فيديو: التحليل باستخدام العامل المشترك الأكبر

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحلل المقادير الجبرية عن طريق تحديد العامل المشترك الأكبر ‪(HCF)‬‏.

١٥:٣٣

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعلم كيفية تحليل المقادير الجبرية عن طريق تحديد العامل المشترك الأكبر. قبل أن نتحدث عن العامل المشترك الأكبر، دعونا نتذكر ما هي العوامل. يمكننا كتابة الأعداد على صورة حاصل ضرب عواملها. على سبيل المثال إذا كان لدينا العدد ‪12‬‏، يمكننا كتابته على صورة اثنين في ستة. وبذلك نقول إن اثنين وستة من عوامل العدد ‪12‬‏. لكننا نعلم أيضًا أن ستة يساوي اثنين في ثلاثة، ما يعني أنه يمكننا القول إن ‪12‬‏ يساوي اثنين في اثنين في ثلاثة. لنفعل ذلك مرة أخرى مع العدد ‪18‬‏. اثنان في تسعة يساوي ‪18‬‏. وثلاثة في ثلاثة يساوي تسعة. وبذلك يمكننا القول إن ‪18‬‏ يساوي اثنين في ثلاثة في ثلاثة.

وعند المقارنة بين عددين، يكون من المفيد في بعض الأحيان تحديد العوامل المشتركة. والعوامل المشتركة هي العوامل التي يشترك فيها كلا العددين. في هذه الحالة، يحتوي العددان ‪12‬‏ و‪18‬‏ كلاهما على العامل اثنين والعامل ثلاثة. هذان عاملان مشتركان بينهما. لكن في أغلب الأحيان عندما نقارن بين الأعداد لا نهتم بالعوامل المشتركة. بل ما يعنينا هو العامل المشترك الأكبر. قد تلاحظ أنه يشار إليه اختصارًا ‪HCF‬‏. قد تلاحظ أيضًا أن هذا يشار إليه بالعامل المشترك الأعلى أو ‪GCF‬‏. العامل المشترك الأكبر أو العامل المشترك الأعلى هو أكبر عدد كلي يمثل عاملًا مشتركًا بينهما. كما أنه حاصل ضرب جميع العوامل الأولية المشتركة.

هنا نرى أن ‪12‬‏ يساوي اثنين في ستة، و‪18‬‏ يساوي ثلاثة في ستة. العدد ستة هو أكبر عدد كلي يمثل عاملًا لهاتين القيمتين. وبهذا يمكننا القول إن العامل المشترك الأكبر بين ‪12‬‏ و‪18‬‏ هو ستة. لكن ماذا لو كنا نحاول المقارنة بين هاتين القيمتين، اثنين ‪𝑥‬‏ تربيع ‪𝑦‬‏ وأربعة ‪𝑥𝑦‬‏؟ ما العامل المشترك الأكبر بينهما؟ أولًا، لنحلل إلى العوامل. يمكننا القول إن هذا يساوي اثنين في ‪𝑥‬‏ تربيع ‪𝑦‬‏. والعاملان لـ ‪𝑥‬‏ تربيع ‪𝑦‬‏ هما ‪𝑥‬‏ تربيع و‪𝑦‬‏. و‪𝑥‬‏ تربيع له عاملان، ‪𝑥‬‏ و‪𝑥‬‏. إذن اثنان ‪𝑥‬‏ تربيع ‪𝑦‬‏ يمكن تحليله إلى عوامله: اثنان في ‪𝑥‬‏ في ‪𝑥‬‏ في ‪𝑦‬‏. ونفعل الشيء نفسه مع أربعة ‪𝑥𝑦‬‏، أو أربعة في ‪𝑥𝑦‬‏. يمكن تقسيم العدد أربعة إلى عاملين قيمة كل منهما اثنان. و‪𝑥𝑦‬‏ هو ‪𝑥‬‏ في ‪𝑦‬‏، ما يعني أن أربعة ‪𝑥𝑦‬‏ يساوي اثنين في اثنين في ‪𝑥‬‏ في ‪𝑦‬‏.

