فيديو الدرس: نظرية فيثاغورس في ثلاثة أبعاد الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم نظرية فيثاغورس لحل المسائل في ثلاثة أبعاد.

٢٠:١٣

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم نظرية فيثاغورس لحل المسائل في ثلاثة أبعاد. سنبدأ بتذكر ما تعنيه نظرية فيثاغورس. تنص نظرية فيثاغورس على أنه في كل مثلث قائم الزاوية، يكون مربع طول الوتر، أي الضلع الأطول في المثلث، مساويًا لمجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. إذا مثلنا طول الوتر بالحرف ﺟ وطولي الضلعين الآخرين بـ ﺃ وﺏ، يمكننا كتابة نظرية فيثاغورس على الصورة ﺟ تربيع يساوي ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع.

عندما نستخدم نظرية فيثاغورس في ثلاثة أبعاد، يظل بإمكاننا استخدام هذه الصيغة. لكن علينا أن ننتبه أننا نوجد مثلثًا في بعدين، وهو مثلث قائم الزاوية. على سبيل المثال، إذا أردنا حساب طول قطر وجه هذا المتوازي المستطيلات أو المنشور المستطيلي، فسنجد أن هذه زاوية قائمة، لأن لدينا منشورًا. ولذا، يمكننا استخدام طولي الضلعين الآخرين ﺃ وﺏ لحساب طول قطر الوجه. أو بدلًا من ذلك، إذا أردنا حساب طول القطر الذي يمر داخل متوازي المستطيلات، فسيكون لهذا المثلث القائم الزاوية طول هو قطر وجه قاعدة متوازي المستطيلات. قبل أن نستخدم نظرية فيثاغورس، دعونا أولًا نتناول سؤالًا يمكننا فيه تحديد أقطار متوازي مستطيلات.

حدد نقطتين يمكن رسم قطر بينهما في متوازي المستطيلات. الخيار (أ) ﺃ وﺟ، أو الخيار (ب) ﻫ وﺩ، أو الخيار (ج) ﻭ وﺟ، أو الخيار (د) ﺯ وﺩ، أو الخيار (هـ) ﺃ وﺯ.

لدينا هنا متوازي مستطيلات، وعادة ما ينظر إليه على أنه منشور مستطيلي. عندما يطلب منا رسم قطر لمتوازي المستطيلات هذا، فإننا نبحث عن خط يمر داخل متوازي المستطيلات، الذي يسمى غالبًا قطر فضاء. لاحظ أنه يختلف عن قطر الوجه، وهو قطر في بعدين. إذن، لنفترض أن خطًا قد رسم بين ﺩ وﺏ. وبهذا نكون رسمنا قطرًا للمستوى ﺃﺏﺟﺩ. لكن بما أن هذا المستوى في بعدين، فسنجد أننا رسمنا قطر وجه فقط. إذن، فإن هذا الخط لن يكون قطرًا لمتوازي المستطيلات. وبالطريقة نفسها، يمكننا رسم الخط بين ﺣ وﺟ. ومع ذلك، فإننا مرة أخرى وجدنا قطرًا للمستوى ﺟﺩﺣﺯ هذه المرة. ولذلك، سيكون القطر قطر وجه وليس قطرًا لمتوازي المستطيلات.

إذن كيف سيبدو في الحقيقة قطر متوازي المستطيلات؟ لنفترض أننا أردنا أن نبدأ من الرأس ﺣ ونرسم قطرًا من هنا. سيعطينا رسم خط إلى الرأس ﺟ قطر وجه. لذا بدلًا من ذلك، فإن التحرك في ثلاثة أبعاد داخل متوازي المستطيلات سيقودنا إلى الرأس ﺏ. يمكننا إذن القول إن ﺣﺏ هو قطر متوازي المستطيلات. سيقودنا قطر متوازي المستطيلات الذي يبدأ من الرأس ﺩ ويتحرك داخل متوازي المستطيلات إلى الرأس ﻭ.

وبذلك، نجد أن ﺩﻭ هو أيضًا قطر لمتوازي المستطيلات. في الواقع، يوجد إجمالي أربعة أقطار فضاء في متوازي المستطيلات. على الرغم من أنه يصعب قليلًا رؤية ذلك في هذا الشكل، لكن الخط الواصل بين ﺟ وﻫ هو قطر. وأخيرًا، ﺃﺯ هو القطر الرابع. من بين خيارات الإجابة، من (أ) إلى (هـ) المعطاة، فإن الخيار الوحيد الذي يشير إلى النقطتين اللتين يمكن رسم قطر بينهما هو الخيار (هـ) وهو ﺃ وﺯ. أما الخيارات الأربعة الأخرى هنا، فستكون جميعها أقطار وجه.

