تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: حل نظام من معادلتين خطيتين باستخدام الجدول والرسم البياني

سوزان فائق

يوضح الفيديو مفهوم حل المعادلات، وكيفية حل نظام من معادلتين خطيتين باستخدام الجدول، وطريقة الحل بيانيًّا، وتوضيح أنواع الأنظمة طبقًا لعدد الحلول وخصائصها.

١١:١٢

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلم في الفيديو ده عن حل نظام من معادلتين خطيتين، باستخدام الجدول والرسم البياني.

المقصود بحل نظام من المعادلات الخطية، إن إحنا نوجد الزوج المرتب اللي بيحقّق المعادلات كلها مرة واحدة. يعني نفس الزوج المرتب هيحقّق كل معادلة. وهنتكلم في الأول عن استخدام الجدول.

طريقة استخدام الجدول بتبقى عن طريق خطوتين. أول خطوة فيهم: نُعيد صياغة المعادلات، ونكتبها في شكل الميل والجزء المقطوع من محور الصادات. يعني لو عندنا معادلة بالشكل ده: ص زائد اتنين س يساوي تمنية. ومعادلة تانية: ص زائد سبعة تساوي أربعة س. هنعيد صياغتها، ونكتبها في شكل الميل والجزء المقطوع من محور الصادات. يعني هنخلي الـ ص في طرف، والباقي كله في الطرف التاني. هتبقى بالشكل ده: ص تساوي تمنية ناقص اتنين س. المعادلة التانية هتبقى: ص تساوي أربعة س ناقص سبعة. هنخلّي المعادلة الأولانية اسمها ص واحد. والمعادلة التانية ص اتنين.

عشان نحقق تاني خطوة. تاني خطوة عندنا، هنعوّض بقيم مختلفة للـ س، ونوجد ما يقابلها في الـ ص؛ حتى يتطابق حل في المعادلتين. زيّ الجدول ده كده. هنعوّض بالـ س تساوي صفر. ص واحد هتبقى تمنية. ص اتنين هتبقى سالب سبعة. الفرق ما بينهم هيبقى خمستاشر. يبقى الفرق كبير جدًّا. هنعوّض برقم تاني. لمّا الـ س تساوي واحد، يبقى الـ ص واحد تساوي ستة. وَ ص اتنين هتساوي سالب تلاتة. الفرق ما بينهم هيبقى تسعة. كده الفرق بيقلّ. يبقى معناها إن إحنا بنقرب؛ لأن ص واحد هتساوي ص اتنين، عند نفس قيمة الـ س.

هنكمل هنلاقي عند الـ س تساوي اتنين، يبقى ص واحد هتساوي أربعة، ص اتنين هتساوي واحد. يبقى الفرق ما بينهم هيبقى تلاتة. يبقى كده إحنا ماشيين في الاتجاه الصح؛ إن الفرق ما بينهم بيقل. لغاية ما هنعوّض بالـ س تساوي تلاتة. يبقى ص واحد هتساوي اتنين، وَ ص اتنين هتساوي خمسة. الفرق ما بينهم هيبقى سالب تلاتة. معنى كده إن الفرق ما بينهم اتحوّل من التلاتة للسالب تلاتة. يبقى لمّا كانوا بيساووا صفر، كان بين الاتنين والتلاتة لقيمة الـ س. يبقى الحل كان ما بين الاتنين والتلاتة.

هنقلب الصفحة، ونشوف مثال. المثال بيقول: حِل نظام المعادلات الآتية: تلاتة س زائد اتنين ص يساوي سالب اتنين. وسالب أربعة س زائد خمسة ص يساوي سالب تمنية وعشرين.

أول خطوة عندنا هنعيد صياغة المعادلتين، ونكتبهم في صيغة الميل والجزء المقطوع من محور الصادات. ص هتساوي سالب تلاتة عَ الاتنين س، ناقص اتنين عَ الاتنين. يعني هتبقى سالب واحد ونص س، ناقص واحد. يعني المعادلة الأولانية هتبقى: ص واحد تساوي سالب واحد ونص س، ناقص واحد. المعادلة التانية هتبقى: تمنية من عشرة س، ناقص خمسة وستة من عشرة، وهنسميها ص اتنين. يبقى كده عندنا المعادلتين اللي هنحلّهم.

