات. وهي تنص على أن لوغاريتم ﻡ أس ﺱ للأساس ﺏ يساوي ﺱ في لوغاريتم ﻡ للأساس ﺏ. أي إذا كان للعدد داخل اللوغاريتم أس، فإننا ببساطة نضرب في الأس. في هذه المسألة، الأسان هما ٣٢ وأربعة. وإذا كتبنا هاتين القيمتين داخل اللوغاريتم، فسيكون لدينا ٣٢ لوغاريتم ﺱ على أربعة لوغاريتم ﺱ. لوغاريتم ﺱ على لوغاريتم ﺱ يساوي واحدًا. إذن، ببساطة يصبح لدينا لوغاريتم ٣٢ على أربعة للأساس اثنين، وهو ما يساوي لوغاريتم ثمانية للأساس اثنين.

والآن يمكننا استخدام تعريف اللوغاريتم لإيجاد قيمة ذلك. وهو أنه إذا كان لوغاريتم ﻡ للأساس ﺏ يساوي ﻥ، فإن ﺏ أس ﻥ يساوي ﻡ. إذن ﻥ هو عدد مرات ضرب الأساس ﺏ في نفسه لإيجاد قيمة ﻡ. في هذه المسألة، الأساس ﺏ يساوي اثنين، والعدد داخل اللوغاريتم ﻡ يساوي ثمانية. إذن، علينا معرفة عدد مرات ضرب اثنين في نفسه لنحصل على ثمانية، أو لأي قوة ﻥ يرفع العدد اثنان لنحصل على ثمانية. حسنًا، نحن نعلم أن اثنين في اثنين في اثنين، أي اثنين تكعيب، يساوي ثمانية. إذن ﻥ يساوي ثلاثة. إذن لوغاريتم لـ لوغاريتم ﺱ أس ٣٢ للأساس اثنين ناقص لوغاريتم لـ لوغاريتم ﺱ أس أربعة للأساس اثنين يساوي ثلاثة.

لاحظ أنه كان بإمكاننا أيضًا استخدام قاعدة القوة في الخطوات الأخيرة للحصول على الإجابة. إذ إن لوغاريتم ثمانية للأساس اثنين يساوي لوغاريتم اثنين أس ثلاثة للأساس اثنين. وحسب قاعدة القوة، فإن هذا يساوي ثلاثة في لوغاريتم اثنين للأساس اثنين. وبما أن لوغاريتم ﺏ للأساس ﺏ يساوي واحدًا لأي أساس ﺏ، فإن لوغاريتم اثنين للأساس اثنين يساوي واحدًا. لنحصل بذلك مرة أخرى على الناتج ثلاثة.

دعونا نختتم الفيديو بتذكير أنفسنا ببعض النقاط الأساسية لحساب قيم اللوغاريتمات. تذكر أن لوغاريتم ﻡ للأساس ﺏ يساوي ﻥ هو عدد المرات ﻥ التي يجب ضرب الأساس في نفسه للحصول على العدد داخل اللوغاريتم ﻡ. الدالة اللوغاريتمية هي معكوس الدالة الأسية. إذن، إذا كان لوغاريتم ﻡ للأساس ﺏ يساوي ﻥ، فإن ﺏ أس ﻥ يساوي ﻡ. هناك حالتان لا تكون فيهما الأسس مكتوبة؛ فعند وجود لوغاريتم، فهذا يعني أن الأساس ١٠ ويصبح لدينا لوغاريتم للأساس ١٠، وهناك لوغاريتم للأساس ﻫ، وهو ما يسمى باللوغاريتم الطبيعي. ويمكننا استخدام قواعد اللوغاريتمات لتبسيط وحساب وإيجاد قيم اللوغاريتمات والمقادير اللوغاريتمية.

عندما يكون الأساس ﺏ أكبر من صفر، وﻡ أكبر من صفر، وﻥ أكبر من صفر، وﺱ عددًا حقيقيًا، فإن القواعد هي لوغاريتم واحد للأساس ﺏ يساوي صفرًا، ولوغاريتم ﺏ للأساس ﺏ يساوي واحدًا، ولوغاريتم ﻡ أس ﺱ للأساس ﺏ يساوي ﺱ في لوغاريتم ﻡ للأساس ﺏ. وهذه هي قاعدة القوة. ولوغاريتم ﻡ في ﻥ للأساس ﺏ يساوي لوغاريتم ﻡ للأساس ﺏ زائد لوغاريتم ﻥ للأساس ﺏ. وهذه هي قاعدة الضرب. وأخيرًا، لوغاريتم ﻡ على ﻥ للأساس ﺏ يساوي لوغاريتم ﻡ للأساس ﺏ ناقص لوغاريتم ﻥ للأساس ﺏ. وهذه هي قاعدة القسمة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.