فيديو الدرس: مقدمة في جمع المقادير الكسرية وطرحها

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نجمع المقادير الكسرية ونطرحها. هذه كسور تحتوي على كثيرات حدود إما في البسط أو المقام أو كليهما، والبعض يطلق عليها الكسور الجبرية. وصفنا هذا الفيديو بالمقدمة لأننا سنستعرض فيه بعض الأمثلة البسيطة وسنعرض بعض الأفكار التي سوف تساعدك فيما بعد.

لكن أولًا، دعونا نتذكر كيف نجمع الكسور البسيطة ذات المقامات المختلفة. وسننتبه جيدًا إلى كيفية شرح طريقة الحل وكتابتها كلها في الصفحة. هذان إذن مقامان مختلفان: السدس أصغر من النصف، لذا لدينا جزء صغير من شيء ما زائد جزء أكبر قليلًا من شيء ما. والطريقة الوحيدة التي يمكننا من خلالها التعامل بشكل معقول مع ذلك هي أن يكون لدينا مقام مشترك. فما نبحث عنه هو كسران مكافئان لسدس ونصف، لكنهما يحتويان على مقامين مختلفين فعليًّا. لذا، أسرع طريقة لإيجاد ذلك هي أن نأخذ هذا المقام هنا وأن نضرب البسط والمقام للكسر الآخر في هذا المقام. إذن، ما سنفعله هو أننا نضرب سدسًا في اثنين مقسومًا على اثنين، الذي يساوي واحدًا. وعند ضرب أي عدد في واحد، يظل العدد كما هو. إذن، تظل هذه العملية الحسابية سدسًا، لكنها فقط سدس مكتوب بطريقة مختلفة قليلًا. كما سنأخذ المقام الموجود في الكسر الأول، وهو ستة، وسنضرب البسط والمقام للكسر الآخر في ذلك المقام. مرة أخرى، نصف في ستة مقسومًا على ستة، الذي يساوي واحدًا؛ أي نصف في واحد يساوي نصفًا فحسب. إذا كنت منزعجًا بالفعل لأنك ترى طريقة أسهل وأسرع لفعل ذلك، فلا داعي للقلق. سأعود وأتحدث عنها بعد قليل. دعونا نتابع هذا المثال حتى النهاية. لدينا اثنان في واحد على ١٢ زائد واحد في ستة على ١٢. ويمكننا دمج ذلك في كسر واحد كبير، فيكون لدينا اثنان في واحد يساوي اثنين، وواحد في ستة يساوي ستة. إذن، لدينا اثنان زائد ستة على ١٢، وهو ما يساوي ثمانية على ١٢. والآن يمكننا أن نقسم البسط والمقام على أربعة. ثمانية على أربعة يساوي اثنين. و١٢ على أربعة يساوي ثلاثة. وهذا يعطينا الإجابة ثلثين.

لذا دعونا نلخص ما فعلناه هنا. أولًا، وجدنا مقامًا مشتركًا لهذين الكسرين. والطريقة التي فعلنا بها ذلك هي أننا أخذنا هذا المقام هنا وضربنا البسط والمقام للكسر الآخر فيه. ثم أخذنا هذا المقام هنا وضربنا البسط والمقام للكسر الآخر فيه. ثم تمكنا من تجميع هذين الكسرين في كسر واحد. وأخيرًا، جمعنا البسطين معًا. وتمكنا من التبسيط في هذه الحالة بالقسمة على أربعة، ومن ثم بسطنا الحل النهائي. وهذه هي الطريقة التي نستخدمها بشكل أساسي. حتى إذا كان لدينا كثيرات حدود، ولدينا كسور جبرية. والآن كما قلت، سنتناول ذلك مرة أخرى ونفعله بطريقة مختلفة قليلًا هذه المرة. كان من السهل التعامل مع الأعداد التي كانت لدينا. لذا، لم تكن مسألة صعبة، ولكن توجد طريقة أخرى مختلفة قليلًا لحل المسألة، وستساعدنا عندما نتطرق إلى المقادير الكسرية الجبرية الأكثر تعقيدًا. ما كان يمكننا فعله في البداية هو ببساطة أن نحلل ذلك المقام الأول. إذن، ستة يساوي ثلاثة في اثنين. والآن عندما نبحث عن مقام مشترك؛ فهذا المقام هو أحد مضاعفات العدد اثنين، وهذا المقام هو أيضًا أحد مضاعفات العدد اثنين. لذا، كل ما علينا فعله هو أخذ العدد ثلاثة هذا من هنا، ونضرب البسط والمقام للكسر الآخر في ثلاثة. إذن ثلاثة على ثلاثة يساوي واحدًا مرة أخرى. لذا، ذلك هو المبدأ نفسه الذي ينطبق في السابق.