من المهم أن نلاحظ أنه عند التعامل مع أقطار الأشكال الثلاثية الأبعاد، على سبيل المثال، إذا كنا نستخدم نظرية فيثاغورس، فإن أقطار الوجه ستكون بطول مختلف عن أقطار الفضاء. على سبيل المثال، سيكون القطر ﺏﺣ أطول من قطر الوجه ﺏﻫ.

دعونا الآن نتناول بعض الأسئلة التي نطبق فيها نظرية فيثاغورس في ثلاثة أبعاد.

‏‏ﺃﺏﺟﺩ ﺃ شرطة ﺏ شرطة ﺟ شرطة ﺩ شرطة مكعب. احسب طول كل من ﺃ شرطة ﺏ وﺃﺟ.

بما أننا نعلم أن هذا مكعب، فإن أول ما يمكننا قوله هو أن جميع الأبعاد تساوي ٩٧ سنتيمترًا. لننظر إلى الطول الأول المطلوب منا إيجاده، ﺃ شرطة ﺏ. هذا سيكون قطر وجه يصل بين ﺃ شرطة وﺏ. بما أن هذا مكعب، فإننا نعرف أن لدينا زاويا قائمة عند ركن هذا الوجه. إذن، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لمساعدتنا في الإجابة عن هذا السؤال. تنص نظرية فيثاغورس على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. من المفيد رسم المثلث في بعدين حتى نتمكن من التعامل مع ذلك على نحو أسهل. وعند رسم المثلث، فإنه من المفيد جدًا تسمية الرءوس.

يمكننا أن نلاحظ أن طول القاعدة يساوي ﺃﺏ وارتفاع المثلث هو الخط الذي يصل بين ﺃ وﺃ شرطة. يمكننا كتابة طولي الضلعين وهما ٩٧ سنتيمترًا. والطول، الذي نرغب في إيجاده، ﺃ شرطة ﺏ، يمكننا تسميته بالحرف ﺱ. عند تطبيق نظرية فيثاغورس، يجب أن نحرص على تحديد الطول الذي يمثل الوتر. وعادة ما يسهل إيجاده، لأنه مقابل للزاوية القائمة. يمكننا الآن التعويض بالقيم في نظرية فيثاغورس على الصورة ﺟ تربيع يساوي ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. بما أن طول وتر المثلث هو ﺱ وطول كل ضلع من الضلعين الآخرين يساوي ٩٧، فإن ﺱ تربيع يساوي ٩٧ تربيع زائد ٩٧ تربيع.

بحساب قيم المربعات، نحصل على ﺱ تربيع يساوي ٩٤٠٩ زائد ٩٤٠٩، وهو ما يساوي ١٨٨١٨. بأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين، نحصل على ﺱ يساوي الجذر التربيعي لـ ١٨٨١٨ سنتيمترًا. يمكننا بعد ذلك تبسيط هذا الناتج بطريقتين. يمكننا المتابعة وحساب الناتج على الآلة الحاسبة، ما يعطينا قيمة عشرية، ويمكننا تقريبها. وبدلًا من ذلك، يمكننا تبسيط هذه الإجابة في صورة جذرها التربيعي. يمكننا جعل الأمر أسهل إذا أعدنا كتابة هذه الخطوة السابقة. إذا كان ﺱ تربيع يساوي ٩٤٠٩ زائد ٩٤٠٩، يمكننا أيضًا كتابة ذلك على صورة ﺱ تربيع يساوي اثنين في ٩٤٠٩.

إذن، فيما يتعلق بأخذ الجذر التربيعي، سنوجد الجذر التربيعي لاثنين في ٩٤٠٩. وهذا يكافئ الجذر التربيعي لاثنين في الجذر التربيعي لـ ٩٤٠٩. قد لا يبدو هذا أسهل حتى نتذكر أننا نعرف الجذر التربيعي لـ ٩٤٠٩. وهو ما يساوي، في الواقع، ٩٧. إذن، ﺱ يساوي الجذر التربيعي لاثنين في ٩٧، أو بشكل أبسط من ذلك، ٩٧ جذر اثنين سنتيمتر. وجدنا الآن قيمة ﺱ. هذا يعني أننا وجدنا قيمة ﺃ شرطة ﺏ، أي ٩٧ جذر اثنين سنتيمتر.