هاتان القيمتان تحتويان على العوامل اثنين، و‪𝑥‬‏، و‪𝑦‬‏. إذن العامل المشترك الأكبر بينهما هو اثنان ‪𝑥𝑦‬‏. إننا نستخدم العامل المشترك الأكبر لتبسيط تعبيرات معينة. ولكن قبل أن نتحدث عن ذلك ثمة خاصية أخرى علينا تذكرها، وهي خاصية التوزيع. وهي تخبرنا بأن ‪𝑎‬‏ في ‪𝑏‬‏ زائد ‪𝑐‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ في ‪𝑏‬‏ زائد ‪𝑎‬‏ في ‪𝑐‬‏. يمكننا القول إن ‪𝑎‬‏ هنا هو العامل المشترك الأكبر للقيمتين ‪𝑎‬‏ في ‪𝑏‬‏ و‪𝑎‬‏ في ‪𝑐‬‏. إذن سيكون التبسيط باستخدام العامل المشترك الأكبر هو أخذ العامل المشترك الأكبر من الحدود. لنلق نظرة إذن على المثال الذي ظهر أمامنا على الشاشة الافتتاحية. باستخدام العامل المشترك الأكبر، سنبسط هذا التعبير.

باستخدام الشكل، حلل أربعة ‪𝑥‬‏ زائد ‪12‬‏.

يحتوي هذا الشكل على صور تمثل أربعة ‪𝑥‬‏ و‪12‬‏. دمج الشكل على اليمين بين الصورتين. وأخذ الشريط الذي مساحته ‪12‬‏ وقسمه إلى أربعة أجزاء متساوية. نعلم أن ‪12‬‏ على أربعة يساوي ثلاثة. حذف هذا الشكل العامل أربعة من العدد ‪12‬‏ ومن أربعة ‪𝑥‬‏. ‏‏‪12‬‏ مقسومًا على أربعة يساوي ثلاثة. وأربعة ‪𝑥‬‏ مقسومًا على أربعة يساوي ‪𝑥‬‏.

نلاحظ أن أربعة في ‪𝑥‬‏ زائد أربعة في ثلاثة يساوي أربعة ‪𝑥‬‏ زائد ‪12‬‏. إنهما تعبيران متكافئان. لذا يمكننا القول إن أربعة ‪𝑥‬‏ زائد ‪12‬‏ يساوي أربعة في ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة. يمكننا أيضًا القول إن العامل المشترك الأكبر لأربعة ‪𝑥‬‏ و‪12‬‏ هو أربعة. لقد أخذنا العامل المشترك الأكبر من هذين الحدين لنحصل على أربعة في ‪𝑥‬‏ زائد ثلاثة.

إليك مثالًا آخر.

حلل ‪15𝑒‬‏ زائد ‪15𝑓‬‏ تحليلًا كاملًا.

لدينا المقدار ‪15𝑒‬‏ زائد ‪15𝑓‬‏. نعلم أن ‪15𝑒‬‏ يساوي ‪15‬‏ في ‪𝑒‬‏، ونعرف أن ‪15𝑓‬‏ يساوي ‪15‬‏ في ‪𝑓‬‏. كلتا القيمتين لهما العامل المشترك ‪15‬‏، وهو ما يعني أن ‪15‬‏ هو العامل المشترك الأكبر. وإذا أخذنا العامل ‪15‬‏، فيمكننا كتابة ‪15𝑒‬‏ زائد ‪15𝑓‬‏ هكذا. ‏‏‪15‬‏ في ‪𝑒‬‏ زائد ‪𝑓‬‏. ونعرف أن هذا صحيح بناء على خاصية التوزيع، التي تخبرنا بأن ‪𝑎‬‏ في ‪𝑏‬‏ زائد ‪𝑐‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ في ‪𝑏‬‏ زائد ‪𝑎‬‏ في ‪𝑐‬‏. وبما أنه ليس لدينا أي معلومات أخرى، فإن هذا التعبير يمكن تحليله إلى ‪15‬‏ في ‪𝑒‬‏ زائد ‪𝑓‬‏.

لنستعرض مثالًا نوجد فيه العامل المشترك الأكبر بين حدين يتضمنان متغيرات.

أوجد العامل المشترك الأكبر للحدين في هذا المقدار‪‎‎:‬‏ أربعة ‪𝑥‬‏ أس أربعة ناقص ‪18𝑥‬‏ تكعيب.