وهكذا فإن ما فعلناه في تلك الخطوة الأولى هو أننا قللنا نوعًا ما من عدد الخطوات التي علينا القيام بها بعدم الحاجة إلى ضرب هذا الحد الأول في أي شيء. فنحن فقط نأخذ العامل الناقص من المقام المشترك، ونضع صيغة أخرى للحد الثاني، وهي صيغة لها المقام نفسه. وهكذا واحد في ثلاثة يساوي بالطبع ثلاثة، لذا لدينا واحد على ثلاثة في اثنين زائد ثلاثة على ثلاثة في اثنين أو اثنين في ثلاثة. ويمكننا دمج ذلك في كسر واحد؛ لأن لكليهما نفس المقام، وهو ما يعطينا أربعة على ثلاثة في اثنين. لكن يمكنني قسمة البسط على اثنين، إذن أربعة على اثنين يساوي اثنين. ويمكنني فعل ذلك أيضًا في المقام بقسمته على اثنين، وهو ما يمكن تبسيطه إلى واحد. ومن ثم، حصلنا على نفس الإجابة التي حصلنا عليها من قبل وهي: ثلثان. لكننا طيلة ذلك تعاملنا مع أعداد أصغر قليلًا من الأعداد التي تعاملنا معها في المرة السابقة. لذا مرة أخرى، كانت هذه الأعداد سهلة، ولم تمثل مسألة صعبة. ولكن في الأسئلة الأكثر تعقيدًا، قد يتبين أن هذا يمثل ميزة حقيقية لنا. لذا هذه هي الطريقة الأساسية. والآن، لنلق نظرة على بعض الكسور الجبرية أو بعض المقادير الكسرية.

في هذا المثال الأول، علينا أن نبسط: ﺱ على ثلاثة زائد ﺱ على خمسة. ثلاثة هو عدد أولي وخمسة هو عدد أولي أيضًا، لذا لن نتمكن من تحليل أي من المقامين. فلنتابع ونكتب ذلك. لإيجاد المقام المشترك، سأضرب هذين الكسرين في واحد. لكن الكسر المكافئ لواحد الذي سأضربه في الكسر الأول هو خمسة على خمسة؛ لأن هذا هو مقام الكسر الآخر. والكسر المكافئ لواحد الذي سأضربه في الكسر الثاني هو ثلاثة على ثلاثة. وبدمج هذين الكسرين في كسر واحد كبير؛ لأن لدينا المقام المشترك هنا وهو خمسة في ثلاثة، يصبح لدينا: خمسة في ﺱ يساوي خمسة ﺱ، وﺱ في ثلاثة يساوي ثلاثة ﺱ. وهكذا نجمع هذين البسطين معًا، الكل على خمسة في ثلاثة في المقام، وهو ما يساوي ١٥. وخمسة ﺱ زائد ثلاثة ﺱ يساوي ثمانية ﺱ. ثمانية و١٥ ليس بينهما أي عوامل مشتركة. لذا، في الواقع، سيكون ثمانية ﺱ على ١٥ هو الحل النهائي في هذه المسألة. إذن، الأمر مماثل تمامًا للتعامل مع الكسور كما فعلنا من قبل. لكن في هذه المسألة، لدينا بعض الأحرف، وهو ما يجعل الأمر كله أكثر صعوبة بعض الشيء.

حسنًا، فلنصعب الأمر قليلًا. هذا المثال أصعب قليلًا من المثال السابق، لكنه ليس صعبًا للغاية.

بسط اثنين ﺱ على خمسة زائد ثلاثة ﺱ على أربعة. مرة أخرى، ليس لهذين المقامين أي عوامل مشتركة غير الواحد، لذا سيكون علينا أن نضرب كلا الكسرين في كسر مكافئ لواحد للحصول على كسرين متكافئين. سنضرب الكسر الثاني في خمسة على خمسة، ونضرب الكسر الأول في أربعة على أربعة. والآن أصبح لدينا المقامان المشتركان أربعة في خمسة في كل منهما. ولأن لدينا هذين المقامين المشتركين، يمكننا دمج هذين الكسرين في كسر واحد. إذن، لدينا أربعة في اثنين ﺱ زائد خمسة في ثلاثة ﺱ، الكل على أربعة في خمسة، لذا دعونا نحسب قيمة ذلك. حسنًا، أربعة في اثنين ﺱ يساوي ثمانية ﺱ، وخمسة في ثلاثة ﺱ يساوي ١٥𝑥، فنجمع ١٥𝑥، وأربعة في خمسة في المقام يساوي ٢٠. وثمانية ﺱ زائد ١٥𝑥 يساوي ٢٣𝑥. لا يوجد ما يمكن تبسيطه، إذن هذه هي إجابتنا.

