فيديو السؤال: إيجاد القيمة العظمى لدالة تتضمن دالة كسرية باستخدام قاعدة القسمة الرياضيات

إذا علم أن حجم بالون هواء ساخن يزداد طبقًا للعلاقة ﺩ(ﻥ) = (٧٠٠٠ﻥ‏/‏(ﻥ^٢ + ٤٩)) + ٤٠٠٠؛ حيث الزمن مقيس بالساعات، فأوجد القيمة العظمى لحجم البالون.

٠٨:٤٧

‏نسخة الفيديو النصية

إذا علم أن حجم بالون هواء ساخن يزداد طبقًا للعلاقة ﺩﻥ تساوي ٧٠٠٠ﻥ على ﻥ تربيع زائد ٤٩ زائد ٤٠٠٠؛ حيث الزمن مقيس بالساعات، فأوجد القيمة العظمى لحجم البالون.

لدينا معادلة تمثل الزيادة في حجم بالون الهواء الساخن هذا. ومطلوب منا إيجاد القيمة العظمى لحجمه. سنصل إلى هذه القيمة عندما يتوقف حجم بالون الهواء الساخن عن الزيادة، أي عندما يكون معدل تغير هذا الحجم بالنسبة إلى الزمن يساوي صفرًا. نعلم أن معدل تغير كمية ما يعطى من خلال مشتقتها الأولى. ومن ثم، لإيجاد القيمة العظمى للحجم، نحتاج أولًا إلى إيجاد الزمن الذي عنده تكون ﺩ شرطة ﻥ، أي المشتقة الأولى لهذه الدالة، تساوي صفرًا.

يمكننا استخدام الاشتقاق لإيجاد مقدار يعبر عن ﺩ شرطة ﻥ. بالنظر إلى الدالة ﺩﻥ، نجد أنها عبارة عن خارج قسمة دالتين قابلتين للاشتقاق زائد ثابت. لذا، علينا استخدام قاعدة القسمة لمساعدتنا على الاشتقاق. تنص قاعدة القسمة على أنه بالنسبة إلى أي دالتين قابلتين للاشتقاق ﻉ وﻕ، فإن مشتقة خارج قسمتهما، ﻉ على ﻕ، تساوي ﻕﻉ شرطة ناقص ﻉﻕ شرطة، الكل على ﻕ تربيع.

سنفترض إذن أن ﻉ يساوي الدالة في بسط خارج القسمة، أي ٧٠٠٠ﻥ، وﻕ يساوي الدالة في المقام. أي ﻥ تربيع زائد ٤٩. علينا إيجاد مشتقتيهما الفردية بالنسبة إلى ﻥ، وهو ما يمكننا فعله باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. مشتقة ﻉ بالنسبة إلى ﻥ، أي ﻉ شرطة، تساوي ٧٠٠٠. ومشتقة ﻕ بالنسبة إلى ﻥ، أي ﻕ شرطة، تساوي اثنين ﻥ.

الآن، يمكننا التعويض في صيغة قاعدة القسمة. ‏ﺩ شرطة ﻥ تساوي ﻕﻉ شرطة - أي ﻥ تربيع زائد ٤٩ مضروبًا في ٧٠٠٠- ناقص ﻉﻕ شرطة. وهو ما يساوي ٧٠٠٠ﻥ مضروبًا في اثنين ﻥ. وكل هذا مقسومًا على ﻕ تربيع. وهو ما يساوي ﻥ تربيع زائد ٤٩ الكل تربيع. تذكر أن هذا يعطينا فقط مشتقة الجزء الأول من الدالة ﺩﻥ. إذ علينا أيضًا أن نتذكر اشتقاق الثابت ٤٠٠٠. لكن بما أن مشتقة أي ثابت تساوي صفرًا، فلن يغير ذلك من قيمة المشتقة لدينا. يمكننا بعد ذلك توزيع الأقواس في البسط وجمع الحدود المتشابهة، ومن ثم نحصل على ﺩ شرطة ﻥ تساوي ٣٤٣٠٠٠ ناقص ٧٠٠٠ﻥ تربيع على ﻥ تربيع زائد ٤٩ تربيع.