التعبير المعطى هو أربعة ‪𝑥‬‏ أس أربعة ناقص ‪18𝑥‬‏ تكعيب. وها هما الحدان. نحاول إيجاد العامل المشترك الأكبر بينهما. يتضمن الحد الأول العامل أربعة والعامل ‪𝑥‬‏ أس أربعة. ويتضمن الحد الثاني العامل ‪18‬‏ والعامل ‪𝑥‬‏ تكعيب. ولكن العدد أربعة ليس عاملًا من عوامل العدد ‪18‬‏. لكننا نعلم أن أربعة و‪18‬‏ كليهما عددان زوجيان، ومن ثم نعلم أنهما يتضمنان العامل اثنين. أربعة يساوي اثنين في اثنين، و‪18‬‏ يساوي اثنين في تسعة. إذن كلاهما يحتوي على العامل اثنين.

ولكن علينا الآن أن نفكر في كيفية التعامل مع ‪𝑥‬‏ أس أربعة و‪𝑥‬‏ تكعيب. يمكننا القول إن ‪𝑥‬‏ أس أربعة يساوي ‪𝑥‬‏ أس واحد في ‪𝑥‬‏ تكعيب. بعد ذلك نلاحظ أن كلًا من هذين الحدين يتضمن العامل ‪𝑥‬‏ تكعيب. إذن يمكننا إعادة كتابة أربعة في ‪𝑥‬‏ أس أربعة على صورة اثنين في ‪𝑥‬‏ تكعيب في اثنين ‪𝑥‬‏. ويمكن إعادة كتابة ‪18𝑥‬‏ تكعيب على صورة اثنين ‪𝑥‬‏ تكعيب في تسعة، وهو ما يوضح أن اثنين ‪𝑥‬‏ تكعيب هو العامل المشترك الأكبر لهذين الحدين.

حتى الآن تناولنا المقارنة بين عددين أو تعبيرين يتضمنان حدين فقط. سنوجد الآن العامل المشترك الأكبر لتعبير يتضمن ثلاثة حدود. وستظل العملية كما هي بغض النظر عن عدد الحدود التي يتضمنها التعبير.

حلل المقدار‪‎‎‬‏ ستة ‪𝑝‬‏ تربيع زائد ثلاثة ‪𝑝‬‏ ناقص ستة ‪𝑝𝑞‬‏ تحليلًا كاملًا.

في التعبير ستة ‪𝑝‬‏ تربيع زائد ثلاثة ‪𝑝‬‏ ناقص ستة ‪𝑝𝑞‬‏، علينا إيجاد العامل المشترك الأكبر. تقبل معاملات جميع الحدود الثلاثة القسمة على ثلاثة. نعلم أنه يمكننا بعد ذلك أخذ العامل المشترك ثلاثة من الحدود. بالنسبة إلى الحد الأول، ستة ‪𝑝‬‏ تربيع يساوي ثلاثة في اثنين ‪𝑝‬‏ تربيع. في الحد الثاني إذا حذفنا العامل المشترك ثلاثة، فسيتبقى لدينا ‪𝑝‬‏ لأن ثلاثة في ‪𝑝‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝑝‬‏. وفي الحد الثالث سيكون لدينا ثلاثة في سالب اثنين ‪𝑝𝑞‬‏؛ لأن ثلاثة في سالب اثنين ‪𝑝𝑞‬‏ يساوي سالب ستة ‪𝑝𝑞‬‏.

لكننا لم نحذف بعد العامل المشترك الأكبر. ونعرف ذلك لأننا نرى أنه يوجد عامل مشترك لا يزال موجودًا في الحدود الثلاثة كلها. وتتضمن الحدود الثلاثة كلها عاملًا مشتركًا واحدًا يتضمن ‪𝑝‬‏. والآن نريد أخذ هذا العامل المشترك ‪𝑝‬‏، أي العامل ‪𝑝‬‏ أس واحد. ولحذف العامل المشترك ‪𝑝‬‏ من الحد الأول، يتبقى لدينا اثنان ‪𝑝‬‏. والآن الحد الأوسط هو الأصعب. لحذف العامل المشترك ‪𝑝‬‏، علينا التفكير في أن ‪𝑝‬‏ أس واحد مضروبًا في ماذا يساوي ‪𝑝‬‏ أس واحد. وسيكون ذلك هو العدد واحد. ‏‏‪𝑝‬‏ مقسومًا على ‪𝑝‬‏ يساوي واحدًا.