تاني خطوة عندنا هنعوّض بالقيم للسينات، ونشوف قيم الصادات المقابلة ليها. لغاية ما نوصل لتطابُق في القيمتين بتاع المعادلة ص واحد وَ ص اتنين؛ عشان يبقى نفس زوج المرتب. هنعوّض بقيم الـ س: صفر، وواحد، واتنين. نوجد القيم المقابلة لـ ص واحد، وَ ص اتنين.

يبقى عندنا الأزواج المرتبة س وَ ص واحد، كانت صفر وسالب واحد. وَ س وَ ص اتنين، كانت صفر وسالب خمسة وستة من عشرة. زوج المرتب لمّا الـ س تساوي واحد، يبقى الـ ص واحد هتساوي سالب اتنين ونص. ولمّا الـ س تساوي واحد، يبقى الـ ص اتنين هتساوي سالب أربعة وتمنية من عشرة. عند الـ س تساوي اتنين، هنلاقي ص واحد بقت سالب أربعة. والـ س لمّا تساوي اتنين، ص اتنين هتساوي سالب أربعة.

يبقى معنى كده إن إحنا عندنا الزوج المرتب اتنين وسالب أربعة، هو اللي متكرّر في المعادلتين. يعني بيحقّق المعادلتين سوا. يبقى ده هو الحل اللي إحنا بندوّر عليه. يبقى حل النظام هيبقى الزوج المرتب: اتنين وسالب أربعة.

نقلب الصفحة، ونشوف إزاي هنستخدم الرسم البياني لإيجاد الحل.

الحل باستخدام الرسم البياني بيبقى عن طريق رسم المعادلتين على نفس المحور، السينات والصادات؛ وإيجاد نقطة تقاطُعهم، وهي اللي بتمثّل حل النظام. ناخذ مثال، ونشوف إزاي هنطلّع الحل من الرسم البياني.

المثال بيقول: اوجد حل النظام الآتي بيانيًّا: اتنين س ناقص ص يساوي سالب واحد. واتنين ص زائد خمسة س يساوي سالب ستاشر.

أول خطوة هنعيد صياغتهم عشان نعرف نرسمهم. يعني هتبقى المعادلة الأولانية: ص تساوي اتنين س زائد واحد. تاني معادلة هتبقى: ص تساوي خمسة عَ الاتنين بالسالب، في الـ س ناقص، ستاشر على الاتنين. يعني هتساوي سالب اتنين ونص س ناقص تمنية. يبقى هنرسم المعادلة: ص تساوي اتنين س زائد واحد. والمعادلة التانية هتبقى: ص تساوي سالب اتنين ونص س ناقص تمنية. هنرسمهم على الرسم البياني بالشكل ده. وبعدين نوجد نقطة التقاطع. نقطة التقاطع عندنا هتبقى النقطة دي. هتبقى قيمتها سالب اتنين وسالب تلاتة. يبقى الحل من الرسم البياني، هيبقى سالب اتنين وسالب تلاتة.

علشان نتأكد إن الحل بتاعنا صحيح، نحقّق المعادلتين. نحطّ القيمة سالب اتنين وسالب تلاتة، نعوّض بيها في المعادلة الأولانية والمعادلة التانية. ونشوف فعلًا لمّا نحطّ الـ س تساوي سالب اتنين، والـ ص تساوي سالب تلاتة، هل هتدّي لنا القيمة سالب واحد. ونفس الكلام في المعادلة التانية.

في المعادلة الأولانية، لمّا هنعوّض بالـ س تساوي سالب اتنين، يبقى المعادلة: اتنين في سالب اتنين، ناقص الـ ص. لمّا هنعوّض بيها سالب تلاتة، يبقى ناقص ناقص سالب تلاتة. يبقى الكلام ده كله هيساوي سالب واحد. وهي فعلًا القيمة اللي موجودة عندنا في المعادلة الأولانية.