والآن، في هذا المثال، سنفعل هذا بطريقتين مختلفتين. أولًا، وبدون تفكير، سنتبع الطريقة التي تحدثنا عنها حتى الآن، ثم نكررها ونرى ما إذا كان بإمكاننا تبين أي طرق أكثر كفاءة للقيام بذلك أم لا.

لذا سنبسط واحدًا على ثلاثة ﺱ زائد اثنين على ثمانية ﺱ. حسنًا، سنأخذ المقام الأول ونضربه في بسط ومقام الكسر الآخر. ثم سنأخذ المقام الثاني ونضربه في بسط ومقام الكسر الأول. ومن ثم، إذا دمجناهما معًا في كسر واحد، فسنحصل على واحد في ثمانية ﺱ زائد اثنين في ثلاثة ﺱ في البسط، والمقام المشترك ثمانية ﺱ في ثلاثة ﺱ. إذن هذا يعطينا ثمانية ﺱ زائد ستة ﺱ في البسط، وثلاثة في ثمانية يساوي ٢٤. وﺱ في ﺱ يساوي ﺱ تربيع. ثمانية ﺱ زائد ستة ﺱ يساوي ١٤𝑥. إذن لدينا ١٤𝑥 على ٢٤𝑥 تربيع، والآن يمكننا الحذف. يمكن قسمة كل من ١٤ و٢٤ على اثنين. وهكذا، ١٤ مقسومًا على اثنين يساوي سبعة، و٢٤ مقسومًا على اثنين يساوي ١٢. كما يمكن أيضًا قسمة ﺱ على ﺱ لنحصل على واحد، وقسمة ﺱ تربيع على ﺱ لنحصل على ﺱ. إذن، لدينا في البسط سبعة في واحد، وهو ما يساوي سبعة. ولدينا في المقام ١٢ في ﺱ، وهو ما يساوي ١٢𝑥. إذن، تلك هي الإجابة التي حصلنا عليها.

حسنًا، فلنكرر ذلك مرة أخرى. لكن قد نتبين في السؤال أنه في الحد الثاني، وهو اثنان على ثمانية ﺱ، كان بإمكاننا قسمة البسط على اثنين وقسمة المقام أيضًا على اثنين للحصول على أربعة. إذن لدينا واحد على ثلاثة ﺱ زائد واحد على أربعة ﺱ. والآن بالنظر إلى هذين المقامين، نجد أن هذا يشتمل على العامل ﺱ، وهذا أيضًا يشتمل على العامل ﺱ. لذا، في الواقع، ما سنضربه في كل من هذين الكسرين ليس أربعة ﺱ وثلاثة ﺱ، وإنما سنضرب في العامل الناقص في هذا المقام المشترك. إذن، في الكسر الثاني هنا. سنضرب في ثلاثة في البسط وثلاثة في المقام. وفي الكسر الأول هنا، سنضرب في أربعة في البسط وأربعة في المقام. لذا، الحد الأول هنا هو أربعة في واحد، والحد الثاني هنا هو واحد في ثلاثة. إذن، عند دمجهما معًا لنحصل على كسر واحد، يكون المقام أربعة في ثلاثة في ﺱ. وعند حساب ذلك، نحصل على: أربعة في واحد يساوي أربعة، وواحد في ثلاثة يساوي ثلاثة، وأربعة في ثلاثة في ﺱ يساوي ١٢𝑥. أربعة زائد ثلاثة يساوي سبعة. إذن، سبعة على ١٢𝑥 هي إجابتنا؛ لأنه لا يمكن تبسيط أي منهما. لذا، بالنظر إلى السؤال بعناية أكبر من البداية، وبالتدقيق أكثر بشأن الطريقة التي أوجدنا بها المقام المشترك، يمكننا أن نرى أن هذه العملية الحسابية الثانية هنا كانت في الواقع أسهل كثيرًا من العملية الحسابية الأولى هناك.

حسنًا، فلنتابع.

