فيديو الدرس: تبسيط وحيدات الحد: قاعدة القسمة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نقسم وحيدات الحد ذات المتغير الواحد والمتعددة المتغيرات. وسنركز تحديدًا على كيفية تبسيط خارج قسمة وحيدات الحد.

في البداية، دعونا نسترجع تعريف وحيدة الحد. وحيدة الحد هي حد جبري واحد يكون كل متغير فيه مرفوعًا لقوة صحيحة غير سالبة. ولمعرفة كيف يمكن تبسيط خارج قسمة وحيدات الحد، سنبدأ بتناول مثال. افترض أننا نريد تبسيط خارج قسمة ﺱ تكعيب وﺱ تربيع. لفعل ذلك، دعونا نسترجع أن الأسس أو القوى تعرف بأنها الضرب المتكرر لعدد ما. هذا يعني أن ﺱ تكعيب يساوي ﺱ في ﺱ في ﺱ، وﺱ تربيع يساوي ﺱ في ﺱ. ويمكننا استخدام ذلك لإعادة كتابة خارج القسمة.

في هذه المرحلة، من المهم ملاحظة أن ﺱ يمثل عددًا لا يساوي صفرًا. وإذا لم يكن كذلك، فسيكون خارج القسمة غير معرف. ‏ﺱ لا يمكن أن يساوي صفرًا لأنه، كما نعلم، لا يمكننا القسمة على صفر. وبالمثل، لا يمكننا حذف العوامل المشتركة ﺱ إذا كان ﺱ يساوي صفرًا. لكن عندما تكون قيمة ﺱ لا تساوي صفرًا، يمكننا حذف العوامل المشتركة ﺱ. وبذلك يتبقى لدينا ﺱ على واحد، أو ببساطة ﺱ.

يمكننا تعميم هذه العملية لحساب خارج قسمة أي وحيدتي حد. ولفعل ذلك، سنبدأ بحساب خارج قسمة وحيدتي الحد ﺱ أس ﻡ وﺱ أس ﻥ؛ حيث ﻡ وﻥ عددان صحيحان موجبان، وﻡ أكبر من أو يساوي ﻥ. وذلك يكون بكتابة عملية ضرب عدد ﻡ من العوامل في البسط وعدد ﻥ من العوامل في المقام. وبما أن ﻡ أكبر من أو يساوي ﻥ، فإن العوامل المتبقية التي لم تحذف ستكون في البسط. ومن ثم، يمكننا قول إن عدد العوامل غير المحذوفة يساوي ﻡ ناقص ﻥ. وبهذا، نجد أن ﺱ أس ﻡ مقسومًا على ﺱ أس ﻥ يساوي ﺱ أس ﻡ ناقص ﻥ. وتعرف هذه القاعدة بقاعدة القسمة للأسس.

تنص قاعدة القسمة للأسس على أنه لأي عددين صحيحين ﻡ وﻥ؛ حيث ﻡ أكبر من أو يساوي ﻥ وأي قيمة لـ ﺱ لا تساوي صفرًا، يكون ﺱ أس ﻡ مقسومًا على ﺱ أس ﻥ يساوي ﺱ أس ﻡ ناقص ﻥ. ويمكننا تطبيق هذه القاعدة لإيجاد خارج قسمة أي وحيدتي حد، كما سنرى في المثال الأول.

بسط ﺱ أس سبعة على ﺱ أس ستة.

حسنًا، بما أنه مطلوب منا تبسيط خارج قسمة وحيدتي حد، يمكننا البدء باسترجاع قاعدة القسمة للأسس، والتي تنص على أنه لأي عددين صحيحين ﻡ وﻥ، حيث ﻡ أكبر من أو يساوي ﻥ وأي قيمة لـ ﺱ لا تساوي صفرًا، يكون ﺱ أس ﻡ مقسومًا على ﺱ أس ﻥ يساوي ﺱ أس ﻡ ناقص ﻥ.

في الحالة لدينا، نعلم أن ﻡ يساوي سبعة وﻥ يساوي ستة. هذا يعني أنه عند التعويض بهاتين القيمتين في قاعدة القسمة للأسس، يصبح لدينا ﺱ أس سبعة ناقص ستة، وهذا يساوي ﺱ أس واحد. بعد ذلك، دعونا نسترجع أنه عند رفع أي عدد للقوة واحد فإنه يظل كما هو دون تغيير. وبهذا، نجد أن ﺱ أس سبعة على ﺱ أس ستة يساوي ﺱ.