نفس الكلام هنعمله في المعادلة التانية. المعادلة التانية تبقى: اتنين في سالب تلاتة، زائد خمسة في سالب اتنين. يعني سالب ستة ناقص عشرة. الكلام ده هيساوي سالب ستاشر. اللي هو فعلًا نفس القيمة اللي في المعادلة التانية، هي سالب ستاشر. يبقى معنى كده إن الحل سالب اتنين وسالب تلاتة، حل صحيح.

فيه أوقات لمّا بنرسم المعادلات، ما بيحصلش تقاطُع. فيه أوقات بيبقى الخطّين يا إمّا متوازيين أو متطابقين. ده بيخلّي نوع الحل مختلف، وبيخلّي النظام له اسم تاني. نقلب الصفحة، ونشوف إيه الموضوع ده.

أنواع الأنظمة طبقًا لعدد الحلول، لو على الأقل عندنا حل واحد، يبقى النظام متّسق. طيب لو عَ الأقل حل واحد؛ يعني يا إمّا حل واحد بس، أو أكتر. لو كان حل واحد بس فقط، يبقى نظام مستقل. يبقى النظام اللي هيبقى فيه حل واحد فقط، هيبقى نظام متّسق ومستقل. طيب لو كان أكتر من حل، يبقى النظام متّسق، وكمان غير مستقل. طيب لو ما كانش فيه حل خالص، يبقى النظام غير متّسق.

ناخذ مثال. المثال بيقول: ارسم كل نظام من المعادلات الآتية، ووضّح نوع النظام. النظام الأولاني: أربعة س زائد تلاتة ص يساوي أربعة وعشرين. وسالب تلاتة س زائد خمسة ص يساوي تلاتين.

هنرسم المعادلتين دول. هيبقوا بالشكل ده. هنلاقيهم متقاطعين في نقطة واحدة. يبقى معنى كده إن فيه حل واحد، وحل واحد فقط. يبقى النظام هيبقى متّسق ومستقل. النظام المعادلات التانية هيبقى سالب اتنين س زائد خمسة ص يساوي عشرة. وأربعة س ناقص عشرة ص يساوي سالب عشرين. لمّا هنرسمهم هيبقوا بالشكل ده. لمّا هنرسمهم هنلاقيهم الخطين متطابقين. يبقى معناها إنه عدد لا نهائي من الحلول. لأن كل نقطة على الخط هتمثّل حل. يبقى النظام ده نظام متّسق، لكن غير مستقل.

من الرسمتين دول، هنلاحظ إن الميل بتاع الخطين اللي تقاطعوا دولا مختلفين. لكن الميل في المعادلة دي والمعادلة دي، هنلاقي نفس الميل؛ عشان كده اترسموا على نفس الخط. يبقى معنى كده إن لمّا بيكون الميل مختلف، بيحصل تقاطُع في الخطوط. لكن لمّا يكون الميل واحد، بيتطابقوا. يبقى معنى كده إن إحنا عندنا عدد لا نهائي من الحلول. معنى كده إن أيّ نظام فيه اختلاف في الميل، هيبقى نظام متّسق ومستقل.

نقلب الصفحة، ونعمل جدول لأنواع الأنظمة طبقًا لعدد الحلول. عندنا تلات أنواع من الحلول: لو تقاطعوا في نقطة، هيبقى النظام متّسق ومستقل. ومن الرسم اللي قدامنا ده، معناه إن لو حصل تقاطُع، يبقى حل وحيد. لمّا يكونوا نفس الخط، هيبقى عدد لا نهائي من الحلول. يبقى النظام هيبقى متّسق لكن غير مستقل. الحالة التالتة لو حصل تَوازي للخطوط، هيبقى ما فيش حل ما بين المعادلتين. لأن في الحالة دي ما فيش تقاطُع؛ يعني ما فيش زوج مرتب مشترك بين الاتنين. فبالتالي النظام ده هيبقى نظام غير متّسق.

اتكلمنا في الفيديو ده إزاي هنحل نظام من معادلتين خطيتين، في الجدول أو في الرسم البياني. وإيه هي خصائص النظام؛ يعني نوع النظام طبقًا لعدد الحلول. زيّ ما قُلنا إن هو هيبقى: يا إمّا نظام غير متّسق، أو متّسق وغير مستقل، أو متّسق ومستقل.