بسط أربعة على ﺱ زائد ثلاثة زائد اثنين على ﺱ ناقص اثنين. يبدو هذا أكثر تعقيدًا نوعًا ما، لكن العملية التي سنتبعها هي نفسها بالضبط ما سبق وأن فعلناه للتو. الشيء الوحيد الذي أوصي به هنا هو وضع أقواس حول المقامين؛ لأن ذلك سيجعل الأمر أسهل قليلًا بينما نتابع في هذه المسألة، وسيضمن أننا لن نقع في أي أخطاء. لذا سنأخذ المقام الأول ونضرب بسط ومقام الكسر الآخر في هذه القيمة. وسنأخذ المقام الثاني ونضرب بسط ومقام الكسر الأول في هذه القيمة. إذن تظل القاعدة ثابتة؛ ﺱ ناقص اثنين مقسومًا على ﺱ ناقص اثنين يساوي واحدًا. إذن، لا يزال لدينا واحد مضروب في الكسر الأول، أي سيظل الكسر الأول كما هو. وﺱ زائد ثلاثة مقسومًا على ﺱ زائد ثلاثة يساوي واحدًا. إذن، لدينا واحد مضروب في الكسر الثاني. لذا، لا يزال لدينا اثنان على ﺱ ناقص اثنين فحسب. حسنًا، لنضربهما. حسنًا، ندمجهما معًا في كسر واحد هنا. أصبح لدينا أربعة في ﺱ ناقص اثنين زائد اثنين في ﺱ زائد ثلاثة والكل على المقام المشترك، وهو: ﺱ ناقص اثنين في ﺱ زائد ثلاثة. والآن سنضرب أربعة في ﺱ، وأربعة في سالب اثنين، وسنضيف اثنين في ﺱ، واثنين في موجب ثلاثة. إذن، أربعة في ﺱ يساوي أربعة ﺱ، وأربعة في سالب اثنين يساوي سالب ثمانية. واثنان في ﺱ يساوي موجب اثنين ﺱ، واثنان في ثلاثة يساوي موجب ستة. لن نفك الأقواس في المقام في هذه المرحلة، لأننا لم ننته بعد من ترتيب البسط. من يعرف؟ قد يمكن تحليل القيم الناتجة وتبسيط أي منها. لو وزعنا الأقواس في المقام، لن نتمكن من ملاحظة ذلك.

حسنًا، أربعة ﺱ زائد اثنين ﺱ يساوي ستة ﺱ، وسالب ثمانية زائد ستة يساوي سالب اثنين. وهكذا يصبح لدينا ستة ﺱ ناقص اثنين على ﺱ ناقص اثنين في ﺱ زائد ثلاثة. لكن في الواقع، إذا نظرنا جيدًا إلى البسط، فسنرى أنه يمكن تحليله. ستة واثنان لهما العامل المشترك اثنان. إذن ما المعامل الذي يجب ضربه في اثنين للحصول على ستة ﺱ؟ حسنًا، سيكون ذلك هو ثلاثة ﺱ. وما المعامل الذي يجب ضربه في اثنين للحصول على سالب اثنين؟ حسنًا، سيكون ذلك سالب واحد. إذن ها قد انتهينا. الآن، ما انتهينا إلى الحصول عليه داخل القوس في البسط لا يساوي ما بداخل أي من القوسين في المقام. إذن لن يحذف أي شيء، وذلك الناتج هو صيغة جيدة محللة العوامل للإجابة. والآن لو كنا وزعنا القوسين في المقام ولم نحلل البسط، لكان هذا هو الحل الذي كنا سنحصل عليه وما زال حلًّا صحيحًا تمامًا. ولكن يفضل كتابة الحل بهذه الصورة المحللة العوامل وليس بهذه الصورة المفكوك أقواسها.

حسنًا، المثال التالي هو مثال على الطرح.

بسط اثنين على ثلاثة ﺱ ناقص واحد على خمسة ﺱ. لذا سنتعامل مع هذا المثال بالطريقة نفسها التي قمنا بها من قبل. ولكن بدلًا من جمع الكسرين، فإننا سنطرح الكسر الثاني من الكسر الأول. نلاحظ إذن أنه يوجد عامل مشترك بين مقامي الكسرين، وهو ﺱ. إذن، العاملان الناقصان هما القيمتان اللتان سنستخدمهما لإيجاد الكسرين المتكافئين، فلدينا العدد ثلاثة. حيث نضرب بسط الكسر الثاني ومقامه في ثلاثة، والعدد خمسة؛ حيث نضرب بسط الكسر الأول ومقامه في خمسة. وبذلك يصبح لدينا خمسة في اثنين ناقص واحد في ثلاثة، الكل على خمسة في ثلاثة في ﺱ عندما ندمج ذلك في كسر واحد. ومن ثم نحصل على ١٠ ناقص ثلاثة، الكل على ١٥𝑥، وهو ما يساوي سبعة على ١٥𝑥. وبما أنه لن يمكن إجراء أي عمليات تبسيط أخرى، فإن هذه هي الإجابة. وهكذا، فإن الطرح ببساطة مثل الجمع، لكن عليك طرح الحدود بدلًا من جمعها.

