فيديو السؤال: إيجاد تباين متغير عشوائي متقطع الرياضيات

افترض أن ﺱ متغير عشوائي متقطعﺱ يأخذ القيم ١، ﺃ، ٧. إذا كانت دالة التوزيع الاحتمالي لـ ﺩﺱ هي (ﺱ) = ( + ٢)‏/‏١٨، فأوجد تباين ﺱ. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

٠٧:٤٧

‏نسخة الفيديو النصية

افترض أن ﺱ متغير عشوائي متقطع يأخذ القيم واحد، وﺃ، وسبعة. إذا كانت دالة التوزيع الاحتمالي لـ ﺱ هي ﺩﺱ تساوي ﺱ زائد اثنين على ١٨، فأوجد تباين ﺱ. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

نتذكر أولًا أن تباين المتغير العشوائي المتقطع هو مقياس لمدى تشتت قيم هذا المتغير العشوائي المتقطع عن قيمته المتوقعة. نحسب هذا التباين باستخدام الصيغة: القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع ناقص القيمة المتوقعة لـ ﺱ الكل تربيع. وعلينا ملاحظة الفرق في الترميز هنا. في الحد الثاني، سنوجد القيمة المتوقعة لـ ﺱ أولًا، ثم نقوم بتربيعها، في حين أننا في الحد الأول سنوجد توقع ﺱ تربيع. أي أننا نقوم بتربيع قيم المتغير ﺱ أولًا ثم نوجد القيمة المتوقعة.

نتذكر أيضًا صيغتي إيجاد القيمة المتوقعة لـ ﺱ والقيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع. بالنسبة للقيمة المتوقعة لـ ﺱ، نضرب كل قيمة ﺱ موجودة في مدى المتغير العشوائي المتقطع في قيمة ﺩﺱ المناظرة لها - أي احتمالها - ثم نوجد مجموع هذه القيم. ولإيجاد توقع ﺱ تربيع، نقوم بتربيع كل قيمة ﺱ أولًا، ثم نضربها في احتمالها، ثم نحسب مجموع هذه القيم الناتجة. لدينا دالة التوزيع الاحتمالي ﺩﺱ. وهي تساوي ﺱ زائد اثنين على ١٨. وهناك ثلاث قيم في مدى هذا المتغير العشوائي المتقطع: واحد وﺃ وسبعة.

قبل أن نتمكن من إيجاد تباين ﺱ، علينا إيجاد قيمة المجهول ﺃ. يمكننا فعل ذلك بتذكر أن مجموع كل الاحتمالات في دالة التوزيع الاحتمالي لا بد أن يساوي واحدًا. يمكننا إذن إيجاد قيمتي احتمالي أن ﺱ يساوي واحدًا وﺱ يساوي سبعة، ومقدار يعبر عن احتمال أن ﺱ يساوي ﺃ، ونكون معادلة. ‏ﺩ لواحد يساوي واحدًا زائد اثنين على ١٨، وهو ما يساوي ثلاثة على ١٨. ولن نبسط هذا الكسر الآن. ‏ﺩﺃ يساوي ﺃ زائد اثنين على ١٨. وﺩ لسبعة يساوي سبعة زائد اثنين على ١٨، وهو ما يساوي تسعة على ١٨.

وبما أن مجموع هذه الاحتمالات الثلاثة لا بد أن يساوي واحدًا، إذن لدينا المعادلة: ثلاثة على ١٨ زائد ﺃ زائد اثنين على ١٨ زائد تسعة على ١٨ يساوي واحدًا. وبما أننا لم نبسط أيًّا من الكسور، نجد أن لها المقام المشترك ١٨، ويمكننا جمعهما بجمع البسوط، ليتبقى لنا ﺃ زائد ١٤ على ١٨ يساوي واحدًا. يمكننا بعد ذلك ضرب كلا طرفي هذه المعادلة في ١٨ لنحصل على ﺃ زائد ١٤ يساوي ١٨، ثم نطرح ١٤ من كلا الطرفين لنجد أن ﺃ يساوي أربعة. وهكذا نكون قد أوجدنا قيمة هذا المجهول ﺃ. نعلم أيضًا أن ﺩ لواحد يساوي ثلاثة على ١٨. وﺩﺃ، الذي هو الآن ﺩ لأربعة، يساوي ﺃ زائد اثنين على ١٨. أي ستة على ١٨. وﺩ لسبعة يساوي تسعة على ١٨.

سنكتب الآن هذا التوزيع الاحتمالي لـ ﺱ في جدول. سنكتب القيم الموجودة في مدى هذا المتغير العشوائي المتقطع في الصف العلوي، ثم احتمالاتها المناظرة في الصف الثاني. لإيجاد القيمة المتوقعة لـ ﺱ، علينا ضرب كل قيمة ﺱ في قيمة ﺩﺱ المناظرة لها. ولنفعل ذلك سنضيف صفًّا إلى الجدول لدينا. وهذا يعطينا ثلاثة على ١٨، و٢٤ على ١٨، و٦٣ على ١٨. سنحتفظ بجميع هذه الكسور في صورة غير مبسطة في الوقت الحالي. والقيمة المتوقعة لـ ﺱ هي مجموع هذه القيم الثلاث، أي ٩٠ على ١٨، وهذا يساوي خمسة بالضبط.

وهكذا نكون قد أوجدنا القيمة المتوقعة لـ ﺱ. بعد ذلك، علينا حساب القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع. ولنفعل ذلك، سنضيف أولًا صفًّا إلى الجدول لدينا لنحسب فيه كل نواتج تربيع كل قيمة ﺱ. وهذه القيم هي مربع كل من واحد، وأربعة، وسبعة، ما يساوي واحدًا و١٦ و٤٩. واحتمالات القيم ﺱ تربيع نحصل عليها من التوزيع الاحتمالي لـ ﺱ. لذا، نضيف صفًّا أخيرًا إلى الجدول نضرب فيه نواتج تربيع كل قيمة ﺱ في قيمة ﺩﺱ المناظرة لها. وهذا يعطينا ثلاثة على ١٨، و٩٦ على ١٨، و٤٤١ على ١٨. ويمكن تبسيط كل كسر من هذه الكسور بحيث يكون لها المقام المشترك ستة، وهو ما يعطينا سدسًا، و٣٢ على ستة، و١٤٧ على ستة. والقيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع هي مجموع هذه القيم الثلاث، أي ١٨٠ على ستة، وهو ما يساوي ٣٠ بالضبط.

وأخيرًا، نحسب تباين ﺱ. إنه يساوي القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع، أي ٣٠، ناقص القيمة المتوقعة لـ ﺱ الكل تربيع. إذن، سنطرح خمسة تربيع. وعليه لدينا ٣٠ ناقص ٢٥، وهو ما يساوي خمسة. مطلوب منا تقريب الناتج لأقرب منزلتين عشريتين. إجابتنا في هذه الحالة عدد صحيح، لكن يمكننا كتابته على الصورة ٥٫٠٠. بذلك نكون قد أوجدنا أن تباين ﺱ لأقرب منزلتين عشريتين يساوي ٥٫٠٠ أو ببساطة خمسة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.