فيديو الدرس: تطبيقات على الحركة بعجلة منتظمة الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل مسائل تتضمن حركة جسيم بعجلة منتظمة خلال جزء أو أكثر من مساره.

١٧:٥٣

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل مسائل تتضمن حركة جسيم بعجلة منتظمة خلال جزء واحد أو أكثر من مساره. سنبدأ بتذكر معادلات الحركة وكيفية استخدامها لحساب القيم المجهولة.

تستخدم معادلات الحركة عندما تكون العجلة ﺟ ثابتة. تضم معادلات الحركة هذه المتغيرات التالية؛ ف يرمز للإزاحة، وع صفر هو السرعة الابتدائية، وع هو السرعة النهائية أو السرعة عند الزمن ن، وجـ هو العجلة، ون هو الزمن. تكتب السرعة الابتدائية ﻉ صفر أحيانًا في صورة ﻉ صفر. ولكننا سنستخدم ﻉ صفر للإشارة إليها في هذا الفيديو. ومع ذلك، يمكن التبديل بين هذين الشكلين.

قبل استخدام أي من المعادلات التالية، يجب أن تكون القياسات لدينا بوحدات القياس الصحيحة. وحدة قياس الإزاحة هي المتر، ووحدة قياس السرعة هي متر لكل ثانية، وتقاس العجلة بالمتر لكل ثانية مربعة، والزمن بالثواني. ووفقًا للمتغيرات التي نتعامل معها، نستخدم إحدى هذه المعادلات الخمس. ‏‏ﻉ يساوي ﻉ صفر زائد ﺟﻥ. ‏‏ﻉ تربيع يساوي ﻉ صفر تربيع زائد اثنين ﺟﻑ. ‏‏ﻑ يساوي ﻉ صفرﻥ زائد نصف ﺟﻥ تربيع. ‏‏ﻑ يساوي ﻉﻥ ناقص نصف ﺟﻥ تربيع. وﻑ يساوي ﻉ صفر زائد ﻉ على اثنين الكل مضروب في ﻥ.

قبل أن نتناول بعض الأسئلة المحددة، سنتعرف أيضًا على كيفية حل هذا النوع من المسائل باستخدام منحنى السرعة-الزمن. منحنى السرعة-الزمن يتضمن الزمن بالثواني على المحور الأفقي أو المحور ﺱ، والسرعة بالمتر لكل ثانية على المحور ﺹ أو المحور الرأسي. عند التعامل مع العجلة الثابتة، يمثل منحنى السرعة-الزمن بخطوط مستقيمة.

يمكن أن يكون ميل هذه الخطوط المستقيمة موجبًا أو سالبًا أو أفقيًا. عندما يكون المنحنى أفقيًا، فإن العجلة تساوي صفر متر لكل ثانية مربعة. وعندما ينحدر المنحنى قطريًا لأعلى أو لأسفل، يمكننا حساب العجلة بقسمة التغير في السرعة على التغير في الزمن. هذا يماثل حساب الميل أو الانحدار. إذا كان الميل موجبًا، فستكون العجلة موجبة. وإذا كان الميل سالبًا، فستكون العجلة سالبة. يعرف هذا أيضًا باسم «التباطئ». كلما كان ميل المنحنى أكبر، زادت العجلة أو التباطؤ. ويمكننا أيضًا التفكير في التغير في السرعة على التغير في الزمن بأنه فرق الصادات مقسومًا على فرق السينات.

يمكننا أيضًا حساب إزاحة الجسم من المنحنى. إنها المساحة المحصورة بين المنحنى والمحور ﺱ. يمكننا أحيانًا حساب هذا في خطوة واحدة. في الشكل الموضح، سنحسب مساحة شبه المنحرف. بدلًا من ذلك، يمكننا تقسيم المساحة إلى مثلثات ومستطيلات وحساب كل مساحة على حدة. الإزاحة، وهي المسافة المقطوعة أيضًا في هذه الحالة، تساوي مجموع هذه المساحات. وعلى الرغم من إمكانية استخدام منحنى السرعة-الزمن لحل بعض المسائل التالية، فإننا سنركز في هذا الفيديو على استخدام معادلات الحركة.

نزل دراج من قمة تل بعجلة تتزايد بمقدار ٠٫٥ متر لكل ثانية مربعة. في وقت وصوله إلى قاعدة التل، كان يتحرك بسرعة ١٫٥ متر لكل ثانية. استمر الدراج في التحرك بهذه السرعة لمدة ٩٫٥ ثوان أخرى. أوجد المسافة الكلية ﻑ التي قطعها الدراج.