هيا نلق نظرة على الجزء الثاني من السؤال، ونوجد الطول ﺃﺟ. يمكننا تطبيق المبدأ نفسه. لدينا مثلث قائم الزاوية في المثلث ﺃﺏﺟ. إذن يمكننا رسم المثلث الثنائي الأبعاد والتعويض بالقيمتين ٩٧ سنتيمترًا و٩٧ سنتيمترًا، ونستخدم ﺹ لتمثل الطول ﺃﺟ الذي نريد إيجاده. ولكن نلاحظ أن المثلث الذي رسمناه من قبل يحتوي على الضلعين الأقصرين اللذين يبلغ طولهما ٩٧ سنتيمترًا. إذن، عند تطبيق نظرية فيثاغورس والبدء في حساب القيم، سنجد أننا سنحصل على نفس القيمة لـ ﺹ المساوية لما حصلنا عليها لـ ﺱ. إذن الطول ﺃﺟ يساوي أيضًا ٩٧ جذر اثنين سنتيمتر. وفي الواقع، ستكون جميع أقطار الوجه في المكعب متساوية في الطول. لكن هنا يمكننا ملاحظة أن ﺃ شرطة ﺏ وﺃﺟ كلاهما يساوي ٩٧ جذر اثنين سنتيمتر.

لنلق نظرة على سؤال آخر.

‏‏ﺃﺏﺟﺩ مستطيل فيه ﺃﺏ يساوي ٢٥ وﺏﺟ يساوي ٣٦. افترض أن ﺏﺣ وﺃﻭ عموديان عليه، وطول كل منهما ٢٧. ما مساحة ﺟﺩﻭﺣ؟

أول ما نفعله في هذا السؤال هو رسم شكل. علمنا أن لدينا مستطيلًا. ويخرج منه خطان عموديان. لذا، سنعمل في ثلاثة أبعاد. سيكون من المفيد إذن أن نرسم مستطيلًا بهذا الشكل، جاهزًا لإضافة عموديين. يبدأ العمودي الأول عند النقطة ﺏ ويتجه إلى النقطة ﺣ. ويبدأ العمودي الثاني عند النقطة ﺃ ويتجه إلى النقطة ﻭ. عرفنا من المعطيات أن هذين العموديين طولهما ٢٧. إذن يجب أن يكون العموديان متساويين تقريبًا في الطول. يمكننا بعد ذلك إضافة الأبعاد إلى الشكل.

تجدر الإشارة هنا إلى أنه يوجد عدد من الأشكال المختلفة التي يمكننا رسمها. ما نبحث عنه حقًا هو شيء لمساعدتنا في إجراء عملياتنا الحسابية. مطلوب منا هنا إيجاد مساحة ﺟﺩﻭﺣ. ‏‏ﺟﺩﻭﺣ سيبدو بهذا الشكل، وسيكون مستطيلًا. لإيجاد مساحة هذا المستطيل، ﺟﺩﻭﺣ، علينا معرفة قيمتي الطول والعرض، اللتين يمكننا ضربهما معًا لإيجاد المساحة. العرض هنا يساوي طول الخط ﺃﺏ، ما يعني أنه سيساوي ٢٥ وحدة طول. ما علينا حسابه هنا هو قيمة الطول، أي الخط ﻭﺩ.

وبما أننا نعرف أن ﻭﺃ خط عمودي، فهذا يعني أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية عند ﻭﺃﺩ. يمكننا إذن تطبيق نظرية فيثاغورس، التي تنص على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. من المفيد عادة رسم المثلثات التي سنستخدمها. نعلم أن طول ﻭﺃ يساوي ٢٧، وطول ﺃﺩ هو نفسه طول ﺏﺟ، أي ٣٦. نريد إيجاد طول ﻭﺩ، الذي يمكننا تعريفه بأي طول، لكن يمكننا تسميته هنا بالرمز ﺱ. بالتعويض بالقيم في نظرية فيثاغورس، حيث لدينا طول الوتر وهو ﺱ، وطولا الضلعين القصيرين، وهما ٢٧ و٣٦. ولا تهم طريقة كتابة تلك القيم. يمكننا إجراء عمليتنا الحسابية وهي ﺱ تربيع يساوي ١٢٩٦ زائد ٧٢٩. إذن، ﺱ تربيع يساوي ٢٠٢٥. لإيجاد قيمة ﺱ، نأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين، إذن ﺱ يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٠٢٥.

