فيديو السؤال: إيجاد القيم العظمى والصغرى المحلية لدالة تتضمن دالة لوغاريتمية، إن وجدت الرياضيات

أوجد القيم العظمى المحلية والقيم الصغرى المحلية، إن وجدت، للدالة ﺩ(ﺱ) = ٣ﺱ^٢ − ٢ﺱ − ٤ ln ﺱ.

٠٨:١١

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد القيم العظمى المحلية والقيم الصغرى المحلية، إن وجدت، للدالة ﺩﺱ تساوي ثلاثة ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ ناقص أربعة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ.

القيم العظمى المحلية والقيم الصغرى المحلية هي أمثلة على النقاط الحرجة. ونعلم أنه لدالة ﺩﺱ، نحصل على النقاط الحرجة عندما تكون قيمة مشتقتها الأولى، أي ﺩ شرطة ﺱ، مساوية لصفر أو غير معرفة. علينا إذن إيجاد تعبير للمشتقة الأولى لهذه الدالة. لاشتقاق أول حدين، يمكننا تذكر قاعدة القوى للاشتقاق. مشتقة ثلاثة ﺱ تربيع تساوي ثلاثة مضروبًا في اثنين ﺱ. ومشتقة سالب اثنين ﺱ تساوي سالب اثنين. بعد ذلك، علينا أن نتذكر كيفية اشتقاق لوغاريتم طبيعي. حسنًا، يجب أن نتذكر أن المشتقة بالنسبة إلى ﺱ للوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ تساوي واحدًا على ﺱ.

ومن ثم، فإن مشتقة سالب أربعة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ هي سالب أربعة مضروبًا في واحد على ﺱ أو سالب أربعة على ﺱ. وبهذا نكون قد حصلنا على تعبير للمشتقة الأولى؛ أي إن ﺩ شرطة ﺱ تساوي ستة ﺱ ناقص اثنين ناقص أربعة على ﺱ. وبعد ذلك، نساوي ذلك التعبير بصفر، ما يعطينا ستة ﺱ ناقص اثنين ناقص أربعة على ﺱ يساوي صفرًا. وسنحل المعادلة الناتجة. وللتخلص من الكسر، يمكننا ضرب كلا طرفي المعادلة في ﺱ، فنحصل على ستة ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺱ ناقص أربعة يساوي صفرًا، وهي معادلة تربيعية في ﺱ. يمكننا التبسيط بالقسمة على اثنين لنحصل على ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ﺱ ناقص اثنين يساوي صفرًا. سنرى بعد ذلك إذا ما كان يمكن تحليل هذا المقدار التربيعي. وفي الواقع، يمكن فعل ذلك. وبما أن معامل ﺱ تربيع والحد الثابت كلاهما عددان أوليان، يمكننا فعل ذلك باستخدام التجربة والخطأ.

نجد أن العاملين التربيعيين هما ثلاثة ﺱ زائد اثنين مضروبًا في ﺱ ناقص واحد. بعد ذلك نأخذ كل عامل على حدة ونساويه بالصفر، ثم نحل المعادلة الخطية الناتجة. بحل المعادلة الأولى الناتجة، أي ثلاثة ﺱ زائد اثنين يساوي صفرًا، نحصل على ﺱ يساوي سالب ثلثين. وبحل المعادلة الثانية، أي ﺱ ناقص واحد يساوي صفرًا، نحصل على ﺱ يساوي واحدًا. وبهذا نكون أوجدنا قيمتين للمتغير ﺱ يكون عندهما للدالة ﺩﺱ نقاط حرجة. لكن تذكر أننا أوضحنا أن النقاط الحرجة توجد عندما تكون المشتقة الأولى مساوية لصفر أو غير موجودة. لذا، علينا أيضًا التحقق من وجود أي قيم لـ ﺱ تكون عندها قيمة المشتقة الأولى غير معرفة. حسنًا، بما أن لدينا العامل سالب أربعة على ﺱ في تعريفنا للدالة ﺩ شرطة ﺱ، فإن الدالة ﺩ شرطة ﺱ تكون غير موجودة عندما يكون ﺱ يساوي صفرًا لأن القسمة على صفر غير معرفة.