من الجدير بالذكر أنه يمكننا أيضًا حل هذه المسألة بالاستعانة بالمبادئ الأولية التي نعرفها، وذلك بكتابة عملية الضرب كاملة؛ حيث يكون هناك سبعة عوامل في البسط وستة عوامل في المقام. بعد ذلك، يمكننا حذف العوامل الستة المشتركة في البسط والمقام معًا، ليتبقى لدينا عندئذ عامل واحد، وهو ﺱ.

في المثال التالي، سنرى كيف يمكن تطبيق هذه القاعدة للإجابة عن سؤال يتناول نموذج مساحة.

أوجد طول الضلع المجهول بالمستطيل الآتي.

في البداية، دعونا نسترجع أن مساحة المستطيل تساوي طوله مضروبًا في عرضه. وبالنظر إلى الشكل لدينا، نجد أن مساحة المستطيل تساوي ٢٤ﺱ تربيع، وعرضه يساوي أربعة ﺱ. إذا أسمينا طول المستطيل ﻝ، فسنجد أن ٢٤ﺱ تربيع يساوي ﻝ في أربعة ﺱ.

لاحظ أن ﺱ لا يمكن أن يساوي صفرًا؛ لأن كلًّا من عرض المستطيل ومساحته لا يساوي صفرًا. ومن ثم، يمكننا قسمة طرفي المعادلة على أربعة ﺱ. في الطرف الأيسر من المعادلة، نحذف العامل المشترك أربعة ﺱ ليصبح لدينا بذلك ٢٤ﺱ تربيع على أربعة ﺱ يساوي ﻝ. وكما نلاحظ، كل من بسط الكسر الناتج ومقامه يحتوي على وحيدة حد. ووحيدة الحد هي حد جبري واحد يكون كل متغير فيه مرفوعًا إلى قوة صحيحة غير سالبة.

في الطرف الأيمن، سنحسب خارج قسمة وحيدتي حد، وهو ما يمكننا تبسيطه باستخدام قاعدة القسمة للأسس. هذه القاعدة تنص على أنه لأي عددين صحيحين ﻡ وﻥ؛ حيث ﻡ أكبر من أو يساوي ﻥ وأي قيمة لـ ﺱ لا تساوي صفرًا، يكون ﺱ أس ﻡ مقسومًا على ﺱ أس ﻥ يساوي ﺱ أس ﻡ ناقص ﻥ. وقد يكون من المفيد كتابة خارج القسمة في صورة عملية ضرب لخارجي قسمة بحيث نقوم بتجميع العوامل التي لها الأساس ﺱ معًا.

حسنًا، بما أن ﺱ يساوي ﺱ أس واحد، يمكننا تطبيق قاعدة القسمة؛ حيث ﻡ يساوي اثنين وﻥ يساوي واحدًا. وهكذا نجد أن ﺱ أس اثنين مقسومًا على ﺱ أس واحد يساوي ﺱ. وبتبسيط ٢٤ على أربعة نجد أنه يساوي ستة. إذن، الطول المجهول في المستطيل يساوي ستة ﺱ.

لقد تناولنا حتى الآن خارج قسمة وحيدات حد تتضمن متغيرًا واحدًا. لكن يمكننا تطبيق العملية نفسها لإيجاد خارج قسمة وحيدات الحد التي تتضمن متغيرات متعددة، كما سنرى في المثال التالي.

بسط سالب ١٢ﺱ أس ستة في ﺹ أس خمسة على ستة ﺱ أس أربعة في ﺹ.

حسنًا، نلاحظ هنا أن كلًّا من البسط والمقام يحتوي على وحيدة حد تتضمن متغيرات متعددة. ولعلنا نتذكر أن وحيدة الحد هي حد جبري واحد يكون كل متغير فيه مرفوعًا إلى قوة صحيحة غير سالبة. في الحالة لدينا، تتضمن وحيدات الحد المتغيرين ﺱ وﺹ. ولتبسيط خارج القسمة المعطى، يمكننا إعادة كتابته على الصورة سالب ١٢ في ﺱ أس ستة في ﺹ أس خمسة على ستة في ﺱ أس أربعة في ﺹ.

بعد ذلك، يمكننا استخدام خواص ضرب الأعداد النسبية لتحليل عملية القسمة إلى عوامل لها الأساس نفسه. يمكننا تبسيط خارج القسمة الأول إلى سالب اثنين. ويمكننا تبسيط خارجي القسمة المتبقيين باستخدام قاعدة القسمة للأسس، والتي تنص على أنه لأي عددين صحيحين ﻡ وﻥ، حيث ﻡ أكبر من أو يساوي ﻥ وأي قيمة لـ ﺱ لا تساوي صفرًا، يكون ﺱ أس ﻡ مقسومًا على ﺱ أس ﻥ يساوي ﺱ أس ﻡ ناقص ﻥ.