عادة ما نحتفظ بإجابتنا في صورة الجذر التربيعي هذه. لكن في الحقيقة، ٢٠٢٥ هو عدد مربع. إذن ﺱ يساوي ٤٥ وحدة. وبذلك نكون حسبنا أن الطول ﻭﺩ هذا يساوي ٤٥. يمكننا المتابعة وإيجاد المساحة. بضرب القيمتين ٤٥ و٢٥ معًا، سنجد أن مساحة ﺟﺩﻭﺣ تساوي ١١٢٥. لم يذكر السؤال أي وحدات، ولكن إذا أردنا كتابة وحدات هنا، فستكون بالطبع وحدات مربعة للمساحة.

في السؤال التالي، سوف نتعلم كيف يمكن توسيع نطاق نظرية فيثاغورس لنظرية تطبق مباشرة في ثلاثة أبعاد.

أوجد طول قطر متوازي مستطيلات، أطوال أضلاعه ثلاثة سنتيمترات، وأربعة سنتيمترات، وستة سنتيمترات.

يمكننا بدء هذا السؤال برسم شكل متوازي المستطيلات. مطلوب منا إيجاد طول قطر متوازي المستطيلات. لذا، فإننا نبحث عن الخط الذي يمر داخل متوازي المستطيلات. يوجد، في الحقيقة، إجمالي أربعة أقطار فضاء. هذه الأقطار ستكون متساوية في الطول، وسنعرف السبب في نهاية هذا السؤال.

هيا نبدأ بإيجاد طول هذا القطر البرتقالي. يكون من المفيد تسمية الرءوس في متوازي المستطيلات للمساعدة في الرجوع إلى القطع المستقيمة. يمكننا البدء بملاحظة أن القطر ﻭﺟ سيكون أطول من أي أقطار الوجه. على سبيل المثال، سيكون أطول من القطر ﺃﺟ. إذن لحساب طول ﻭﺟ، علينا إنشاء مثلث قائم الزاوية داخل متوازي المستطيلات. ونظرًا لأن هذا متوازي مستطيلات، نعلم أنه ستكون هناك زاوية قائمة عند الزاوية ﺃ. يمكننا بعد ذلك تطبيق نظرية فيثاغورس، التي تنص على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين.

نلاحظ أن طول ﺃﻭ يساوي ثلاثة سنتيمترات. لكننا لا نعرف طول قطر الوجه ﺃﺟ. علينا إيجاد ذلك قبل أن نتمكن من إيجاد طول القطر ﻭﺟ. ويمكننا إنشاء مثلث آخر قائم الزاوية في المثلث ﺃﺏﺟ. عندما نتعامل مع ثلاثة أبعاد، من المفيد عادة إعادة رسم أي مثلثات ثنائية الأبعاد لتساعدنا في إجراء العمليات الحسابية. يمكننا أن نلاحظ أن طول ﺃﺏ يساوي أربعة سنتيمترات، حيث يساوي الطول ﻫﺣ، الذي يساوي أربعة سنتيمترات. طول ﺏﺟ يساوي ستة سنتيمترات، وطول ﺃﺟ، الذي نرغب في إيجاد قيمته، يمكن أن يسمى بأي حرف. لكن دعونا نستخدم هنا الحرف ﻝ.

وبالتعويض بهذه القيم في نظرية فيثاغورس، نجد أن ﻝ تربيع يساوي أربعة تربيع زائد ستة تربيع. وبما أن أربعة تربيع يساوي ١٦ وستة تربيع يساوي ٣٦، فسنجد أن ﻝ تربيع يساوي ٥٢. لإيجاد قيمة ﻝ، نأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين، ما يعطينا ﻝ يساوي الجذر التربيعي لـ ٥٢ سنتيمترًا. ولأننا لم ننته بعد من هذه العملية الحسابية، يمكننا ترك الناتج على صورة الجذر التربيعي. الآن، وجدنا قيمة ﺃﺟ. يمكننا المتابعة مع هذا المثلث القائم الزاوية ﻭﺃﺟ. نعلم أن طول ﻭﺃ يساوي ثلاثة سنتيمترات، وطول ﺃﺟ يساوي جذر ٥٢ سنتيمترًا، ويمكننا أن نسمي طول ﻭﺟ أي شيء. لكن دعونا هنا نستخدم المتغير ﻥ.