حسنًا، دعونا نر آخر مثال.

سنبسط ثلاثة على ثلاثة ناقص ﺱ ناقص ستة على ستة ناقص ﺱ، لذا هيا نفعل ما فعلناه من قبل. وهو أن نضع أقواسًا حول المقامين، ثم نوجد الكسرين المتكافئين، حتى نصل إلى مقام مشترك. لذا، سنضرب ثلاثة ناقص ﺱ في بسط الكسر الثاني ومقامه. ونضرب ستة ناقص ﺱ في بسط الكسر الأول ومقامه. إذن أصبح لدينا ثلاثة في ستة ناقص ﺱ في بسط الكسر الأول، وستة في ثلاثة ناقص ﺱ في بسط الكسر الثاني. لذا، سنجمع هذين الحدين معًا لنحصل على كسر واحد. هذا هو ما انتهينا إليه. وعلينا توخي الحذر للغاية عند توزيع هذا القوس؛ لأن هذا الحد الثاني في البسط مطروح من الحد الأول بأكمله في البسط. إذن لنلق نظرة على كيفية القيام بذلك. سيكون لدينا ثلاثة في ستة، وثلاثة في سالب ﺱ. والآن لدينا ثلاثة في ستة يساوي ١٨، وثلاثة في سالب ﺱ يساوي سالب ثلاثة ﺱ، لكننا الآن سنطرح ستة في ثلاثة. ونطرح ستة في سالب ﺱ، وستة في سالب ﺱ يساوي سالب ستة ﺱ. وإذا طرحنا سالب ستة ﺱ، فهذا يعني أننا نضيف ستة ﺱ. والآن بالنظر إلى هذا البسط، لدينا ١٨ ناقص ١٨، وهو ما يساوي صفرًا. ولدينا سالب ثلاثة ﺱ زائد ستة ﺱ، وهو ما يساوي موجب ثلاثة ﺱ. ولن يبسط أي من هذين الحدين، ومن ثم تتبقى لدينا الإجابة: ثلاثة ﺱ على ستة ناقص ﺱ في ثلاثة ناقص ﺱ.

الأمر الذي كان يجب الانتباه إليه حقًّا هنا هو هذه الخطوة. عندما كنا نتعامل مع طرح القيم. تذكر أنه كان علينا طرح المقدار بالكامل هنا، وهو ما يعني توخي الحذر الشديد بشأن الإشارات التي توصلنا إليها هنا. وهذا هو الخطأ الأكثر شيوعًا عند التعامل مع هذه الأسئلة. لذا انتبهوا جيدًا لذلك.

إذن هيا نراجع العملية كلها مرة أخرى. لأنه سواء أكنا نجمع هذين الكسرين أو نطرحهما، أي هذين المقدارين الكسريين، فستكون العملية واحدة. أولًا، كان علينا محاولة إيجاد مقامين مشتركين، وهو ما كان يعني إيجاد كسرين مكافئين لكل منهما باستخدام هذين المقامين بعناية فائقة لضرب الكسرين الآخرين. نستخدم هذا المقام لضرب هذا الكسر. في بعض الأحيان، كان علينا الضرب في المقام بالكامل، وفي بعض الأحيان يمكننا فحسب الضرب في أحد العوامل. خلاصة الأمر، لدينا طريقة للحصول على مقامين مشتركين. بمجرد إيجاد المقامين المشتركين، يمكننا دمج هذين الكسرين في كسر واحد كبير، وهو المقدار الكبير هنا، والكل على المقام المشترك. ثم أخيرًا، نوجد قيمة البسط، وأحيانًا نحصل على قيمة يمكن تحليلها. وأحيانًا لا يمكن تحليلها. أحيانًا، يمكن حذف شيء مشترك مع شيء في هذا المقام الموجود بالأسفل، لكن علينا إجراء كل هذه العمليات ومحاولة تبسيط ذلك المقدار قدر الإمكان عندما ننتهي. وتنطبق هذه الخطوات الثلاث على كل هذه الأسئلة.