الآن تذكر أننا قلنا إنه يمكن الوصول إلى القيمة العظمى لحجم هذا البالون عندما يساوي معدل تغير حجمه بالنسبة إلى الزمن صفرًا. لذا سنجعل مقدار المشتقة الأولى يساوي صفرًا ونحل لإيجاد قيمة ﻥ. أصبحت لدينا المعادلة: ٣٤٣٠٠٠ ناقص ٧٠٠٠ﻥ تربيع على ﻥ تربيع زائد ٤٩ تربيع يساوي صفرًا. الآن، لكي يساوي خارج القسمة صفرًا، لا بد أن يكون بسط خارج القسمة مساويًا لصفر. إذن، في الواقع، يمكننا تبسيط المعادلة. وبهذا، يتبقى لدينا ٣٤٣٠٠٠ ناقص ٧٠٠٠ﻥ تربيع يساوي صفرًا. بإضافة ٧٠٠٠ﻥ تربيع إلى كلا الطرفين ثم القسمة على ٧٠٠٠، نحصل علىﻥ تربيع يساوي ٤٩.

يمكننا حل هذه المعادلة بأخذ الجذر التربيعي. وبما أن ﻥ يمثل الزمن، سنأخذ القيمة الموجبة فقط. الجذر التربيعي الموجب لـ ٤٩ هو سبعة. إذن نحصل على القيمة العظمى لحجم بالون الهواء الساخن عند ﻥ يساوي سبعة. أي بعد سبع ساعات. بعد ذلك، علينا إيجاد القيمة العظمى الفعلية للحجم. ويمكننا فعل ذلك بالتعويض بـ ﻥ يساوي سبعة في معادلة الدالة ﺩﻥ. نحصل على ٧٠٠٠ مضروبًا في سبعة على سبعة تربيع زائد ٤٩ زائد ٤٠٠٠. هذا يساوي ٤٩٠٠٠ على ٩٨ زائد ٤٠٠٠، وهو ما يساوي ٤٥٠٠. بذلك، نكون قد أوجدنا القيمة العظمى لحجم بالون الهواء الساخن وهي ٤٥٠٠ وحدة مكعبة.

لقد أوجدنا قيمة واحدة فقط لـ ﻥ عند حل ﺩ شرطة ﻥ تساوي صفرًا. إذن، هذه هي النقطة الحرجة الوحيدة للدالة ﺩﻥ. لكن علينا التأكد من أنها قيمة عظمى بالفعل. ويمكننا فعل ذلك باستخدام اختبار المشتقة الأولى. ما سنفعله هو التفكير في شكل المنحنى بالقرب من هذه النقطة الحرجة من خلال إيجاد قيمة ميل المنحنى. لقد حصلنا على نقطة حرجة عندما كان ﻥ يساوي سبعة. إذن، سنختار قيمتين لـ ﻥ على جانبي هذه النقطة. لنختر ستة وثمانية. نعلم أنه عندما يكون ﻥ يساوي سبعة، فإن المشتقة الأولى، وكذلك الميل، يساويان صفرًا. وعندما يكون ﻥ يساوي ستة، فإن المشتقة الأولى تساوي ٣٤٣٠٠٠ ناقص ٧٠٠٠ مضروبًا في ستة تربيع على ستة تربيع زائد ٤٩ تربيع، وهو ما يساوي ١٢٫٥٩٥. إذن، نجد أن ميل المنحنى يكون موجبًا عندما يكون ﻥ يساوي ستة.

على الجانب الآخر من النقطة الحرجة، عندما يكون ﻥ يساوي ثمانية، فإن المشتقة الأولى تساوي ٣٤٣٠٠٠ ناقص ٧٠٠٠ مضروبًا في ثمانية تربيع على ثمانية تربيع زائد ٤٩ تربيع، وهو ما يساوي سالب ٨٫٢٢٣. إذن ميل المنحنى يكون سالبًا في هذا الجانب من النقطة الحرجة. وعليه، فإن الميل يتغير من موجب إلى صفر إلى سالب. وبذلك، نلاحظ من الرسم التوضيحي أن النقطة الحرجة عند ﻥ يساوي سبعة هي بالفعل قيمة عظمى محلية.

بذلك نكون قد انتهينا من حل المسألة. لقد أوجدنا القيمة العظمى لحجم البالون وهي ٤٥٠٠ وحدة مكعبة. وباستخدام اختبار المشتقة الأولى، تأكدنا من كونها قيمة عظمى محلية بالفعل.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.