وأخيرًا بحذف العامل ‪𝑝‬‏ من سالب اثنين ‪𝑝𝑞‬‏، يتبقى لدينا سالب اثنين ‪𝑞‬‏، ما يعني أن التعبير الذي نريد إيجاده في صورته التحليلية هو ثلاثة ‪𝑝‬‏ في اثنين ‪𝑝‬‏ زائد واحد ناقص اثنين ‪𝑞‬‏. إذا أردنا التأكد من صحة ذلك، فسنعيد توزيع العامل ثلاثة ‪𝑝‬‏ على الحدود الثلاثة كلها. ثلاثة ‪𝑝‬‏ في اثنين ‪𝑝‬‏ يساوي ستة ‪𝑝‬‏ تربيع. ثلاثة ‪𝑝‬‏ في واحد يساوي ثلاثة ‪𝑝‬‏. وثلاثة ‪𝑝‬‏ في سالب اثنين ‪𝑞‬‏ يساوي سالب ستة ‪𝑝𝑞‬‏. هذا هو التعبير الذي بدأنا به، وأوجدنا الصورة التحليلية له. ثلاثة ‪𝑝‬‏ في اثنين ‪𝑝‬‏ زائد واحد ناقص اثنين ‪𝑞‬‏.

لنلق نظرة على مثال آخر.

حلل ‪𝑎‬‏ ناقص ‪10‬‏ في ‪𝑎‬‏ زائد ثمانية ناقص اثنين في ‪𝑎‬‏ زائد ثمانية تحليلًا كاملًا.

لدينا التعبير ‪𝑎‬‏ ناقص ‪10‬‏ في ‪𝑎‬‏ زائد ثمانية ناقص اثنين في ‪𝑎‬‏ زائد ثمانية، ولكي نحلله نحتاج إلى عامل مشترك بين الحدين. هذان هما الحدان. يتضمن الحد الأول العامل ‪𝑎‬‏ ناقص ‪10‬‏، والعامل ‪𝑎‬‏ زائد ثمانية. والحد الثاني يتضمن العاملين سالب اثنين و‪𝑎‬‏ زائد ثمانية، ما يعني أن الحدين بينهما عامل مشترك هو ‪𝑎‬‏ زائد ثمانية. وهذا يعني أنه يمكننا أخذ العامل ‪𝑎‬‏ زائد ثمانية عاملًا مشتركًا للخارج. في الحد الأول إذا أخرجنا العامل ‪𝑎‬‏ زائد ثمانية، فسيكون العامل المتبقي هو ‪𝑎‬‏ ناقص ‪10‬‏.

وفي الحد الثاني إذا حذفنا ‪𝑎‬‏ زائد ثمانية، فسيتبقى لدينا سالب اثنين. أعدنا الآن كتابة التعبير الأصلي على الصورة ‪𝑎‬‏ زائد ثمانية في ‪𝑎‬‏ ناقص ‪10‬‏ ناقص اثنين. وفيما بين القوسين، يمكننا إجراء بعض التبسيط. بما أن لدينا عملية جمع أو طرح فقط داخل القوسين، إذن يمكننا حذفهما. وبذلك يصبح لدينا ‪𝑎‬‏ زائد ثمانية في ‪𝑎‬‏ ناقص ‪10‬‏ ناقص اثنين. و‪𝑎‬‏ ناقص ‪10‬‏ ناقص اثنين يساوي ‪𝑎‬‏ ناقص ‪12‬‏. وستكون الصورة التحليلية للتعبير الأصلي بعد تحليله تحليلًا كاملًا بهذا الشكل. ‏‏‪𝑎‬‏ زائد ثمانية في ‪𝑎‬‏ ناقص ‪12‬‏.

في المثال الأخير، سنتناول تعبيرًا آخر يتضمن عدة متغيرات.

عن طريق إخراج العامل المشترك الأكبر، حلل المقدار‪‎‎ 14𝑥‬‏ أس خمسة ‪𝑦‬‏ تربيع ناقص أربعة ‪𝑥‬‏ تكعيب ‪𝑦‬‏ زائد ثمانية ‪𝑥‬‏ تربيع ‪𝑦‬‏.

