نسخة الفيديو النصية
تعرف قوة التفريق اللوني لمنشور بأنها نسبة الفرق بين زاويتي النهاية العظمى والنهاية الصغرى للانحراف لأقصر وأطول طولين موجيين للضوء المار خلال المنشور، إلى زاوية الانحراف لمتوسط الطول الموجي للضوء المار خلال المنشور. أي من الآتي يمكن أن يكون وحدة قوة التفريق اللوني؟ أ: راديان لكل متر، ب: متر لكل راديان، ج: وات في راديان، د: وات لكل راديان، هـ: قوة التفريق اللوني ثابت ليس له وحدة.
بما أن هذا السؤال يطلب منا تحديد وحدة قوة التفريق اللوني لمنشور، دعونا نبدأ باسترجاع معنى قوة التفريق اللوني. قوة التفريق اللوني للمنشور هي قياس لمدى تفريق المنشور للضوء ذي الألوان المختلفة. كلما زاد تفريق المنشور لألوان الضوء المختلفة، زادت قوة تفريقه اللوني. على سبيل المثال، إذا نظرنا إلى هذين المنشورين، فسنلاحظ أن المنشور الموجود على اليمين ذو قوة تفريق لوني أكبر؛ لأنه يفرق ألوان الضوء المختلفة أكثر من المنشور الموجود على اليسار.
لكن في هذا السؤال، لا نريد حساب قوة التفريق اللوني لمنشور محدد. بل نريد إيجاد وحدة قوة التفريق اللوني. حسنًا، لإيجاد هذه الوحدة، دعونا نبدأ بكتابة معادلة قوة التفريق اللوني للمنشور. بالنسبة إلى هذا السؤال، لسنا بحاجة حتى إلى تذكر معادلة قوة التفريق اللوني؛ فنص السؤال يخبرنا تحديدًا بتعريف قوة التفريق اللوني.
يتضمن هذا التعريف زوايا انحراف أطوال موجية مختلفة من الضوء المار عبر المنشور. نعلم أن أقصر طول موجي للضوء يمر عبر المنشور سيتعرض لأكبر انحراف، وأن أطول طول موجي للضوء يمر عبر المنشور سيتعرض لأقل انحراف. دعونا نرسم شكلًا توضيحيًّا للمنشور الذي لدينا؛ لنرى كيف يبدو ذلك.
نفترض أن هذا المثلث يمثل المنشور، وهذا السهم السميك يمثل الضوء الأبيض الذي يدخل المنشور. سنرسم أيضًا هذا الخط المتقطع، ويمثل اتجاه حركة الضوء عند دخوله المنشور. ونفعل ذلك لكي نلاحظ بسهولة مدى انحراف الضوء المختلف الألوان عبر المنشور. من بين كل ألوان الضوء المرئي، فإن اللون الأحمر له أطول طول موجي. ومن هنا نعلم أن هذا اللون سينحرف عبر المنشور بأقل زاوية، مقارنة بأي لون آخر.
الزاوية المحصورة بين اتجاه الضوء عند دخوله المنشور واتجاه الضوء عند الخروج من المنشور تعرف باسم زاوية الانحراف لهذا الطول الموجي. إذن، هذه هي زاوية انحراف الضوء الأحمر، أي أطول طول موجي للضوء المار عبر المنشور. ونعرف أنها ستكون زاوية النهاية الصغرى للانحراف الذي يتعرض له أي لون ضوئي يمر عبر المنشور. دعونا نطلق على هذه الزاوية اسمًا، سنسميها 𝛼 الصغرى.
دعونا الآن نضف أقصر طول موجي للضوء على الرسم، وهو الضوء الأزرق. بما أن الضوء الأزرق له أقصر طول موجي مقارنة بأي لون آخر من ألوان الضوء المرئي، فسيتعرض لأقصى انحراف من المنشور. ونلاحظ أن زاوية انحرافه أكبر بكثير من زاوية انحراف الضوء الأحمر. سنطلق على زاوية الانحراف للضوء الأزرق 𝛼 العظمى؛ لنتذكر أن هذه هي زاوية النهاية العظمى للانحراف الذي يتعرض له أي لون ضوئي يمر عبر المنشور.
الزاوية الأخيرة في تعريف قوة التفريق اللوني هي زاوية متوسط الطول الموجي للضوء المار عبر المنشور. متوسط الطول الموجي للضوء المرئي يكون للضوء باللون الأخضر. دعونا إذن نضف ذلك إلى الرسم. سينحرف هذا الضوء الأخضر بزاوية محصورة بين زاويتي النهاية الصغرى والنهاية العظمى للانحراف. دعونا نطلق على زاوية انحراف الضوء الأخضر 𝛼 المتوسط.