لدينا هنا جزءان في رحلة الدراج علينا التفكير فيهما؛ أولًا عندما كان ينزل من قمة تل بعجلة، وثانيًا عندما استمر في التحرك بهذه السرعة الثابتة. نحن نعلم أنه عند التحرك بسرعة ثابتة، فإن العجلة تساوي صفرًا. لحل هذا السؤال، سنستخدم معادلات الحركة بعجلة منتظمة. لنبدأ بالتفكير في الجزء الأول من الرحلة.

يتحرك الدراج بعجلة من السكون. وعليه، سرعته الابتدائية هي صفر متر لكل ثانية. وعلمنا من المعطيات أن العجلة تساوي ٠٫٥ متر لكل ثانية مربعة. وعند قاعدة التل، وصلت سرعة الدراج إلى ١٫٥ متر لكل ثانية. وبذلك، سرعته النهائية ﻉ لهذا الجزء من الرحلة هي ١٫٥ متر لكل ثانية. نحن نحاول حساب المسافة الكلية المقطوعة. ومن ثم، سنشير إلى الإزاحة أو المسافة المقطوعة في الجزء الأول من الرحلة بـ ﻑ واحد.

سنستخدم الآن المعادلة: ﻉ تربيع يساوي ﻉ صفر تربيع زائد اثنين ﺟﻑ. وبالتعويض بالقيم الموجودة لدينا، نحصل على ١٫٥ تربيع يساوي صفر تربيع زائد اثنين مضروبًا في ٠٫٥ مضروبًا في ﻑ واحد. يبسط هذا إلى ٢٫٢٥ يساوي واحدًا مضروبًا في ﻑ واحد. إذن، المسافة المقطوعة في الجزء الأول من الرحلة تساوي ٢٫٢٥ من الأمتار.

لنفكر الآن في الجزء الثاني من الرحلة. يتحرك الدراج بسرعة ثابتة. وعليه، فإن العجلة تساوي صفر متر لكل ثانية مربعة. كلتا السرعتين الابتدائية والنهائية تساوي ١٫٥ متر لكل ثانية. وعلمنا من السؤال أنه يتحرك بهذه السرعة لمدة ٩٫٥ ثوان. سنشير إلى المسافة المقطوعة في هذا الجزء من الرحلة بـ ﻑ اثنين. نحن نعلم أن الإزاحة، أو في هذه الحالة المسافة ﻑ، تساوي ﻉ صفر زائد ﻉ على اثنين الكل مضروب في ﻥ. وبالتعويض بالقيم الموجودة لدينا، نحصل على ﻑ اثنين يساوي ١٫٥ زائد ١٫٥ على اثنين الكل مضروب في ٩٫٥. يبسط هذا إلى ١٫٥ مضروبًا في ٩٫٥، ما يساوي ١٤٫٢٥. إذن، المسافة المقطوعة في الجزء الثاني من الرحلة هي ١٤٫٢٥ مترًا.

يمكننا الآن حساب المسافة الكلية المقطوعة بجمع ٢٫٢٥ و١٤٫٢٥. وهذا يعطينا الناتج ١٦٫٥ مترًا. إذن، يقطع الدراج مسافة كلية مقدارها ١٦٫٥ مترًا.

في السؤال التالي، سنتناول حركة قطار بين محطتين.

بدأ قطار في التحرك من السكون في خط مستقيم بين محطتين. تحرك في أول ٨٠ ثانية بعجلة ثابتة مقدارها ﺟ. ثم استمر في التحرك بالسرعة التي اكتسبها لمدة ٦٥ ثانية إضافية. وأخيرًا، خفض سرعته بمعدل اثنين ﺟ حتى وصل إلى السكون. إذا كانت المسافة بين المحطتين ٨٫٩ كيلومترات، فأوجد مقدار ﺟ والسرعة ﻉ التي تحرك بها القطار في منتصف الرحلة.

لحل هذا السؤال، سنستخدم معادلات الحركة بعجلة منتظمة. سنكتب معادلات لأجزاء الرحلة الثلاثة، ثم نحلها من أجل حساب أي قيم مجهولة. لنبدأ بالتفكير في الجزء الأول من الرحلة. يتحرك القطار بعجلة من السكون، لذلك فإن السرعة الابتدائية تساوي صفر متر لكل ثانية. ويتحرك لمدة ٨٠ ثانية بعجلة ثابتة مقدارها ﺟ متر لكل ثانية مربعة. سنشير إلى السرعة التي يصل إليها عند هذه النقطة بـ ﻉ، وإلى الإزاحة من نقطة البداية أو المسافة المقطوعة بـ ﻑ واحد.