لتبسيط خارجي القسمة هذين، سنفترض أن كلًّا من ﺱ وﺹ لا يساوي صفرًا. ولعلنا نلاحظ أن ﺹ يساوي ﺹ أس واحد. هذا يعني، وفقًا لقاعدة القسمة، أن ﺱ أس ستة على ﺱ أس أربعة يساوي ﺱ أس ستة ناقص أربعة. وﺹ أس خمسة على ﺹ أس واحد يساوي ﺹ أس خمسة ناقص واحد.

إذن، يبسط سالب ١٢ﺱ أس ستة في ﺹ أس خمسة على ستة ﺱ أس أربعة في ﺹ إلى سالب اثنين ﺱ تربيع في ﺹ أس أربعة.

في آخر مثال لدينا، سنستخدم هذه العملية لتبسيط حاصل ضرب وخارج قسمة وحيدات حد.

بسط ﺱ أس أربعة في ﺹ أس أربعة مضروبًا في ﺱ تربيع في ﺹ أس أربعة على ﺱ أس أربعة في ﺹ تكعيب.

يمكننا في البداية ملاحظة أن بسط هذا المقدار هو حاصل ضرب وحيدتي حد. ووحيدة الحد هي حد جبري واحد يكون كل متغير فيه مرفوعًا لقوة صحيحة غير سالبة. لتبسيط المقدار بالكامل، سنبدأ بتبسيط البسط باستخدام قاعدة الضرب للأسس، وهي تنص على أنه لأي عدد نسبي ﺱ وعددين صحيحين غير سالبين ﻡ وﻥ، يكون ﺱ أس ﻡ مضروبًا في ﺱ أس ﻥ يساوي ﺱ أس ﻡ زائد ﻥ.

باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب، يمكننا إعادة كتابة البسط ليكون على الصورة ﺱ أس أربعة في ﺱ تربيع مضروبًا في ﺹ أس أربعة في ﺹ أس أربعة. ووفقًا لقاعدة الضرب للأسس، يمكننا جمع قوى العاملين اللذين لهما الأساس ﺱ ثم جمع قوى العاملين اللذين لهما الأساس ﺹ. ويظل لدينا في المقام ﺱ أس أربعة في ﺹ تكعيب.

بعد الانتهاء من تبسيط البسط باستخدام خاصية الإبدال وقاعدة الضرب، يصبح لدينا ﺱ أس ستة في ﺹ أس ثمانية على ﺱ أس أربعة في ﺹ تكعيب. هذا الناتج هو خارج قسمة وحيدتي حد. ولعلنا نتذكر أنه يمكننا تبسيط خارج قسمة وحيدتي حد من خلال إعادة ترتيب خارج القسمة لفصل العوامل التي لها الأساس نفسه.

بعد ذلك، يمكننا تبسيط خارجي القسمة الأخيرين باستخدام قاعدة القسمة للأسس، وهي تنص على أنه لأي عددين صحيحين ﻡ وﻥ، حيث ﻡ أكبر من أو يساوي ﻥ وأي قيمة لـ ﺱ لا تساوي صفرًا، يكون ﺱ أس ﻡ مقسومًا على ﺱ أس ﻥ يساوي ﺱ أس ﻡ ناقص ﻥ. حسنًا، سنفترض أن كلًّا من ﺱ وﺹ لا يساوي صفرًا، ثم نطبق هذه القاعدة لنحصل بذلك على ﺱ أس اثنين في ﺹ أس خمسة. وهذا هو تبسيط المقدار الأصلي المكون من حاصل ضرب وخارج قسمة وحيدات حد.

دعونا الآن نختتم الفيديو بتلخيص بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها. في البداية، علمنا أن وحيدة الحد تعرف بأنها حد جبري واحد يكون كل متغير فيه مرفوعًا إلى قوة صحيحة غير سالبة. وعندما نحتاج إلى تبسيط خارج قسمة وحيدات حد، نستخدم قاعدة القسمة للأسس. هذه القاعدة تنص على أنه لأي عددين صحيحين ﻡ وﻥ، حيث ﻡ أكبر من أو يساوي ﻥ وأي قيمة لـ ﺱ لا تساوي صفرًا، يكون ﺱ أس ﻡ مقسومًا على ﺱ أس ﻥ يساوي ﺱ أس ﻡ ناقص ﻥ.