كملاحظة جانبية، يمكننا التعبير عن 𝛼 المتوسط على صورة متوسط زاويتي النهاية الصغرى والنهاية العظمى للانحراف للمنشور. وهذا يعني أنه يمكننا كتابة أن 𝛼 المتوسط تساوي 𝛼 العظمى زائد 𝛼 الصغرى الكل مقسوم على اثنين. لكن بالنسبة إلى هذا السؤال، من الأسهل أن نتركها مكتوبة على الصورة 𝛼 المتوسط.
لدينا الآن كل ما نحتاجه لكتابة معادلة قوة التفريق اللوني للمنشور، التي نرمز لها عادة بالرمز 𝜔𝛼؛ حيث يذكرنا 𝛼 بأننا نكتب المعادلة بدلالة زوايا الانحراف. بما أن السؤال يخبرنا أن قوة التفريق اللوني تعرف بأنها نسبة، فإننا نعلم أن علينا كتابتها على صورة كسر. نعلم من المعطيات أن بسط هذا الكسر هو الفرق بين زاوية الانحراف لأقصر طول موجي للضوء، التي أطلقنا عليها 𝛼 العظمى، وزاوية الانحراف لأطول طول موجي للضوء، التي أطلقنا عليها 𝛼 الصغرى. رياضيًّا، نعبر عن الفرق باستخدام علامة الطرح. إذن، بسط هذا الكسر هو 𝛼 العظمى ناقص 𝛼 الصغرى.
نعلم أيضًا أن مقام هذا الكسر هو زاوية الانحراف لمتوسط الطول الموجي للضوء المار عبر المنشور، التي رمزنا إليها بـ 𝛼 المتوسط. وهذا يعطينا المعادلة الكاملة لقوة التفريق اللوني للمنشور 𝜔𝛼، وهي 𝛼 العظمى ناقص 𝛼 الصغرى الكل مقسوم على 𝛼 المتوسط. لإيجاد وحدة قوة التفريق اللوني 𝜔𝛼، دعونا نفكر في وحدة كل حد في الطرف الأيمن ونر ما سنحصل عليه في النهاية.
سنفرغ بعض المساحة على الشاشة لفعل ذلك، ونذكر أنفسنا بأن هدفنا هو إيجاد وحدة قوة التفريق اللوني. في الطرف الأيمن من معادلة قوة التفريق اللوني لدينا ثلاثة حدود هي: 𝛼 العظمى، و𝛼 الصغرى، و𝛼 المتوسط. ونحن نعرف أن كلًّا من هذه الحدود يشير إلى زاوية، والزوايا تقاس بالراديان، الذي يكتب على الصورة rad. إذن، كل من هذه الزوايا عبارة عن عدد بوحدة الراديان. على سبيل المثال، يمكننا كتابة 𝛼 العظمى على صورة عدد، نطلق عليه 𝑥 راديان؛ حيث 𝑥 عدد ما، ووحدة قياس 𝛼 العظمى هي الراديان. بالمثل، يمكننا كتابة 𝛼 الصغرى على صورة عدد آخر، على سبيل المثال 𝑦 راديان. ويمكننا أيضًا كتابة 𝛼 المتوسط على صورة عدد بوحدة الراديان، وسنرمز إلى هذا العدد بـ 𝑧.
دعونا الآن نعوض بالمقادير الجديدة لهذه الزوايا في معادلة قوة التفريق اللوني. عندما نفعل ذلك، نحصل على معادلة جديدة لقوة التفريق اللوني، وهي: 𝑥 راديان ناقص 𝑦 راديان، أي 𝛼 العظمى ناقص 𝛼 الصغرى سابقًا، مقسومًا على 𝑧 راديان، أي 𝛼 المتوسط سابقًا. نلاحظ أنه بما أن الحدين في بسط هذا الكسر لهما نفس الوحدة، وهي الراديان، فإنه يمكننا أخذ هذه الوحدة عاملًا مشتركًا وتبسيط البسط. يمكننا إعادة كتابة 𝑥 راديان ناقص 𝑦 راديان على الصورة: 𝑥 ناقص 𝑦 راديان. وبفعل ذلك، نلاحظ على الفور أن بسط الكسر ومقامه مكتوبان بدلالة وحدة الراديان. وهذا يعني أن وحدتي الراديان ستلغي كل منهما الأخرى من الكسر.
ويتبقى لدينا صيغة لقوة التفريق اللوني 𝜔𝛼 تنص على أن 𝜔𝛼 تساوي 𝑥 ناقص 𝑦 على 𝑧. وبما أن 𝑥 و𝑦 و𝑧 هي أعداد ليس لها وحدات، فإننا نستنتج أن قوة التفريق اللوني 𝜔𝛼 ليس لها وحدة كذلك. وهذا يعطينا إجابة السؤال. الإجابة هي هـ: قوة التفريق اللوني ثابت ليس له وحدة.