بتطبيق نظرية فيثاغورس هنا، نجد أن ﻥ تربيع يساوي ثلاثة تربيع زائد جذر ٥٢ تربيع. وبما أن الجذر التربيعي لـ ٥٢ تربيع يعطينا ٥٢، فسيكون لدينا ﻥ تربيع يساوي تسعة زائد ٥٢، ما يساوي ٦١. ولإيجاد قيمة ﻥ، نأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين. إذن، لدينا ﻥ يساوي الجذر التربيعي لـ ٦١ سنتيمترًا. قيمة ﻥ لدينا هي طول ﻭﺟ، وهو قطر متوازي المستطيلات. إذن الإجابة هي جذر ٦١ سنتيمترًا.

ومع ذلك، هناك طريقة أخرى لحل هذه المسألة. يمكننا ملاحظة أن الجذر التربيعي لـ ٥٢ للقيمة ﻝ وجد من خلال أخذ الجذر التربيعي لأربعة تربيع زائد ستة تربيع. وعليه، عندما يتعلق الأمر بإيجاد قيمة ﻥ، ستكون قيمة ﻥ تربيع هي ثلاثة تربيع زائد أربعة تربيع زائد ستة تربيع. إذن، قيمة ﻥ، وهي قطر متوازي المستطيلات، يمكن إيجادها بأخذ الجذر التربيعي لثلاثة تربيع زائد أربعة تربيع زائد ستة تربيع. وهذه هي أبعاد متوازي المستطيلات: ثلاثة سنتيمترات وأربعة سنتيمترات وستة سنتيمترات.

وهذا يقودنا إلى امتداد لنظرية فيثاغورس أو نظير لها في ثلاثة أبعاد. إذا أردنا حساب طول هذا القطر المشار إليه بالرمز ﺟ، فإننا نحسب ﺟ تربيع يساوي ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع زائد ﻉ تربيع؛ حيث ﺱ وﺹ وﻉ هي أبعاد متوازي المستطيلات. بتطبيق هذه الطريقة في متوازي المستطيلات، سيكون لدينا ﺟ تربيع يساوي أربعة تربيع زائد ستة تربيع زائد ثلاثة تربيع. ‏‏ﺟ تربيع يساوي ١٦ زائد ٣٦ زائد تسعة. إذن ﺟ تربيع يساوي ٦١. ومن ثم، ﺟ يساوي جذر ٦١ سنتيمترًا، وهو ما يؤكد الإجابة السابقة عن قطر متوازي المستطيلات.

بالنظر إلى هذا الامتداد لنظرية فيثاغورس، يمكننا أيضًا أن ندرك لماذا تتساوى جميع أقطار الفضاء في الطول في متوازي مستطيلات. كل قطر فضاء يجب أن يأخذ في الاعتبار كلًا من الأبعاد الثلاثة ﺱ وﺹ وﻉ. وبما أن أي ترتيب لهم غير مهم، فسنقوم بتربيعهم وجمعهم ثم نأخذ الجذر التربيعي في النهاية، وعندئذ سنحصل على الإجابة نفسها. يمكننا أن نلاحظ أن الإجابة الخاصة بطول قطر متوازي المستطيلات هنا هي أنه يساوي جذر ٦١ سنتيمترًا.

سنلخص الآن النقاط الأساسية في هذا الفيديو. رأينا كيف يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس على مثلثات قائمة الزاوية في أجسام ثلاثية الأبعاد. وعرفنا أنه علينا في بعض الأحيان تطبيق نظرية فيثاغورس مرتين لإيجاد أطوال أضلاع محددة. ومن المفيد لهذا أن نكتب ناتج العملية الحسابية الأولى على صورة جذر تربيعي، ما يعني أن إجابة الجزء الثاني ستكون أكثر دقة. وأخيرًا، عرفنا كيف يمكن توسيع نطاق نظرية فيثاغورس إلى ثلاثة أبعاد باستخدام الصيغة ﺟ تربيع يساوي ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع زائد ﻉ تربيع.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.