نسخة الفيديو النصية
احسب التكامل المحدد من سالب ثلاثة إلى ثلاثة لسالب خمسة ﻫ بالنسبة إلى ﺱ.
في هذا السؤال، مطلوب منا حساب قيمة تكامل محدد. ولفعل ذلك، سنستخدم معرفتنا بالنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل. سنبدأ باسترجاع النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل. في الواقع، لن نسترجع سوى الجزء المتعلق بحساب قيمة التكاملات المحددة. نحن نعلم أنه إذا كانت ﺩ متصلة على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ، وﻕ شرطة ﺱ يساوي ﺩس، فإن التكامل المحدد من ﺃ إلى ﺏ للدالة ﺩس بالنسبة إلى ﺱ يساوي قيمة ﻕ عند ﺏ ناقص قيمة ﻕ عند ﺃ.
بعبارة أخرى، إذا كانت الدالة التي سيجرى عليها التكامل متصلة على فترة التكامل، يمكننا إيجاد قيمة التكامل المحدد بإيجاد المشتقة العكسية لهذه الدالة. ﻕ شرطة ﺱ هي المشتقة العكسية. نحن نعرف العديد من الطرق لإيجاد المشتقات العكسية. لكن قبل تناول ذلك، علينا التأكد من أن الدالة التي سيجرى عليها التكامل متصلة على فترة التكامل. حسنًا، بالنسبة إلى التكامل المحدد المعطى في السؤال، الحد السفلي للتكامل هو سالب ثلاثة والحد العلوي هو ثلاثة. ومن ثم، نجعل ﺃ يساوي سالب ثلاثة وﺏ يساوي ثلاثة.
علينا إذن إثبات أن الدالة التي سيجرى عليها التكامل سالب خمسة ﻫ متصلة على الفترة المغلقة من سالب ثلاثة إلى ثلاثة. في هذه المسألة، الدالة التي سيجرى عليها التكامل هي دالة ثابتة. ونحن نعرف أن الدوال الثابتة تكون متصلة لجميع القيم الحقيقية. لذلك، فهي متصلة على الفترة المغلقة من سالب ثلاثة إلى ثلاثة. هذا يعني أنه يمكننا حساب هذا التكامل المحدد باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل. ليس علينا سوى إيجاد المشتقة العكسية؛ ﻕﺱ.
حسنًا، نحن في الواقع نعرف العديد من الطرق لإيجاد هذه المشتقة العكسية. على سبيل المثال، نعلم أن مشتقة سالب خمسة ﻫﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي سالب خمسة ﻫ. ونعلم ذلك إما باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق أو بمعلومية أن هذه دالة خطية. هذا يعني أن سالب خمسة ﻫﺱ هو مثال على المشتقة العكسية.
مع ذلك، هذه ليست الطريقة الوحيدة التي نستخدمها لإيجاد المشتقات العكسية. يمكننا أيضًا استخدام معرفتنا بالتكاملات غير المحددة. على سبيل المثال، باستخدام قاعدة القوة للتكامل، نعلم أن التكامل غير المحدد لسالب خمسة ﻫ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب خمسة ﻫﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. وهذا يعطينا المشتقات العكسية لأي قيمة لـ ﺙ. ونطلق على ذلك اسم «المشتقة العكسية العامة».
يمكننا استخدام الطريقة التي نفضلها. في الواقع، يمكننا استخدام أي قيمة لـ ﺙ في المشتقة العكسية لدينا، لكن من الأسهل عادة اختيار ﺙ يساوي صفرًا. إذن، سنختار المشتقة العكسية ﻕﺱ لتكون سالب خمسة ﻫﺱ. حسنًا، نحن الآن جاهزون لتطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل. لكن قبل أن نبدأ بالتعويض بقيمتي ﺏ وﺃ في المشتقة العكسية لدينا، ثمة ترميز سنستخدمه. يمكننا التعويض مباشرة بحدي التكامل في المشتقة العكسية. لكننا نكتب ذلك عادة باستخدام هذا الترميز. إننا نكتب المشتقة العكسية بين قوسين مربعين، ثم نكتب الحدين العلوي والسفلي خارج القوس. يساعدنا هذا الترميز في الكتابة بشكل منظم.
نحن الآن مستعدون لإيجاد قيمة المشتقة العكسية عند حدي التكامل. تذكر أننا نحتاج إلى حساب ﻕﺏ ناقص ﻕ ﺃ. عند القيام بذلك، نحصل على سالب خمسة ﻫ في ثلاثة ناقص سالب خمسة ﻫ في سالب ثلاثة. ويمكننا بعد ذلك التبسيط. في الحد الأول، سالب خمسة في ثلاثة يساوي سالب ١٥. وفي الحد الثاني، يبسط سالب واحد في سالب خمسة مضروبًا في سالب ثلاثة ليعطينا سالب ١٥. إذن، يمكننا تبسيط التكامل المحدد ليصبح لدينا سالب ١٥ﻫ ناقص ١٥ﻫ، وهو ما يساوي سالب ٣٠ﻫ. وهذه هي الإجابة النهائية.
إذن، باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، تمكنا من توضيح أن التكامل المحدد من سالب ثلاثة إلى ثلاثة لسالب خمسة ﻫ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب ٣٠ﻫ.