لدينا التعبير ‪14𝑥‬‏ أس خمسة ‪𝑦‬‏ تربيع ناقص أربعة ‪𝑥‬‏ تكعيب ‪𝑦‬‏ زائد ثمانية ‪𝑥‬‏ تربيع ‪𝑦‬‏، ونريد إيجاد ‪HCF‬‏، العامل المشترك الأكبر. سنبدأ بالنظر إلى العامل المشترك الأكبر لمعاملات هذه الحدود الثلاثة. ‏‏‪14‬‏ يساوي اثنين في سبعة. أربعة يساوي اثنين في اثنين. وثمانية يساوي اثنين في أربعة. العامل المشترك هنا هو اثنان. صحيح أن ثمانية وأربعة يشتركان في العامل أربعة، لكن ‪14‬‏ لا يقبل القسمة على أربعة. وبذلك نقول إن العامل المشترك لجميع المعاملات الثلاثة هو اثنان. وهذا يعني أننا سنعيد كتابة التعبير على صورة اثنين في سبعة ‪𝑥‬‏ أس خمسة ‪𝑦‬‏ تربيع ناقص اثنين ‪𝑥‬‏ تكعيب ‪𝑦‬‏ زائد أربعة ‪𝑥‬‏ تربيع ‪𝑦‬‏.

ومن هنا ننظر إلى العامل المشترك ‪𝑥‬‏. يحتوي الحد الثالث على أصغر عامل يتضمن المتغير ‪𝑥‬‏، وهو ‪𝑥‬‏ تربيع، ما يعني أن ‪𝑥‬‏ تربيع هو أكبر عامل مشترك يتضمن المتغير ‪𝑥‬‏ يمكننا حذفه. إذن سنبدأ بأخذ العامل ‪𝑥‬‏ تربيع من تلك الحدود الثلاثة. ‏‏‪𝑥‬‏ أس خمسة مقسومًا على ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي ‪𝑥‬‏ تكعيب. ونترك العامل ‪𝑦‬‏ تربيع. ‏‏‪𝑥‬‏ تكعيب مقسومًا على ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي ‪𝑥‬‏ أس واحد. وأربعة ‪𝑥‬‏ تربيع ‪𝑦‬‏ مقسومًا على ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي أربعة ‪𝑦‬‏. أصبح لدينا الآن تعبير مكافئ. ولكننا لم نوجد بعد العامل المشترك الأكبر. ونعرف هذا لأن الحدود الثلاثة التي أمامنا تتضمن عاملًا واحدًا على الأقل يتضمن ‪𝑦‬‏. أصغر عامل يتضمن ‪𝑦‬‏ في هذا التعبير هو ‪𝑦‬‏ أس واحد. ما يعني أنه أكبر عامل مشترك يمكننا حذفه من الحدود الثلاثة. نأخذ ‪𝑦‬‏ أس واحد من الحدود الثلاثة جميعها.

يصبح الحد الأول سبعة ‪𝑥‬‏ تكعيب ‪𝑦‬‏ أس واحد. والحد الثاني، سالب اثنين ‪𝑥‬‏ أس واحد. وعندما نحذف ‪𝑦‬‏ أس واحد من الحد الثالث، يتبقى العدد أربعة فقط. ما نراه الآن هو أنه لم تعد هناك عوامل مشتركة بين القوسين. ويعني هذا أن العامل المشترك الأكبر هو ما أخرجناه من الحدود. بأخذ العامل المشترك الأكبر اثنين ‪𝑥‬‏ تربيع ‪𝑦‬‏ للخارج، تمكنا من تحليل التعبير تحليلًا كاملًا، اثنان ‪𝑥‬‏ تربيع ‪𝑦‬‏ في سبعة ‪𝑥‬‏ تكعيب ‪𝑦‬‏ ناقص اثنين ‪𝑥‬‏ زائد أربعة. إذا أردت أن تتحقق من صحة الحل، يمكنك أن تضرب العامل المشترك الأكبر مرة أخرى في الحدود الثلاثة المتبقية، وهو ما سيعطيك التعبير نفسه الذي بدأت به.

لنلخص ما تعلمناه، العامل المشترك الأكبر، ‪HCF‬‏، أو العامل المشترك الأعلى، ‪GCF‬‏، هو أكبر عامل مشترك بين عوامل عددين أو أكثر. نستخدم خاصية التوزيع التي تخبرنا بأن ‪𝑎‬‏ في ‪𝑏‬‏ زائد ‪𝑐‬‏ تساوي ‪𝑎‬‏ في ‪𝑏‬‏ زائد ‪𝑎‬‏ في ‪𝑐‬‏. كما يمكننا أخذ العامل المشترك الأكبر ‪HCF‬‏ باستخدام خاصية التوزيع لتبسيط التعبيرات.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.