نحن نعرف أن ﻉ يساوي ﻉ صفر زائد ﺟﻥ. وبالتعويض بالقيم التي لدينا، نحصل على ﻉ يساوي صفرًا زائد ﺟ مضروبًا في ٨٠. وهذا يعطينا المعادلة ﻉ يساوي ٨٠ﺟ. هناك معادلة أخرى تنص على أن ﻑ يساوي ﻉ صفر زائد ﻉ على اثنين مضروبًا في ﻥ. إذن، ﻑ واحد يساوي صفرًا زائد ﻉ على اثنين مضروبًا في ٨٠. يبسط هذا إلى ﻑ واحد يساوي ٤٠ﻉ. سنسمي هاتين المعادلتين واحدًا واثنين، ثم ننتقل إلى الجزء الثاني من الرحلة.

في الجزء الثاني من الرحلة، يتحرك القطار بسرعة ثابتة ﻉ. هذا يعني أن عجلته تساوي صفر متر لكل ثانية مربعة. الزمن المستغرق يساوي ٦٥ ثانية. وسنرمز إلى المسافة المقطوعة بـ ﻑ اثنين. مرة أخرى، سنستخدم المعادلة ﻑ يساوي ﻉ صفر زائد ﻉ على اثنين مضروبًا في ﻥ. يعطينا هذا ﻑ اثنين يساوي ﻉ زائد ﻉ على اثنين مضروبًا في ٦٥. وبما أن ﻉ زائد ﻉ يساوي اثنين ﻉ، يمكن تبسيط هذا إلى ﻑ اثنين يساوي ٦٥ﻉ. سنسمي هذه المعادلة ثلاثة، وننتقل الآن إلى الجزء الأخير من الرحلة.

في هذا الجزء من الرحلة، يتباطؤ القطار حتى يسكن. وبما أن التباطؤ يساوي اثنين ﺟ، فإن قيمة ﺟ ستساوي سالب اثنين ﺟ متر لكل ثانية مربعة. والسرعة النهائية ﻉ تساوي صفر متر لكل ثانية. السرعة الابتدائية في هذا الجزء من الرحلة تساوي ﻉ، وهي سرعة تحركه في الجزء الثاني من الرحلة. سنرمز إلى المسافة المقطوعة في هذا الجزء بـ ﻑ ثلاثة، والزمن المستغرق ﻥ. وسنبدأ مرة أخرى باستخدام ﻑ يساوي ﻉ صفر زائد ﻉ على اثنين الكل مضروب في ﻥ. إذن ﻑ ثلاثة يساوي ﻉ زائد صفر على اثنين الكل مضروب في ﻥ. يبسط هذا إلى ﻑ ثلاثة يساوي ﻉﻥ على اثنين.

كما سنستخدم المعادلة ﻉ يساوي ﻉ صفر زائد ﺟﻥ. وبالتعويض بالقيم التي لدينا هنا نحصل على صفر يساوي ﻉ زائد سالب اثنين ﺟ مضروبًا في ﻥ. يبسط هذا إلى صفر يساوي ﻉ ناقص اثنين ﺟﻥ. وبإضافة اثنين ﺟﻥ إلى طرفي هذه المعادلة، نحصل على ﻉ يساوي اثنين ﺟﻥ. لدينا الآن معادلتان إضافيتان سنشير إليهما بأربعة وخمسة.

يخبرنا الجزء الأخير من السؤال أن المسافة بين المحطتين هي ٨٫٩ كيلومترات. لاستخدام معادلات الحركة، علينا تحويل هذا إلى المتر. بما أن الكيلومتر الواحد يساوي ١٠٠٠ متر، إذن ٨٫٩ كيلومترات تساوي ٨٩٠٠ متر. وعليه، يجب أن يكون مجموع المسافات ﻑ واحد وﻑ اثنين وﻑ ثلاثة هو ٨٩٠٠. وباستخدام المعادلات اثنين وثلاثة وأربعة، يمكن إعادة كتابة هذا على الصورة: ٤٠ﻉ زائد ٦٥ﻉ زائد ﻉﻥ على اثنين يساوي ٨٩٠٠. ‏‏١٠٥ﻉ زائد ﻉﻥ على اثنين يساوي ٨٩٠٠. إذا استطعنا إيجاد قيمة الزمن ﻥ، فسنتمكن من حساب السرعة ﻉ.

دعونا ننظر إلى المعادلتين واحد وخمسة. إنهما توضحان أن ﻉ يساوي ٨٠ﺟ واثنين ﺟﻥ، ما يعني أن ٨٠ﺟ لا بد أن يساوي اثنين ﺟﻥ. في هذه المرحلة، نحن نعلم أن ﺟ لا يساوي صفرًا. وعليه، يمكننا قسمة الطرفين على ﺟ. ويمكننا بعد ذلك قسمة طرفي هذه المعادلة على اثنين لنحصل على ﻥ يساوي ٤٠. الوقت المستغرق في الجزء الثالث من الرحلة هو ٤٠ ثانية. يمكننا الآن التعويض بـ ﻥ يساوي ٤٠ لحساب قيمة ﻉ. ‏‏٤٠ على اثنين يساوي ٢٠، و١٠٥ زائد ٢٠ يساوي ١٢٥. إذن، ١٢٥ﻉ يساوي ٨٩٠٠. وبقسمة طرفي هذه المعادلة على ١٢٥، نحصل على ﻉ يساوي ٧١٫٢. إذن السرعة ﻉ تساوي ٧١٫٢ مترًا لكل ثانية.

