فيديو السؤال: إيجاد مجموع متتابعة هندسية بمعلومية حديها الأول والأخير وأساسها الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في متتابعة هندسية، الحد الأول ﺃ، وأساس المتتابعة الهندسية ﺭ، والحد الأخير ﻝ. أوجد مجموع المتتابعة الهندسية التي فيها ﺃ يساوي ١٤٠٨، وﺭ يساوي نصفًا، وﻝ يساوي ٨٨.

إننا نعلم أن هناك صيغتين يمكننا استخدامهما عند التعامل مع المتتابعات الهندسية. الأولى هي أن الحد النوني ﺡﻥ يساوي ﺃ في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد. والثانية هي أن مجموع أول عدد ﻥ من الحدود ﺟﻥ يساوي ﺃ في واحد ناقص ﺭ أس ﻥ الكل مقسوم على واحد ناقص ﺭ. علمنا من السؤال أن ﻝ يساوي ٨٨. وبما أن هذا هو الحد الأخير، فإنه يساوي ﺡﻥ. بالتعويض بقيمتي ﺃ وﺭ، نحصل على المعادلة ٨٨ يساوي ١٤٠٨ في نصف أس ﻥ ناقص واحد.

بقسمة طرفي المعادلة على ١٤٠٨، نحصل على واحد على ١٦ يساوي نصفًا أس ﻥ ناقص واحد. يمكننا هنا ملاحظة أن نصفًا أس أربعة يساوي واحدًا على ١٦. نحن نعرف ذلك لأنه عند رفع أي كسر إلى قوة ما، يمكننا رفع كل من البسط والمقام إلى هذه القوة. في هذه الحالة، واحد أس أربعة يساوي واحدًا، واثنان أس أربعة يساوي ١٦. وهذا يعني أن ﻥ ناقص واحد يجب أن يساوي أربعة. وبإضافة واحد إلى طرفي هذه المعادلة، نحصل على ﻥ يساوي خمسة. إذن، هناك خمسة حدود في المتتابعة الهندسية.

إذا لم نكن نعرف أن نصفًا أس أربعة يساوي واحدًا على ١٦، كان بإمكاننا استخدام اللوغاريتمات. نحن نعرف أنه إذا كان ﺃ يساوي ﺏ أس ﺱ، فإن ﺱ يساوي لوغاريتم ﺃ للأساس ﺏ. وهذا يعني، في السؤال لدينا، أن ﻥ ناقص واحد يساوي لوغاريتم واحد على ١٦ للأساس نصف. وهذا يساوي أربعة. إذن، مرة أخرى، ﻥ ناقص واحد يساوي أربعة، وعليه فإن ﻥ يساوي خمسة. يمكننا الآن حساب مجموع الحدود الخمسة في المتتابعة الهندسية. هذا يساوي ١٤٠٨ مضروبًا في واحد ناقص نصف أس خمسة الكل مقسوم على واحد ناقص نصف. بكتابة ذلك على الآلة الحاسبة، نحصل على ٢٧٢٨.

إذن، مجموع المتتابعة الهندسية التي فيها ﺃ يساوي ١٤٠٨، وﺭ يساوي نصفًا، وﻝ يساوي ٨٨ هو ٢٧٢٨.