لكن إذا أعدنا النظر إلى الدالة الأصلية ﺩﺱ، نجد أنها تتضمن الحد سالب أربعة في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ. وتعرف اللوغاريتمات فقط بقيم ﺱ الموجبة. لذا، فإن مجال الدالة الأصلية لـ ﺱ هو ﺱ أكبر من صفر. ولا يشمل مجال الدالة الأصلية هذه القيمة، وهي ﺱ يساوي صفرًا. ومن ثم، لا داعي للقلق بشأن أن الدالة ﺩ شرطة ﺱ غير معرفة لقيمة ﺱ هذه. وللسبب نفسه، نلاحظ أنه على الرغم من أن ﺱ يساوي سالب ثلثين هو حل صحيح تمامًا للمعادلة التربيعية، فإنه ليس حلًّا صحيحًا عندما نتحدث عن النقاط الحرجة لأن قيمة ﺱ هذه لا تنتمي إلى مجال دالتنا الأصلية. لذا سنجد أنه توجد قيمة واحدة فقط لـ ﺱ تكون عندها للدالة ﺩﺱ نقطة حرجة. وهي عند ﺱ يساوي واحدًا.

علينا بعد ذلك إيجاد قيمة الدالة نفسها عند هذه النقطة الحرجة. إذن، نعوض بـ ﺱ يساوي واحدًا في تعريفنا للدالة ﺩﺱ، فنحصل على ثلاثة مضروب في واحد تربيع ناقص اثنين مضروب في واحد ناقص أربعة مضروب في اللوغاريتم الطبيعي لواحد. علينا الآن أن نتذكر أن اللوغاريتم الطبيعي لواحد يساوي صفرًا. إذن، هذا يساوي ثلاثة ناقص اثنين، ما يساوي واحدًا. نعلم إذن أن الدالة ﺩﺱ لها نقطة حرجة واحدة، وهي النقطة التي إحداثياتها واحد، واحد. لكننا لا نعرف حتى الآن إذا ما كانت قيمة صغرى محلية أم قيمة عظمى محلية. ولتحديد ذلك، علينا التفكير في شكل الدالة حول هذه النقطة، وهو ما يمكننا فعله عن طريق إجراء اختبار المشتقة الأولى.

نعلم أن المشتقة الأولى للدالة تساوي صفرًا عند النقطة الحرجة. أي عند ﺱ يساوي واحدًا. بعد ذلك نختار قيمتين لـ ﺱ على كلا جانبي النقطة الحرجة وننظر إلى إشارة المشتقة الأولى لكل منهما. عادة ما نحاول أن نختار القيم الصحيحة التي تقع على جانبي النقاط الحرجة مباشرة، ومن ثم نختار في هذه الحالة صفرًا واثنين. لكن بما أن الدالة معرفة فقط لقيم ﺱ التي تكون أكبر من الصفر تحديدًا، اخترت أن ﺱ يساوي نصفًا لتكون قيمة ﺱ على يسار النقطة الحرجة. عند ﺱ يساوي نصفًا، فإن المشتقة الأولى ﺩ شرطة ﺱ تساوي ستة مضروبًا في نصف ناقص اثنين ناقص أربعة على نصف. فنحصل على ثلاثة ناقص اثنين ناقص أربعة في اثنين، ما يساوي ثمانية، وهو ما يساوي بالكامل سالب سبعة. وبذلك، نجد أن المشتقة الأولى ستكون سالبة عندما يكون ﺱ يساوي نصفًا. وهذا على يسار النقطة الحرجة.

وعند ﺱ يساوي اثنين، فإن ﺩ شرطة ﺱ تساوي ستة مضروبًا في اثنين ناقص اثنين ناقص أربعة على اثنين. وهذا يساوي ١٢ ناقص اثنين ناقص اثنين، ما يساوي ثمانية. وبذلك، نجد أن المشتقة الأولى للدالة تكون موجبة على يمين النقطة الحرجة. سنتناول بعد ذلك شكل المنحنى. بالانتقال من اليسار إلى اليمين، تتغير المشتقة الأولى من قيمة سالبة إلى صفر إلى قيمة موجبة. وبذلك، نجد أن هذه النقطة الحرجة هي نقطة قيمة صغرى محلية. وفي الأخير يمكننا استنتاج أن الدالة ﺩﺱ لها قيمة صغرى محلية تساوي واحدًا عند ﺱ يساوي واحدًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.