وبما أننا نعرف الآن قيمة ﻉ، يمكننا استخدام المعادلة الأولى لحساب العجلة ﺟ. ‏‏٧١٫٢ يساوي ٨٠ﺟ. وبقسمة طرفي هذه المعادلة على ٨٠، نحصل على ﺟ يساوي ٠٫٨٩. إذن، مقدار العجلة ﺟ يساوي ٠٫٨٩ متر لكل ثانية مربعة. والسرعة ﻉ تساوي ٧١٫٢ مترًا لكل ثانية.

في السؤال الأخير، سندرس حركة رصاصتين أطلقتا على قطعتين خشبيتين مختلفتين.

أطلقت رصاصة أفقيًا على قطعة من الخشب. بلغت سرعتها ٨٠ مترًا لكل ثانية، واخترقت قطعة الخشب مسافة ٣٢ سنتيمترًا قبل أن تتوقف. بافتراض أن عجلتها ﺟ منتظمة، أوجد قيمة ﺟ. إذا أطلقت رصاصة أخرى تحت ظروف مشابهة على قطعة من الخشب بسمك ١٤ سنتيمترًا، فأوجد سرعة خروج الرصاصة من القطعة الخشبية.

في السيناريو الأول، علمنا أن الرصاصة أطلقت بسرعة ٨٠ مترًا لكل ثانية. واخترقت القطعة لمسافة ٣٢ سنتيمترًا. وبما أن المتر الواحد يساوي ١٠٠ سنتيمتر، فإن هذا يساوي ٠٫٣٢ متر. لحساب قيمة جـ، سنستخدم معادلات الحركة بعجلة منتظمة. نحن نعلم أن ﻑ، وهو الإزاحة أو المسافة، يساوي ٠٫٣٢ متر، والسرعة الابتدائية تساوي ٨٠ مترًا لكل ثانية، والسرعة النهائية تساوي صفر متر لكل ثانية، ونحن نحاول حساب العجلة ﺟ. سنفعل ذلك باستخدام المعادلة ﻉ تربيع يساوي ﻉ صفر تربيع زائد اثنين ﺟﻑ.

وبالتعويض بالقيم التي لدينا، نحصل على صفر تربيع يساوي ٨٠ تربيع زائد اثنين ﺟ مضروبًا في ٠٫٣٢. يبسط هذا إلى صفر يساوي ٦٤٠٠ زائد ٠٫٦٤ﺟ. يمكننا بعد ذلك طرح ٦٤٠٠ من كلا الطرفين ثم القسمة على ٠٫٦٤. يعطينا هذا قيمة ﺟ تساوي سالب ١٠٠٠٠. إذن، عجلة الرصاصة تساوي سالب ١٠٠٠٠ متر لكل ثانية مربعة. وبما أن الكيلومتر الواحد يساوي ١٠٠٠ متر، يمكن كتابة ذلك أيضًا في صورة سالب ١٠ كيلومترات لكل ثانية مربعة.

في السيناريو الثاني، تخترق الرصاصة قطعة من الخشب سمكها ١٤ سنتيمترًا أو ٠٫١٤ متر. باستخدام نفس قيمتي ﻉ صفر وﺟ، يمكننا الآن حساب قيمة ﻉ، السرعة، التي تخرج بها الرصاصة من القطعة الخشبية. نحن نعلم أن ﻉ تربيع يساوي ﻉ صفر تربيع زائد اثنين ﺟﻑ. وبالتعويض بالقيم التي لدينا، يمكننا حساب ﻉ تربيع. وهذا يساوي ٣٦٠٠. بأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين ومعرفة أن قيمة ﻉ يجب أن تكون موجبة، نحصل على ﻉ يساوي ٦٠. إذن، الرصاصة تخرج من القطعة الخشبية بسرعة ٦٠ مترًا لكل ثانية.

سنلخص الآن النقاط الأساسية المستخلصة من هذا الفيديو. يمكن استخدام معادلات الحركة عندما تكون عجلة الجسم ثابتة. قبل استخدام أي معادلة من المعادلات الخمس، يجب أن تكون وحدات القياس التي نستخدمها صحيحة. والوحدات القياسية هي: المتر، والثانية، والمتر لكل ثانية، والمتر لكل ثانية مربعة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.